2023/2/31第二章

軸向拉伸與壓縮2023/2/32§2-1引言§2-2軸力與軸力圖§2-3拉壓桿的應力與圣維南原理§2-4材料在拉伸與壓縮時的力學性能§2-5應力集中概念§2-6許用應力與強度條件§2-7胡克定律與拉壓桿的變形§2-8簡單拉壓靜不定問題第二章軸向拉伸與壓縮2023/2/33§2-1引言2023/2/34§2-1引言2023/2/35§2-1引言2023/2/36§2-1引言2023/2/37外力特征：外力或其合力的作用線通過橫截面的形心，并且沿桿件軸線。變形特征：軸向伸長或縮短，軸線仍為直線。軸向拉壓：以軸向伸長或縮短為主要特征的變形形式。拉壓桿：以軸線拉壓為主要變形的桿件。桿的受力簡圖為FF拉伸FF壓縮§2-1引言特點：2023/2/38§2-1引言√2023/2/39桿件在外力作用下，橫截面上將產生軸力、剪力、扭矩、彎矩等內力分量。在很多情形下，內力分量沿桿件的長度方向的分布不是均勻的。研究強度問題，需要知道哪些橫截面可能最先發(fā)生失效，這些橫截面稱為危險面。內力分量最大的橫截面就是首先需要考慮的危險面。研究剛度問題雖然沒有危險面的問題，但是也必須知道內力分量沿桿件長度方向是怎樣變化的。§2-2軸力與軸力圖2023/2/310為了確定內力分量最大的橫截面，必須知道內力分量沿著桿件的長度方向是怎樣分布的。桿件的內力圖就是表示內力分量變化的圖形。主要有軸力圖、扭矩圖、剪力圖與彎矩圖，重點是剪力圖與彎矩圖。2023/2/311確定外力作用下桿件橫截面上的內力分量，重要的是正確應用平衡的概念和平衡的方法。這一點與工程靜力分析中的概念和方法相似，但又不完全相同。主要區(qū)別在于，在靜力分析中只涉及整個系統(tǒng)或單個構件的平衡，而在確定時，不僅要涉及單個構件以及構件系統(tǒng)的平衡，而且還要涉及構件的局部的平衡。因此，需要將平衡的概念加以擴展和延伸。2023/2/312整體平衡與局部平衡的概念

彈性桿件在外力作用下若保持平衡，則從其上截取的任意部分也必須保持平衡。前者稱為整體平衡或總體平衡(overallequilibrium)；后者稱為局部平衡(localequilibrium)。整體是指構件所代表的某一構件。局部是指可以是用一截面將桿截成的兩部分中的任一部分，也可以是無限接近的兩個截面所截出的一微段，還可以是圍繞某一點截取的微元或微元的局部等。這種整體平衡與局部平衡的關系，不僅適用于彈性桿件，而是適用于所有彈性體，因而可以稱為彈性體平衡原理(elasticbodyequilibriumbody)。2023/2/313桿件橫截面上的內力與外力的相依關系所謂外力突變，是指有集力、集中力偶作用的情形；分布載荷間斷或分布載荷集度發(fā)生突變的情形。所謂內力變化規(guī)律是指表示內力變化的函數(shù)或變化的圖線。這表明，如果在兩個外力作用點之間的桿件上沒有其他外力作用，則這一段桿件所有橫截面上的內力可以用同一個數(shù)學方程或者同一圖線描述。補充知識：——

如何確定控制面2023/2/314控制面(controlcross-section)

在一段桿上，內力按一種函數(shù)規(guī)律變化，這一段桿的兩個端截面稱為控制面。控制面也就是函數(shù)定義域的兩個端截面。據(jù)此，下列截面均可能為控制面：集中力(外力和約束力)作用點兩側截面。集中力偶作用點兩側截面。集度相同的均布載荷起點和終點處截面。2023/2/315桿件內力分量的正負號規(guī)則

