30/4/200906/ec/C180/自動控制黃山學院信息工程學院第二章控制系統的數學模型內容提要：本章重點:

a、微分方程

建立系統輸入輸出模式數學模型：b、傳遞函數c、方塊圖d、信號流圖動態結構圖的繪制,等校變換方法；各種模型表達形式之間的相互轉換；梅遜公式的應用

第二章控制系統的數學模型問題：第二章控制系統的數學模型何為數學模型?數學模型的種類?常用數學模型的種類：

靜態模型動態模型

描述系統輸入、輸出變量以及內部各變量之間關系的數學表達式就稱為數學模型第一節控制系統的時域數學模型第二章自動控制系統的數學模型（1）

確定系統的輸入變量和輸出變量一、建立系統微分方程的一般步驟

系統通常由一些環節連接而成，將系統中的每個環節的微分方程求出來，便可求出整個系統的微分方程。列寫系統微分方程的一般步驟：

根據各環節所遵循的基本物理規律，分別列寫出相應的微分方程組。（2）

建立初始微分方程組

將與輸入量有關的項寫在方程式等號右邊，與輸出量有關的項寫在等號的左邊。（3）消除中間變量，將式子標準化

下面舉例說明常用環節和系統的微分方程的建立ucur二、常見環節和系統微分方程的建立1．RLC電路輸入量：輸出量：(1)確定輸入量和輸出量(2)建立初始微分方程組(3)消除中間變量，使式子標準化根據基爾霍夫定律得：

微分方程中只能留下輸入、輸出變量，及系統的一些常數。RLC電路是二階常系數線性微分方程。第一節控制系統的時域數學模型+-uruc+-CLRii=CducdtLdidtur=Ri

++ucRCducdt+uc=ur+LCd2ucdt22．機械位移系統系統組成：質量彈簧阻尼器輸入量彈簧系數km阻尼系數fF(t)輸出量x(t)(2)初始微分方程組F=ma根據牛頓第二定律系統工作過程：(1)確定輸入和輸出F(t)–F1(t)–F2(t)=ma中間變量關系式:F1(t)=fdx(t)dtF2(t)=kx(t)a=d2x(t)dt2md2x(t)dt2fdx(t)dt+kx(t)=F(t)+消除中間變量得:第一節控制系統的時域數學模型3．電樞控制直流電動機Ua系統組成：直流電機負載輸入:電樞電壓勵磁電流Ia電磁轉矩Mm負載轉矩Mc摩擦轉矩Tf工作原理：

電樞電壓作用下產生電樞電流，從而產生電磁轉矩使電動機轉動.輸出:電動機速度第一節控制系統的時域數學模型第一節控制系統的時域數學模型由圖，直流電動機的運動方程由三部分組成：1、電樞回路電壓平衡方程：2、電磁轉矩方程：3、電動機軸上的轉矩平衡方程第一節控制系統的時域數學模型消除中間變量得到直流電動機的微分方程第一節控制系統的時域數學模型

由于電樞電感較小，通常可忽略不計，上式可簡化為：式中：如果忽略和，上式可進一步簡化為：第一節控制系統的時域數學模型

比較:R-L-C電路運動方程與M-S-D機械系統運動方程

相似系統：揭示了不同物理現象之間的相似關系。便于用簡單系統去研究相似的復雜系統。第一節控制系統的時域數學模型二、控制系統微分方程的建立基本步驟：（1）由系統原理圖畫出系統方框圖或直接確定系統中各個基本部件（元件）（2）列寫各方框圖的輸入輸出之間的微分方程，要注意前后連接的兩個元件中，后級元件對前級元件的負載效應（3）消去中間變量第一節控制系統的時域數學模型舉例4：速度控制系統的微分方程第一節控制系統的時域數學模型三、線性系統的基本特性1、線性系統是指用線性微分方程描述的系統，其重要性質是可以應用疊加原理。2、疊加原理具有可疊加性和均勻性。例如：有線性微分方程若時，解為：若時，解為：第一節控制系統的時域數學模型可疊加性：當時，微分方程的解為均勻性：當時，A為常數，微分方程的解四、線性微分方程式的求解

