2.3.2

7個晶系**把晶體的32個對稱類型劃分為七個晶系，其特征對稱元素如下立方晶系4個3次軸；四方晶系1個4次軸或4次反軸；六方晶系1個6次軸或6次反軸；三方晶系1個3次軸或3次反軸；正交晶系2次軸或反映面之數目大于1；單斜晶系2次軸或反映面之數目等于1；三斜晶系沒有旋轉軸和反映面;高級晶族:立方晶系;中級晶族:四方晶系，六方晶系，三方晶系;低級晶族:正交晶系，單斜晶系，三斜晶系。32個對稱型見表2.3.3對稱型的國際符號**1、寫法：對稱型（點群）的國際符號，只寫出對稱型中的三種對稱要素（對稱軸，對稱面，旋轉反伸軸），其他對稱要素可根據組合定理推導出來，這三類對稱要素的國際符號如下：對稱面：以m表示；對稱軸：以軸次的數字表示，如1，2，3，4和6；旋轉反伸軸：在軸次的數字上面加以‘－’如1，2，3，4和6。由于1＝i，2=m,習慣用一次反軸表示對稱中心，以對稱面m代替二次反軸；讀法：6讀作“六，一橫”；對稱型的國際符號的書寫順序是有嚴格規定的，

符號由不超過三個的位組成，根據所屬的不同晶系，每個位分別表示晶體一定方向（指定方向）所存在的對稱元素，即存在與該方向平行的對稱軸或旋轉反伸軸，以及存在于該方向垂直的對稱面，當這兩類對稱元素在同一方向同時存在時，則寫成分式的形式，如（4／m）即代表該方向上有一個四次對稱軸，同時還有一個對稱面與它垂直。如果某一方向上不存在對稱元素時，則將該位空著，或用1填補空缺。（三斜、單斜只有一個位）各個晶系中，規定的位及每個位所代表的方向見教材表2－2。寫對稱型的國際符號時，首先確定其所屬晶系，明確三個位，每個位方向上所存在的對稱元素。**每個晶系的國際符號寫法例子：L44L25PC

屬于四方晶系，三個位代表的方向是：c,a,a+b,在c方向上(Z方向)有L4和垂直于L4的反映面，因此第一位寫作4／m，第二位a方向上（X方向）有一個L2和垂直于L2的對映面，因此可寫作2／m,同理第三位也寫作2／m，結果：4／m2／m2／m；還可以簡化為4／mmm。L2PC

屬于單斜晶系，規定的一個方向是b，有一個L2和垂直于L2的反映面，第一位寫作：2／m,其他兩位空。寫出此對稱型的圣弗立斯符號和國際符號2.4整數定律和晶面指數2.4.1整數定律如圖，在晶體中選三個不共面、相交于一點的晶棱OⅠ、OⅡ、OⅢ．再在這個晶體上取兩個不平行的晶面A1B1C1和A2B2C2。這兩個晶面在晶棱上的截距分別為OA1、OB1,、OC1、OA2、OB2、OC2。浩羽發現，這兩個晶面相應截距相除其商的連比總能化成一簡單整數比，這就是整數定律。寫成數學形式，即2.4.2晶面指數

在整數定律中，用m，n，p三個數字就能表示該晶面在空間的取向，但在晶體中有時晶面會與軸平行，此時截距為無限大。為了避免這一點結晶學中采用倒易截距比來表示晶面：h:k:l是三個整數比，稱為米勒指數或晶面指數使用時簡單地表示為（hkl）。晶面ABC在X，Y，Z軸上的截距分別為3a，2b，6c。則求解過程為：三晶軸的單位分別為a，b，c，因此其截距系數分別為：3，2，6，其倒數比為1/3:1/2:/2/6，因此其晶面指數為（231）。