剪力FQ(FQy或FQz)：使截開部分桿件產生順時針方向轉動者為正；逆時針方向轉動者為負。

軸力FN：無論作用在哪一側截面上，使桿件受拉者為正；受壓者為負。m只適用于假想截開的截面，不能用于整個桿件的內力判斷。2023/2/316

彎矩M(My或Mz)：作用在左側面上使截開部分逆時針方向轉動；或者作用在右側截面上使截開部分順時針方向轉動者為正；反之為負。

扭矩Mx：扭矩矢量方向與截面外法線方向一致者為正，反之為負。可用右手幫助來判斷！mm2023/2/317這個規(guī)則只適用于假想截開的截面(或者說它只規(guī)定了這個截面上的內力正負而已)，不能用于整個桿件的內力判斷。在對桿件某個部分列平衡方程的時候，內力的正負只與所建立的參考坐標系方向有關，而與上述規(guī)則無關。桿件內力分量的正負號規(guī)則注意事項mF1F2F3F1F2F2023/2/318截面法確定指定橫截面上的內力分量應用截面法確定某一個指定橫截面上的內力分量。首先，需要用假想橫截面從指定橫截面處將桿件截為兩部分；然后考察其中任意一部分的受力(受力分析)；由平衡條件和平衡方程，即可得到該截面上的內力分量。2023/2/319FF1、軸力：橫截面上的內力2、截面法求軸力mmFFN切:假想沿m-m橫截面將桿切開。留:留下左半段或右半段。代:將拋掉部分對留下部分的作用用內力代替。平:對留下部分寫平衡方程求出內力即軸力的值。FFN§2-2軸力與軸力圖2023/2/3203、軸力正負號：拉為正、壓為負4、軸力圖：軸力沿桿件軸線的變化

由于外力的作用線與桿件的軸線重合，內力的作用線也與桿件的軸線重合。所以稱為軸力。FFmmFFNFFN§2-2軸力與軸力圖2023/2/321已知F1=10kN；F2=20kN；F3=35kN；F4=25kN;試畫出圖示桿件的軸力圖。11例題2-1FN1F1解：1、計算各段的軸力。F1F3F2F4ABCDAB段BC段2233FN3F4FN2F1F2CD段2、繪制軸力圖。§2-2軸力與軸力圖2023/2/322§2-2軸力與軸力圖×2023/2/3231.橫截面上的應力

桿件的強度不僅與軸力有關，還與橫截面面積有關。必須用應力來比較和判斷桿件的強度。§2-3拉壓桿的應力與圣維南原理平面假設變形后，橫截面仍保持平面，且仍與桿軸垂直，只是相鄰橫截面間沿桿軸相對平移。

在很多情形下，桿件在軸力作用下產生均勻的伸長或縮短變形，因此根據(jù)材料均勻性的假定，桿件橫截面上的應力均勻分布。這時橫截面上的正應力為2023/2/3242.斜截面上的應力由平面假設可知，桿內各縱向纖維的變形相同，因此斜截面m-m和m’-m’上應力pα沿截面均勻分布。考察桿左段的平衡，得到：2023/2/325小結：在拉壓桿的任意斜截面上，不僅存在正應力，而且存在切應力，其大小隨截面方位角變化。當α=0時，正應力最大，其值為：當α=45o時，切應力最大，其值為：FNFN試驗測試結果2.斜截面上的應力2023/2/3262.斜截面上的應力2023/2/327§2-3拉壓桿的應力與圣維南原理圣維南原理當作用在桿端的軸向外力沿橫截面非均勻分布時，外力作用點附近的應力也非均勻分布。圣維南指出：作用在桿端的外力只影響桿端附近的應力分布，影響區(qū)的軸向范圍大約是離桿端1~2倍桿的橫向尺寸。2023/2/328——橫截面上的應力§2-3拉壓桿的應力與圣維南原理√2023/2/329例題2-2