工程實踐中常采用拉氏變換法求解線性常微分方程。拉氏變換法求解微分方程的基本思路：線性微分方程時域t拉氏變換代數方程復數域s代數方程的解求解拉氏反變換微分方程的解第一節控制系統的時域數學模型

五、非線性元件微分方程的線性化

－－切線法或小偏差法第一節控制系統的時域數學模型為什么要線性化非線性系統的性質比線性系統要復雜得多哪種非線性系統可以線性化如何進行線性化使用小偏差法連續可導的非線性系統第一節控制系統的時域數學模型連續可導的非線性特性本質非線性特性第一節控制系統的時域數學模型小偏差理論具有連續變化的非線性函數A[x0，y0]為平衡工作點，則該非線性函數可以線性化的條件是變量x偏離平衡工作點很小近似線性化方程為令作變量替換第一節控制系統的時域數學模型小結本質非線性系統不可以作線性化工作點鄰域的線性化方程是增量方程不同的工作點，不同的線性化系數，有不同的線性化方程。多變量非線性方程如何線性化？第一節控制系統的時域數學模型第二節控制系統的復數域數學模型一、傳遞函數的定義和性質三、典型環節的傳遞函數

拉氏變換可以簡化線性微分方程的求解。還可將線性定常微分方程轉換為復數S域內的數學模型—傳遞函數。第二章控制系統的數學模型二、傳遞函數的零點和極點及其對輸出的影響輸出拉氏變換

一、傳遞函數的定義和性質

設一控制系統輸入輸入拉氏變換輸出傳遞函數的定義：

零初始條件下，系統輸出量拉氏變換與系統輸入量拉氏變換之比。R(S)C(S)r(t)c(t)R(s)C(s)G(s)=表示為：將微分方程拉氏變換便可求得傳遞函數。系統G(S)第二節控制系統的復數域數學模型例求圖示RLC電路的傳遞函數。+-uruc+-CLRi解：輸出量輸入量根據基爾霍夫定律：i=CducdtLdidtur=Ri

++uc拉氏變換：RCsUc(s)+LCs2Uc(s)+Uc(s)=Ur(s)傳遞函數為:G

(s)=Uc(s)Ur(s)1LCs2+

RCs+

1=RCducdt+uc=ur+LCd2ucdt2第二節控制系統的復數域數學模型傳遞函數是關于復變量s的有理真分式，它的分子，分母的階次是：。傳遞函數的性質傳遞函數僅適用于線性定常系統，否則無法用拉氏變換導出；傳遞函數完全取決于系統內部的結構、參數，而與輸入、輸出無關；傳遞函數只表明一個特定的輸入、輸出關系，對于多輸入、多輸出系統來說沒有統一的傳遞函數；第二節控制系統的復數域數學模型傳遞函數的拉氏反變換為該系統的脈沖響應函數，因為當

時，，所以，

傳遞函數與微分方程有相通性傳遞函數是在零初始條件下建立的，因此，它只是系統的零狀態模型，有一定的局限性，但它有現實意義，而且容易實現。第二節控制系統的復數域數學模型第二節控制系統的復數域數學模型例：求電樞控制直流電動機傳遞函數解：零初始條件下拉氏變換得：(a0

sn+a1

sn-1

+···+an-1s+an)C(s)=(b0

sm+b1

sm-1

+···+bm-1s+bm)R(s)系統微分方程的一般表達式為：dtm+bmr(t)=b0dm-1r(t)dtm-1+b1+···dmr(t)dr(t)dt+bm-1+anc(t)+···dnc(t)dtna0dn-1c(t)dtn-1+a1dc(t)dt+an-1系統傳遞函數的一般表達式為=b0sm+b1sm-1+···+bm-1s+bma0sn+a1sn-1+···+an-1s+anR(s)C(s)G(s)=

