學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGE22學必求其心得，業必貴于專精PAGE6．1垂直關系的判定學習目標1。掌握直線與平面垂直的定義、判定定理。2。掌握平面與平面垂直的概念、判定定理。3.會應用兩定義及兩定理證明有關的垂直問題．知識點一直線與平面垂直的定義思考在陽光下觀察直立于地面的旗桿及它在地面上的影子，隨著時間的變化，影子的位置在移動,在各個時刻旗桿所在的直線與其影子所在的直線夾角是否發生變化，為多少？梳理線面垂直的概念定義如果一條直線和一個平面內的______________直線都垂直,那么稱這條直線和這個平面垂直記法有關概念直線l叫作平面α的________，平面α叫作直線l的________,它們唯一的公共點P叫作________圖示畫法畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直知識點二直線和平面垂直的判定定理將一塊三角形紙片ABC沿折痕AD折起，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD，DC與桌面接觸)．觀察折痕AD與桌面的位置關系．思考1折痕AD與桌面一定垂直嗎？思考2當折痕AD滿足什么條件時，AD與桌面垂直？梳理判定定理文字語言如果一條直線和一個平面內的______________都垂直,那么該直線與此平面垂直符號語言l⊥a，l⊥b,aα，bα，a∩b＝A?l⊥α圖形語言知識點三二面角思考1觀察教室內門與墻面，當門繞著門軸旋轉時，門所在的平面與墻面所形成的角的大小和形狀．數學上,用哪個概念來描述門所在的平面與墻面所在的平面所形成的角？思考2平時，我們常說“把門開大一點”,在這里指的是哪個角大一點？梳理(1)定義：從一條直線出發的______________所組成的圖形．(2）相關概念：①這條直線叫作二面角的________．②兩個半平面叫作二面角的________．(3)二面角的記法以直線AB為棱,半平面α，β為面的二面角，記作二面角α－AB－β.(4）二面角的平面角：若有①O________l；②OA______α,OB________β;③OA________l，OB________l，則二面角α－l－β的平面角是________．知識點四平面與平面垂直思考建筑工人常在一根細線上拴一個重物，做成“鉛錘”,用這種方法來檢查墻與地面是否垂直．當掛鉛錘的線從上面某一點垂下時，如果墻壁貼近鉛錘線，則說明墻和地面什么關系？此時鉛錘線與地面什么關系？梳理(1)平面與平面垂直的概念①定義：如果兩個平面相交，且它們所成的二面角是________________，就說這兩個平面互相垂直．②畫法：③記法：________.(2)判定定理文字語言如果一個平面經過另一個平面的一條________,那么這兩個平面互相垂直圖形語言符號語言l⊥α，________?α⊥β類型一線面垂直的判定例1如圖，已知PA垂直于⊙O所在的平面,AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點,求證：BC⊥平面PAC。引申探究若本例中其他條件不變,作AE⊥PC交PC于點E，求證：AE⊥平面PBC.反思與感悟(1）使用直線與平面垂直的判定定理的關鍵是在平面內找到兩條相交直線都與已知直線垂直，即把線面垂直轉化為線線垂直來解決．（2)證明線面垂直的方法①線面垂直的定義．②線面垂直的判定定理．③如果兩條平行直線的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面．④如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么它也垂直于另一個平面．跟蹤訓練1如圖,已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點，過點A作AE⊥PC于點E,作AF⊥PB于點F，求證：PB⊥平面AEF。類型二面面垂直的判定例2如圖所示，在四棱錐S－ABCD中,底面四邊形ABCD是平行四邊形，SC⊥平面ABCD,E為SA的中點．求證：平面EBD⊥平面ABCD。反思與感悟（1）由面面垂直的判定定理知,要證兩個平面互相垂直，關鍵是證明其中一個平面經過另一個平面的垂線．（2）證明面面垂直的常用方法：①面面垂直的判定定理；②所成二面角是直二面角．跟蹤訓練2如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱垂直于底面，∠ACB＝90°,AC＝eq\f（1,2)AA1，D是棱AA1的中點．證明：平面BDC1⊥平面BDC.類型三與二面角有關的計算例3如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B1的正切值．反思與感悟(1)求二面角的大小關鍵是要找出或作出平面角．再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函數值,其步驟為作角→證明→計算．（2）為了能在適當位置作出平面角要注意觀察二面角兩個面的圖形特點，如是否為等腰三角形等．跟蹤訓練3如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上的一點,且PA＝AC,求二面角P－BC－A的大?。?．如果一條直線垂直于一個平面內的下列各種情況，能保證該直線與平面垂直的是(）①三角形的兩邊;②梯形的兩邊;③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩條邊．A．①③ B．②C．②④ D．