2.4.3晶體定向

測定實際晶體的晶面符號時，為統一，必須確定一個標準的結晶學坐標系，這樣才會有共同的語言來精確地描述晶體的外形。對稱元素就是一個現成的坐標系，旋轉軸與直線點陣平行是可能的晶棱方向；反映面法線方向也與直線點陣平行，也是可能的晶棱方向，晶棱有時會不出現，而反映晶體本質的對稱元素相互之間總是保持一定的幾何取向。因此對稱元素方向不僅是坐標系而且是比較標準的坐標系。此外，坐標軸上的單位向量的大小我們也是不知道的，這可用選單位面的辦法來解決。

晶體按晶系選用適當的坐標系和單位面叫做晶體的定向。

晶體定向就是在晶體上選擇一個坐標系統，即選擇坐標軸（稱晶軸或稱結晶軸）和確定各坐標軸上的單位長（軸單位）之比（軸率）。

（l）晶軸：在晶體定向時，一般是選用三根晶軸（三軸定向），選擇交于晶體中心的三根適當的直線，它們分別為X軸、Y軸、Z軸（或稱a軸、b軸、c軸）。三根晶軸的安置：X軸前后方向，前端為正，后端為負；Y軸為左右方向，右端為正，左端為負；Z軸上下直立，上端為正，下端為負（對于三方、六晶系要增加一個V軸，即四軸定向。后端為正，前端為負。

（2）軸率：軸單位是晶軸上的單位長度，由于所選定的晶軸都是晶體格子構造中的行列方向，所以晶軸的軸單位就是該晶軸行列的結點間距。X、Y、Z軸上的軸單位分別以a0、b0、c0表示。有時直接用a、b、c表示。由于結點間距極小（nm計），需借X射線分析方能測得，所以在晶體外形上能定出軸單位的真長。但是，可以通過晶體測量和晶體計算求出它們之間的比率。a：b：c，這個比率稱為軸率（亦稱軸單位比）。

（3）晶體常數（或晶體幾何常數）：

在三個行列上有晶胞參數(a，b，c;α,β,γ)，這些參數就構成了三個晶軸上的軸單位和晶軸之間的夾角。（4）晶軸的選擇**

晶軸的選擇不是任意的，應遵守以下選擇原則：

（1）選擇的晶軸應符合晶體本身所固有的對稱規律，因此，選擇晶軸首先選擇對稱軸，缺少對稱軸則選對稱面法線。若沒有對稱軸和對稱面，則選取平行主要晶棱方向。

（2）在上述前提下，應盡可能使晶軸垂直或接近于垂直，并使軸單位趨近于相等。即盡可能使之趨向于：α=β=γ=90o。a＝b＝c。各晶系的對稱特點不同時，其選擇的晶軸及晶體常數特點亦不同。（2）根據國際符號判斷所屬晶系**

l）根據低級晶族的對稱特點判斷其晶系。

①無2無m者為三斜晶系；②2或m不多于1者為單斜晶系；③2或m多于1者為斜方（正交）晶系；

2）國際符號中有一個高次軸時，根據首位符號定晶系。即首位是4或4者為四方晶系；首位是3或3者為三方晶系；首位是6或6者為六方晶系。

3）國際符號中第二位是3或3者為等軸晶系（立方晶系

）

。（3）由國際符號寫出對稱型：*

首先確定對稱型的國際符號所屬晶系，明確三個位所代表的方向上的對稱要素，再根據對稱要素之間的關系，運用組合定理推導出全部的對稱要素，之后組合成對稱型。

注意:*a代表X軸方向;b代表Y軸方向;c代表Z軸方向;a+b代表X與Y軸的角平分線方向；a+b+c代表X、Y、Z軸體的對角線方向。練習：寫出此對稱型的國際符號。（先定位再找對稱元素）

下圖是橄欖石的晶體外形，我們選三個互相垂直的二次軸為坐標系，選晶面7為單位面，這樣1(100)，2(010)，3(001)，4(110)，5(011)，6(101)，7(111)。這個晶體上共有26個晶面。