將傳遞函數中的分子與分母多項式分別用因式連乘的形式來表示，即根軌跡傳遞函數n>=mG(s)=K0(s

–z1)(s

–z2)···(s

–zm)(s

–p1)(s

–p2)···(s

–pn)根軌跡增益傳遞函數的極點傳遞函數的零點第二節控制系統的復數域數學模型二、傳遞函數的零點和極點及其對輸出的影響第二節控制系統的復數域數學模型

將傳遞函數的零、極點表示在復平面上的圖形稱系統的零、極點圖。零點用“O”表示極點用“×”表示零、極點分布圖（零、極點圖）第二節控制系統的復數域數學模型傳遞函數另一種表示形式為（頻率傳遞函數）：式中，、稱為時間常數；為傳遞系數或增益。第二節控制系統的復數域數學模型傳遞函數的零點和極點對輸出的影響

（1）傳遞函數的極點可受輸入函數的激發，在輸出響應中形成自由運動模態。

現舉例說明：

（2）傳遞函數的零點不形成自由運動模態，卻影響各模態在響應中所占的比重，影響響應曲線的形狀。

現舉例說明：設具有相同極點但零點不同的傳遞函數分別為，

第二節控制系統的復數域數學模型第二節控制系統的復數域數學模型

不同的物理系統，其結構差別很大。但若從系統的數學模型來看，一般可將自動控制系統的數學模型看作由若干個典型環節所組成。研究和掌握這些典型環節的特性將有助于對系統性能的了解。

三、典型環節的傳遞函數第二節控制系統的復數域數學模型c(t)=Kr(t)C(s)=KR(s)放大倍數取拉氏變換:得傳遞函數:1．比例環節微分方程:R(s)C(s)G(s)==K

比例環節方框圖KR(S)C(S)K1S·C(s)=R(s)=1S單位階躍響應：拉氏反變換得:c(t)=K

單位階躍響應曲線r(t)t0c(t)1r(t)Kc(t)第二節控制系統的復數域數學模型K=-R1R2

比例環節實例(a)uruc-∞++R1R2運算放大器(b)線性電位器uc(t)+-R1R2+-ur(t)K=R2+R1R2傳動齒輪(c)r(t)c(t)iK=i第二節控制系統的復數域數學模型單位階躍信號作用下的響應:KTs+11s·C(s)=Ks+1/TKs+=R(s)=1s2．慣性環節微分方程:+c(t)=Kr(t)dc(t)dtT時間常數比例系數拉氏變換：TsC(s)+C(s)=KR(s)慣性環節的傳遞函數:R(s)C(s)G(s)=KTs

+

1=

慣性環節方框圖R(S)C(S)1+Ts1拉氏反變換得:c(t)=K(1–etT-)

單位階躍響應曲線設K=1r(t)t0c(t)1r(t)c(t)T0.632第二節控制系統的復數域數學模型uruc-∞++R2R1C

慣性環節實例(a)運算放大器R2Cs+1R2/R1G(s)=–(b)RL電路+-u(t)RLuL(t)1/R(L/R)s+1G(s)=–第二節控制系統的復數域數學模型R(s)C(s)G(s)==1TsTsC(s)=R(s)=r(t)dc(t)dtT微分方程：時間常數3．積分環節傳遞函數：拉氏變換：

積分環節方框圖R(S)C(S)Ts1單位階躍響應：1TS1S·C(s)=R(s)=1S1TS2=1Tc(t)=t

單位階躍響應曲線r(t)t0c(t)1c(t)r(t)T拉氏反變換得:第二節控制系統的復數域數學模型第二節控制系統的復數域數學模型如當輸入量為常值A時，輸出量須經過時間T才能達到輸入量在t=0時的值A。！改善系統的穩態性能！具有明顯的滯后作用

積分環節實例(a)運算放大器uc-∞++RCur1RCsG(s)=–(b)直流伺服電機+-UdMθsKG(s)=第二節控制系統的復數域數學模型4．微分環節R(S)C(S)Ts理想微分環節微分方程：微分時間常數

微分環節方框圖單位階躍響應：c(t)=Tdr(t)dtR(s)C(s)G(s)==TsTS1S·C(s)=R(s)=1S拉氏反變換得:c(t)=Tδ(t)

單位階躍響應曲線r(t)t0c(t)c(t)r(t)運算放大器構成的微分環節-Δ∞++RucCurG(s)=RCs第二節控制系統的復數域數學模型+-uc+-CRurRC電路構成的實用微分環節RCsRCS+1G(s)=TsTs+1=

理想微分環節實際中是難以實現的，實際中常用含有慣性的實用微分環節。傳遞函數:單位階躍響應:?