①②④2．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如圖所示)，圖中互相垂直的平面有(）A．1對 B．2對C．3對 D．5對3．如圖，α∩β＝l，點A,C∈α，點B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直線l與直線AC的關系是()A．異面 B．平行C．垂直 D．不確定4．三棱錐P－ABC中，PA＝PB＝PC＝eq\r(73）,AB＝10，BC＝8，CA＝6,則二面角P－AC－B的大小為________．5.如圖,在四面體ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD,且E、F分別是AB、BD的中點．求證：平面EFC⊥平面BCD.1.直線和平面垂直的判定方法:（1）利用線面垂直的定義；(2)利用線面垂直的判定定理;(3)利用下面兩個結論：①若a∥b，a⊥α,則b⊥α；②若α∥β，a⊥α，則a⊥β。2．證明兩個平面垂直的主要途徑：（1)利用面面垂直的定義;(2)面面垂直的判定定理，即如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直．3．證明兩個平面垂直，通常是通過證明線線垂直→線面垂直→面面垂直來實現的，因此，在關于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉化．每一垂直的判定都是從某一垂直開始轉向另一垂直,最終達到目的．答案精析問題導學知識點一思考不變，90°。梳理任何一條l⊥α垂線垂面垂足知識點二思考1不一定．思考2當AD⊥BD且AD⊥CD時，折痕AD與桌面垂直．梳理兩條相交直線知識點三思考1二面角．思考2二面角的平面角．梳理（1)兩個半平面（2）棱面（4）∈⊥⊥∠AOB知識點四思考都是垂直．梳理(1)①直二面角③α⊥β（2)垂線lβ題型探究例1證明∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC。又∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC。而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.引申探究證明由例1知BC⊥平面PAC,又∵AE平面PAC,∴BC⊥AE。∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C,∴AE⊥平面PBC。跟蹤訓練1證明由引申探究知AE⊥平面PBC?！逷B平面PBC,∴AE⊥PB，又AF⊥PB，且AE∩AF＝A,∴PB⊥平面AEF。例2證明連接AC，與BD交于O點，連接OE.∵O為AC的中點,E為SA的中點,∴EO∥SC?！逽C⊥平面ABCD,∴EO⊥平面ABCD.又∵EO平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.跟蹤訓練2證明由題設知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1,所以DC1⊥BC。由題設知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC。又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC。又DC1平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC。例3解取A1C1的中點O,連接B1O,BO.由題意知B1O⊥A1C1,又BA1＝BC1，O為A1C1的中點，所以BO⊥A1C1,所以∠BOB1即是二面角B－A1C1－B1的平面角．因為BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1.設正方體的棱長為a，則OB1＝eq\f（\r(2），2)a，在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝eq\f（BB1,OB1）＝eq\f（a,\f（\r(2)，2）a)＝eq\r(2），所以二面角B－A1C1－B1的正切值為eq\r(2).跟蹤訓練3解由已知PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC。∵AB是⊙O的直徑,且點C在圓周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A,∴BC⊥平面PAC.而PC平面PAC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P－BC－A的棱，∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角．由PA＝AC知，△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°。當堂訓練1．A2。D3.C4．60°解析由題意易得點P在平面ABC上的射影O是AB的中點．取AC的中點Q，連接OQ，則OQ∥BC.由題意可得△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴∠AQO＝90°,即OQ⊥AC.又∵PA＝PC，∴PQ⊥AC，∴∠PQO即是二面角P－AC－B的平面角．∵PA＝eq\r（73），AQ＝eq\f（1,2）AC＝3，∴PQ＝8。又∵OQ＝eq\f（1，2)BC＝4,∴cos∠PQ