圖示結構，試求桿件AB、CB的應力。已知F=20kN；斜桿AB為直徑20mm的圓截面桿，水平桿CB為15×15的方截面桿。FABC解：1、計算各桿件的軸力。（設斜桿為1桿，水平桿為2桿）用截面法取節(jié)點B為研究對象45°12FBF45°§2-3拉壓桿的應力與圣維南原理2023/2/3302、計算各桿件的應力。FABC45°12FBF45°§2-3拉壓桿的應力與圣維南原理2023/2/3312023/2/332§2-4材料拉伸時的力學性能力學性質：在外力作用下材料在變形和破壞方面所表現(xiàn)出的力學性能。一試件和實驗條件常溫、靜載2023/2/333§2-4材料拉伸時的力學性能2023/2/334二低碳鋼的拉伸§2-4材料拉伸時的力學性能2023/2/335明顯的四個階段1、彈性階段ob比例極限彈性極限2、屈服階段bc（失去抵抗變形的能力）屈服極限3、強化階段ce（恢復抵抗變形的能力）強度極限4、局部徑縮階段ef§2-4材料拉伸時的力學性能2023/2/336兩個塑性指標:斷后伸長率斷面收縮率為塑性材料為脆性材料低碳鋼的為塑性材料§2-4材料拉伸時的力學性能2023/2/337三卸載定律及冷作硬化1、彈性范圍內卸載、再加載2、過彈性范圍卸載、再加載

即材料在卸載過程中應力和應變是線性關系，這就是卸載定律。

材料的比例極限變大，延伸率降低，稱之為冷作硬化或加工硬化。§2-4材料拉伸時的力學性能2023/2/338四其它材料拉伸時的力學性能對于沒有明顯屈服階段的塑性材料，用名義屈服極限σ0.2來表示。§2-4材料拉伸時的力學性能2023/2/339

對于脆性材料（鑄鐵），拉伸時的應力應變曲線為微彎的曲線，沒有屈服和徑縮現(xiàn)象，試件突然拉斷。斷后伸長率約為0.5%。為典型的脆性材料。σbt—拉伸強度極限（約為140MPa）。它是衡量脆性材料（鑄鐵）拉伸的唯一強度指標。§2-4材料拉伸時的力學性能2023/2/340一試件和實驗條件常溫、靜載§2-4材料壓縮時的力學性能2023/2/341二塑性材料（低碳鋼）的壓縮屈服極限比例極限彈性極限

拉伸與壓縮在屈服階段以前完全相同。E---彈性摸量§2-4材料壓縮時的力學性能2023/2/342三脆性材料（鑄鐵）的壓縮脆性材料的抗拉與抗壓性質不完全相同！壓縮時的強度極限遠大于拉伸時的強度極限脆性材料宜用作承壓桿件。

§2-4材料壓縮時的力學性能2023/2/343§2-4材料壓縮時的力學性能√2023/2/344§2-5應力集中概念應力集中因子：1.應力集中2023/2/345

常見的油孔、溝槽等均有構件尺寸突變，突變處將產生應力集中現(xiàn)象。即稱為理論應力集中因數(shù)1、形狀尺寸的影響：尺寸變化越急劇、角越尖、孔越小，應力集中的程度越嚴重。2、材料的影響：應力集中對塑性材料的影響不大；應力集中對脆性材料的影響嚴重，應特別注意。§2-5應力集中概念2023/2/3462.應力集中對構件強度的影響2023/2/3471.安全系數(shù)和許用應力工作應力極限應力塑性材料脆性材料塑性材料的許用應力脆性材料的許用應力n—安全系數(shù)—許用應力。§2-6許用應力與強度條件與構件的幾何尺寸、受載方式、服役環(huán)境有關！只與材料自身屬性有關，與工作方式無關。沒有安全裕度，不能保證足夠安全！2023/2/348二、強度條件根據(jù)強度條件，可以解決三類強度計算問題1、強度校核：2、設計截面：3、確定許可載荷：§2-6許用應力與強度條件桿件內的最大工作(服役)應力≤桿件自身材料的許用應力2023/2/349§2-6許用應力與強度條件2023/2/350解：1、研究節(jié)點A的平衡，計算軸力。