1sTsTs+1G(s)==1s+1/T

c(t)=etT-單位階躍響應曲線r(t)r(t)t0c(t)c(t)1

由于微分環節的輸出只能反映輸入信號的變化率，不能反映輸入量本身的大小，故常采用比例微分環節。

第二節控制系統的復數域數學模型采用運算放大器構成的比例微分環節：R1ucC1R2ur-Δ∞++傳遞函數：單位階躍響應：c(t)=KTδ(t)+KR(s)C(s)G(s)==K(Ts+1)

單位階躍響應曲線1c(t)r(t)r(t)t0c(t)第二節控制系統的復數域數學模型5.振蕩環節

微分方程：+c

(t)=r(t)+2Td2c(t)dt2dc(t)dtT2ζ—時間常數—阻尼比ζT傳遞函數：1T2S2+2TS+1=R(s)C(s)G(s)=ζG(s)=T21T21T2S2+S+ζn2ωn2ωnζS2+2S+ω=T1ωn=—無阻尼自然振蕩頻率

振蕩環節方框圖S2+2ξωnS+ωn2ωn2R(S)C(S)單位階躍響應：c(t)=1-1-ζ2Sin(ωdt+β)e

單位階躍響應曲線1c(t)r(t)r(t)t0c(t)第二節控制系統的復數域數學模型1ms2+fs+k=F(s)Y(s)G(s)=常見振蕩環節的實例：(1)機械位移系統

(2)他激直流電動機

(3)RLC電路1/CeTaTms2+Tms+1=U(s)N(s)G(s)=Ur(s)Uc(s)1LCs2+RCs+1=G(s)=第二節控制系統的復數域數學模型R(s)C(s)G(s)==e-τsc(t)=r(t–τ)·1(t–τ)R(S)C(S)e-τs6．時滯環節延時時間數學模型：

時滯環節方框圖傳遞函數：時滯環節作近似處理得1+τs1G(s)=1+τs+2!2s2+···

1τ1

階躍響應曲線1c(t)r(t)r(t)t0c(t)τ第二節控制系統的復數域數學模型第二節控制系統的復數域數學模型慣性環節從輸入開始時刻起就已有輸出，僅由于慣性，輸出要滯后一段時間才接近所要求的輸出值。延遲環節從輸入開始之初，在0-τ時間內沒有輸出，但t=τ之后，輸出完全等于輸入。延遲環節與慣性環節的區別

動態結構圖是系統數學模型的另一種形式，它表示出系統中各變量之間的數學關系及信號的傳遞過程。第二章自動控制系統的數學模型第三節控制系統的結構圖和信號流圖

一、系統結構圖的組成和繪制系統的動態結構圖由若干基本符號構成。構成動態結構圖的基本符號有四種，即信號線、方框、綜合點和引出點。第三節控制系統的結構圖和信號流圖1.信號線

帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，直線旁標記信號的時間函數或象函數。第三節控制系統的結構圖和信號流圖2.信號引出點/測量點

表示信號引出或測量的位置和傳遞方向。同一信號線上引出的信號，其性質、大小完全一樣。第三節控制系統的結構圖和信號流圖3.比較點/綜合點1.用符號“”及相應的信號箭頭表示2.箭頭前方的“+”或“-”表示加上此信號或減去此信號第三節控制系統的結構圖和信號流圖4.方框/環節函數方塊具有運算功能繪制動態結構圖的一般步驟:（1）確定系統中各元件或環節的傳遞函數。（2）繪出各環節的方框，方框中標出其傳遞函數、輸入量和輸出量。（3）根據信號在系統中的流向，依次將各方框連接起來。第三節控制系統的結構圖和信號流圖