至于三方，六方晶系以上方法是不適用的。六方晶系柱面在三軸定向后的晶面指數，無法寫出個統一的單形符號來。在六方晶系中為了對稱性的緣故而采用四軸定向，把L6作為c軸，把相互成120o角的三個L2作為a1,a2,a3,這樣以這四個軸決定下來的柱面晶面指數為（1010)，(0110)，（1100)，（1010），（0110），（1100）。因此可用{1010}表示六方柱面的六個晶面．如圖所示。一般用（hkil）表示三方或六方晶面指數，其中-i=(h+k).前端為負2.4.4布拉威定律

在晶體中。最可能出現的和比較發展的晶面是格子面積較小（或面網密度較大）的晶面，這稱為布拉威定律。如圖所示，指數較高格子面積較大的晶面（110），在晶體生長過程中。當質點長上去時受到較大的作用力，因而與(100）晶面相比其面積相對縮小，以致消失。留下的是格子面積較小的（100）和（010）晶面。面網密度較小的晶面優先生長的圖解生長速度快的晶面在生長過程中被淹沒的示意圖2.547種單形2.5.1普形和特形

一個面在一對稱類型所有對稱動作下所得的一組面稱為單形。

單形按其出發面相對于對稱元素的取向分為普形與特形。普形是指出發面在一般位置的情況，特形是指出發面垂直或平行于某對稱元素，或與同樣的對稱元素交成等角的情況。

2.5.2單形和聚形如圖，在含硼酸水溶液中長出來的NaCl單晶，它可以看成是立方體和正八面體穿插組成。立方面、正八面體面都可以借助于晶體的對稱元素的對稱動作復原。這每一組晶面都是單形。

晶體外形都由二組或若干組單形構成，這樣的晶體外形叫做聚形（如圖）。當單形成閉合空間時稱為閉形，當單形不能閉合空間時稱為開形。顯然開形只能和其它單形一起構成晶體外形。

聚形的生成（a）柱及雙錐體

（b）立方體及菱形十二面體1.單形的概念:是由對稱要素聯系起來的一組晶面的組合。也就是說，單形是一個晶體上能夠由該晶體的所有對稱要素操作而使它們相互重復的一組晶面。

在理想的情況下，同一單形內的晶面應該同形等大。例如：立方體、八面體、菱形十二面體和四角三八面體都是單形。

這四個單形形狀完全不同，但對稱型是一樣的。即對稱型一樣的晶體，形態可以完全不同。這是因為晶面與對稱要素的關系不同。2．單形的推導

可以在對稱型中假設一個原始晶面，通過對稱操作的作用而得到其它晶面，這些晶面共同組成一個單形，這就是單形的推導。現以斜方晶系中的對稱型mm2(L22P)為例說明單形的推導。位置1：單面{001}位置2：平行雙面{100}位置3：平行雙面{010}位置4：雙面{h0l}位置5：雙面{0kl}位置6：斜方柱{hk0}位置7：斜方單錐{hkl}ZYXYX

在上述7個單形中，第2、3號單形完全一樣，第4、5號單形也完全一樣（形狀一樣、對稱性也一樣），這樣就可將之視為一個單形。

因此，mm2對稱型一共有5個單形。3．單形符號

如果是幾個晶面共同組成一個單形，則這幾個晶面的晶面符號具有某種相似性，這樣，我們可以選擇同一單形內的某一個晶面作為代表，用其符號表示該單形的符號。

代表晶面應選擇單形中正指數為最多的晶面，也即選擇第一象限內的晶面，在此前提下，要求盡可能使│h│≥│k│≥│l│，即盡可能靠近前面，其次靠近右邊，再次靠近上邊。**例如:八面體{111}、立方體{100}、六八面體{321}、四方柱{110}2.5.3立方晶系Oh的單形