對于RLC電路，可以運用電流和電壓平衡定律及復阻抗的概念，直接畫出系統的動態結構圖。例求圖所示電路的動態結構圖。ii1+-uiuo+-R2R1ci2解：I1(s)I2(s)+Uo(s)Ui(s)_Cs1R1+R2Uc(s)RC電路動態結構圖：I(s)第三節控制系統的結構圖和信號流圖i1i2+-urC1uc+-C2R1R2例畫出圖所示電路的動態結構圖。解：1R1I1(s)_1C1S1R21C2SUr(s)UC(s)I2(s)__U1(s)U1(s)I2(s)UC(s)U1(s)i1-i2第三節控制系統的結構圖和信號流圖二、動態結構圖的等效變換與化簡

系統的動態結構圖直觀地反映了系統內部各變量之間的動態關系。將復雜的動態結構圖進行化簡可求出傳遞函數。1．動態結構圖的等效變換等效變換：被變換部分的輸入量和輸出量之間的數學關系，在變換前后保持不變。第三節控制系統的結構圖和信號流圖C1(s)（1）串聯兩個環節串聯的等效變換：R(s)C(s)G2(s)G1(s)C(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)=G1(s)G2(s)G(s)=等效n個環節串聯ni=1G(s)=ΠGi(s)C1(s)=R(s)G1(s)C(s)=C1(s)G2(s)=R(s)G(s)1G2(s)R(s)G1(s)C(s)G2(s)F(s)不是串聯！R(s)G1(s)C(s)G2(s)C1(s)也不是串聯！第三節控制系統的結構圖和信號流圖R(s)C(s)=G1(s)+G2(s)G(s)=(2)并聯兩個環節的并聯等效變換：G1(s)+G2(s)R(s)C(s)++G2(s)R(s)C(s)G1(s)等效C1(s)=R(s)G1(s)C1(s)C2(s)=R(s)G2(s)C2(s)C(s)=C1(s)+C2(s)=R(s)G1(s)+R(s)G2(s)n個環節的并聯

Σni=1G

(s)=Gi(s)第三節控制系統的結構圖和信號流圖E(s)=R(s)B(s)+–=R(s)E(s)G(s)H(s)+–1±G(s)H(s)R(s)E(s)=（3）反饋連接G(s)1±G(s)H(s)C(s)R(s)G(s)C(s)H(s)R(s)E(s)B(s)±環節的反饋連接等效變換：

根據框圖得：等效R(s)C(s)1±G(s)H(s)G(s)=C

(s)=E(s)G(s)第三節控制系統的結構圖和信號流圖（4）綜合點和引出點的移動1)

綜合點之間或引出點之間的位置交換引出點之間的交換：b綜合點之間交換：bccbaaaa±aa±b±c±a±c±b不改變數學關系不改變數學關系aa綜合點與引出點之間不能交換！第三節控制系統的結構圖和信號流圖2）綜合點相對方框的移動前移：R(s)C(s)G(s)±F(s)R(s)G(s)C(s)±F(s)G(s)C(s)±F(s)±C(s)F(s)1G(s)C(s)=R(s)G(s)±F(s)

數學關系不變！后移：F(s)R(s)G(s)C(s)±C(s)=[R(s)±F(s)]G(s)F(s)R(s)G(s)C(s)±F(s)G(s)C(s)±C(s)G(s)G(s)第三節控制系統的結構圖和信號流圖3）引出點相對方框的移動C(s)R(s)C(s)G(s)前移：G(s)C(s)R(s)C(s)G(s)C(s)C(s)R(s)R(s)C(s)G(s)后移：R(s)R(s)C(s)G(s)R(s)R(s)G(s)1被移動的支路中串入適當的傳遞函數。第三節控制系統的結構圖和信號流圖舉例說明例：系統動態結構圖如下圖所示，試求系統傳遞函數C(s)/R(s)。第三節控制系統的結構圖和信號流圖第三節控制系統的結構圖和信號流圖本題特點：具有引出點、綜合交叉點的多回路結構。解題思路：消除交叉連接，由內向外逐步化簡。解題方法一之步驟1將綜合點2后移，然后與綜合點3交換。第三節控制系統的結構圖和信號流圖解題方法一之步驟2第三節控制系統的結構圖和信號流圖解題方法一之步驟3第三節控制系統的結構圖和信號流圖內反饋環節等效變換解題方法一之步驟4第三節控制系統的結構圖和信號流圖內反饋環節等效變換結果解題方法一之步驟5第三節控制系統的結構圖和信號流圖串聯環節等效變換解題方法一之步驟6第三節控制系統的結構圖和信號流圖串聯環節等效變換結果解題方法一之步驟7第三節控制系統的結構圖和信號流圖內反饋環節等效變換解題方法一之步驟8第三節控制系統的結構圖和信號流圖內反饋環節等效變換結果解題方法一之步驟9第三節控制系統的結構圖和信號流圖反饋環節等效變換解題方法一之步驟10第三節控制系統的結構圖和信號流圖等效變換化簡結果解題方法一之步驟11第三節控制系統的結構圖和信號流圖將綜合點③前移，然后與綜合點②交換。解題方法二第三節控制系統的結構圖和信號流圖引出點A后移解題方法三第三節控制系統的結構圖和信號流圖引出點B前移解題方法四第三節控制系統的結構圖和信號流圖例求RC串聯網絡的傳遞函數。1R11C1S1C2S___R(S)C(S)1R2RC串聯網絡動態結構圖解：錯！C2S1R1注意：綜合點與引出點的位置不作交換！R1_1R2C2S_1R1C1SR1C2S1R1C1S+11R2C2S+1_R(s)C(s)系統傳遞函數：R(s)C(s)(R1C1S+1)(R2C2S+1)+R1C2S1=H(s)=R1C2S(R1C1S+1)(R1C1S+1)G(s)=1第三節控制系統的結構圖和信號流圖結構圖化簡步驟小結確定輸入量與輸出量。如果作用在系統上的輸入量有多個，則必須分別對每個輸入量逐個進行結構圖化簡，求得各自的傳遞函數。若結構圖中有交叉聯系，應運用移動規則，首先將交叉消除，化為無交叉的多回路結構。對多回路結構，可由里向外進行變換，直至變換為一個等效的方框，即得到所求的傳遞函數。第三節控制系統的結構圖和信號流圖結構圖化簡注意事項：有效輸入信號所對應的綜合點盡量不要移動；盡量避免綜合點和引出點之間的移動。第三節控制系統的結構圖和信號流圖第三節控制系統的結構圖和信號流圖三．信號流圖的組成及性質x1x4x3x2abc11、信號流圖的基本概念

支路：表示變量之間的傳輸關系。

節點：表示系統中的變量。

信號流圖是一種表示線性化代數方程組變量間關系的圖示方法。信號流圖由節點和支路組成第三節控制系統的結構圖和信號流圖2、信流圖的性質A、節點標志系統的變量；

B、支路相當于乘法器；

C、信號沿箭頭單向傳遞；

D、系統的信號流圖不是惟一的。第三節控制系統的結構圖和信號流圖3、信流圖的基本術語源節點只有輸出的節點，代表系統的輸入變量。阱節點只有輸入的節點，代表系統的輸出變量。輸出節點輸入節點混合節點既有輸入又有輸出的節點。若從混合節點引出一條具有單位增益的支路，混合節點變為輸出節點。第三節控制系統的結構圖和信號流圖前向通路從輸入節點到輸出節點的通路上通過任何節點不多于一次的通路。前向通路上各支路增益之乘積，稱前向通路總增益，一般用pk表示。回路起點與終點重合且通過任何節點不多于一次的閉合通路。回路中所有支路增益之乘積稱為回路增益，用Lk表示。不接觸回路相互間沒有任何公共節點的回路第三節控制系統的結構圖和信號流圖第三節控制系統的結構圖和信號流圖根據微分方程繪制信號流圖4、信流圖的繪制

微分方程先拉氏變換，指定系統變量，按因果關系排列，連成信號流圖。例試繪制RC無源網絡的信號流圖。設電容初始為。解由基爾霍夫定律，列寫微分方程式如下：ii1+-uiuo+-R2R1ci2第三節控制系統的結構圖和信號流圖由系統結構圖繪制信號流圖結構圖上信號線變成小圓圈表示變量，方框變成增益線段（即支路），連成信號流圖。例試繪制系統結構圖對應的信號流程。ΣLiΣLiLjΣLiLjLzΔ=1––++···四、梅森增益公式