如圖1，當出發面與3個晶軸（這里是3個4次軸）無特定關系時。得到48個晶面。這里的單形用{321}表示，叫做六八面體。當出發面與其中1個晶軸L4平行時，這時也必和1個反映面垂直，重復數減少了2倍，得到24個晶面,這個單形用{210}表示叫做四六面體（圖2）。

當出發面與兩個晶軸截距相等時，也必與一反映面垂直，重復數減少1倍，得到24個晶面的單形，這分兩種情況：圖1圖3圖2

單形{221}，即截距比為1/2a:1/2a:a得到的是圖3的“三角三八面體”。單形{112}，即截距比為a：a：1/2a，得到的是“四角三八面體”（圖4)。

當出發面正好與兩個晶軸截距相等，與另一個晶軸平行，單形符號是｛101｝。這個出發面必與2次軸垂直，也與一反映面垂直，重復數因而縮小到12，得十二面體〔圖5)。

在與3個晶軸截距相等時出發面也必然和3次軸及反映面垂直，重復數減少了6倍得到正八面體。單形符號{111}（圖6）。

出發面與晶軸垂直時即與4次軸垂直，這時也和反映面垂直，重復數減少了8倍，得到立方體，單形符號{100}〔圖7)。圖7圖6圖5圖4{112}｛101｝{111}{100}2.5.447種單形

從晶體微觀結構看，立方晶系對稱型中出發面與晶軸的7種幾何關系對其他晶系對稱型似乎也適用。這樣單形好像會有32x7=224種。但是這里單形分類的依據是晶體的外形而不是它的微觀結構。對對稱性較Oh低的點群，這7種幾何關系就不會顯示出來。

由于單形分類只考慮外形不考慮內部結構所以不同對稱類型，甚至不同晶系推得的同樣單形也只算1種，這就減少了單形的數目。例如在D4h,D6h兩種類型中，當出發面垂直于主軸時，就只能得到板形，顯然它們在晶體中形狀上、內部結構上都不相同，但這兩種和所有的對稱類型推得的板形只算1種。這樣一來，大大減少了單形數目，單形共有47種。在無對稱中心、反映面的對稱類型中，單形有左右形，這里左右形只算1種。否則單形還不少于47種，將有58種。一個對稱型最多能導出7種單形（例如上述mm2只推導出5個單形），對32種對稱型逐一進行推導，最終將導出結晶學上146種不同的單形，稱為結晶單形。在這146種結晶單形中，還有許多幾何形狀是相同的，如下圖的5個立方體。如果將形狀相同的歸為一個單形，則146種結晶單形可以歸納為47種幾何單形。47種幾何單形見后面的圖。記住一些單形名稱的方法:

1、面類等軸晶系：2、柱類1、四面體組3、單錐類2、八面體組4、雙錐類3、立方體組

5、面體類6、偏方面體類晶類K的每一單形都有自己的對稱性，因此由互相切割組合(即形成聚形)后的每一單形的面仍然對稱等同，仍屬于等同多面體。完整晶體外形表面確實可由幾種這樣的多面體，即單形所組成，也可以由同一種單形的幾個多面體組成。

單形的相聚不是任意的，必須是具有相同對稱性的單形才能相聚在一起；換句話說，聚形的必要條件是組成聚形的各個單形都必須屬于同一對稱型(這里的對稱型是指結晶單形的對稱型)。32種晶類的晶態多面體見下面的圖示:聚形分析：應該首先確定晶體所屬的對稱型；然后確定晶體上晶面種類個數，在理想情況下，屬于同一單形的各晶面一定同形等大，不同單形的晶面，則形態、大小、性質等也不完全相同；再逐一考察每一組同形等大的晶面的幾何關系特征，確定各單形名稱及形號。**注意：單形的晶面在聚形里可以變得面目全非，例如：立方體晶面不一定是正方形，八面體的晶面不一定是三角形，等等。

2.6分子的對稱性

各種儀器測定分子對稱