回路內前向通道和反饋通道傳遞函數的乘積。梅森公式：回路傳遞函數：—特征式△—各回路傳遞函數之和。—兩兩互不相接觸回路的傳遞函數乘積之和。—所有三個互不相接觸回路的傳遞函數乘積之和。Φ(s)=Σnk=1PkΔkΔΣLiΣLiLjΣLiLjLzΣLiΣLiLjΣLiLjLz△k—將△中與第k條前向通道相接觸的回路所在項去掉之后的剩余部分，稱為余子式。Pk—第k條前向通道的傳遞函數。第三節控制系統的結構圖和信號流圖第三節控制系統的結構圖和信號流圖下面結合實例利用梅森公式求系統傳遞函數：例試用梅森公式求例2-14系統的傳遞函數。第三節控制系統的結構圖和信號流圖解由梅森公式求得系統傳遞函數為：例系統的動態結構圖如圖所示，求閉環傳遞函數。

G1G2G3H1G4H2___C(s)+R(s)解：系統有5個回路，各回路的傳遞函數為L1L1=–G1G2H1L2L2=–G2G3H2L3L3=–G1G2G3L4L4=–G1G4L5L5=–G4H2ΣLiLj=0ΣLiLjLz

=0Δ=1+G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3+G1G4+G4H2P1=G1G2G3Δ1=1P2=G1G4Δ2=1將△、Pk、△k代入梅遜公式得傳遞函數：G1G2G3+G1G41+G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3+G1G4+G4H2第三節控制系統的結構圖和信號流圖L1L2L3H1_+++G1+C(s)R(s)G3G2例求系統的閉環傳遞函數。解:L1=G3H1L2=–G1H1L3=–G1G2P1=G1G2Δ1=1–

G3H1Δ=1+G1G2+G1H1–G3H1R(s)C(s)1+G1G2+G1H1–G3H1G1G2

(1–

G3H1)=第三節控制系統的結構圖和信號流圖五、閉環系統的傳遞函數1、系統的開環傳遞函數2、系統的閉環傳遞函數3、系統的誤差傳遞函數第二章自動控制系統的數學模型_H(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)+N(s)1、系統的開環傳遞函數

閉環控制系統的典型結構：

開環傳遞函數：系統反饋量與誤差信號的比值E(s)B(s)Gk(s)=E(s)B(s)=G1(s)G2(s)H

(s)第三節控制系統的結構圖和信號流圖2、系統的閉環傳遞函數1)．給定信號R(s)作用R(s)E(s)_B(s)H(s)G1(s)G2(s)C(s)

系統的典型結構：

設

N(s)=0典型結構圖可變換為：_B(s)H(s)G1(s)G2(s)R(s)E(s)C(s)+N(s)系統的閉環傳遞函數:R(s)C(s)Ф(s)==1+G(s)H(s)G(s)第三節控制系統的結構圖和信號流圖2)．擾動信號N(s)作用設R

(s)=0R(s)E(s)_B(s)H(s)G1(s)G2(s)C(s)

系統的典型結構：+N(s)

動態結構圖轉換成:前向通道:G1(s)H(s)G2(s)N(s)C(s)反饋通道:閉環傳遞函數為：N(s)C(s)Фd(s)==1+G1(s)G2(s)H(s)G2(s)第三節控制系統的結構圖和信號流圖_R(s)E(s)H(s)G2(s)G1(s)3、系統的誤差傳遞函數1)．給定信號R(s)作用誤差輸出的動態結構圖:R(s)+N(s)

前向通道:

反饋通道:

設N(s)=0E(s)C(s)_B(s)H(s)G1(s)G2(s)=1+G1(s)G2(s)H(s)1誤差傳遞函數為：R(s)E(s)Фer(s)=第三節控制系統的結構圖和信號流圖+N(s)G1(s)G2(s)-H(s)E(s)2)．擾動信號D(s)作用R(s)

R(s)作用下誤差輸出的動態結構圖:

前向通道:

反饋通道:R(s)=0E(s)C(s)+N(s)B(s)_H(s)G1(s)G2(s)N(s)