由于結構幾何和受力的對稱性，兩斜桿的軸力相等，根據(jù)平衡方程F=1000kN，b=25mm，h=90mm，α=200。〔σ〕=120MPa。試校核斜桿的強度。FF得2、強度校核由于斜桿由兩個矩形桿構成，故A=2bh，工作應力為斜桿強度足夠F§2-6許用應力與強度條件例題22023/2/351D=350mm，p=1MPa。螺栓[σ]=40MPa，求直徑。每個螺栓承受軸力為總壓力的1/6解：油缸蓋受到的力根據(jù)強度條件即螺栓的軸力為得即螺栓的直徑為§2-6許用應力與強度條件例題32023/2/352

AC為50×50×5的等邊角鋼，AB為10號槽鋼，〔σ〕=120MPa。求F。解：1、計算軸力。（設斜桿為1桿，水平桿為2桿）用截面法取節(jié)點A為研究對象2、根據(jù)斜桿的強度，求許可載荷AFα查表得斜桿AC的面積為A1=2×4.8cm2例題4§2-6許用應力與強度條件2023/2/3533、根據(jù)水平桿的強度，求許可載荷AFα查表得水平桿AB的面積為A2=2×12.74cm24、許可載荷§2-6許用應力與強度條件2023/2/354一縱向變形二橫向變形鋼材的E約為200GPa，μ約為0.25—0.33E為彈性摸量,EA為抗拉剛度泊松比橫向應變§2-7胡克定律與拉壓桿的變形2023/2/355§2-7胡克定律與拉壓桿的變形√2023/2/356§2-7胡克定律與拉壓桿的變形√2023/2/3572023/2/358例題

AB長2m,面積為200mm2。AC面積為250mm2。E=200GPa。F=10kN。試求節(jié)點A的位移。解：1、計算軸力。（設斜桿為1桿，水平桿為2桿）取節(jié)點A為研究對象2、根據(jù)胡克定律計算桿的變形。AF300斜桿伸長水平桿縮短§2-7胡克定律與拉壓桿的變形2023/2/3593、節(jié)點A的位移（以切代弧）AF300§2-7胡克定律與拉壓桿的變形在小變形條件下，近似地用“切線”代替“圓弧”，確定變形后的位置點。類似于在小角度下，sinθ

≈

θ。在小變形條件下，可按照結構原有幾何形狀與尺寸計算約束反力與內力，并可采用上述以切線代替圓弧的方法確定位移。因此，利用小變形這個概念，可以使問題分析大為簡化。2023/2/360§2-8拉、壓超靜定問題

約束反力（軸力）可由靜力平衡方程求得靜定結構：2023/2/361

約束反力不能由平衡方程求得超靜定結構：結構的強度和剛度均得到提高超靜定度（次）數(shù)：

約束反力多于獨立平衡方程的數(shù)獨立平衡方程數(shù)：平面任意力系：

3個平衡方程平面共點力系：

2個平衡方程平面平行力系：2個平衡方程共線力系：1個平衡方程§2-8拉、壓超靜定問題2023/2/3621、列出獨立的平衡方程超靜定結構的求解方法：2、變形幾何關系3、物理關系4、補充方程5、求解方程組得例題§2-8拉、壓超靜定問題2023/2/363例題變形協(xié)調關系:物理關系:平衡方程:解：（1）補充方程:（2）

木制短柱的4個角用4個40mm×40mm×4mm的等邊角鋼加固，已知角鋼的許用應力[σst]=160MPa，Est=200GPa；木材的許用應力[σW]=12MPa，EW=10GPa，求許可載荷F。250250§2-8拉、壓超靜定問題2023/2/364代入數(shù)據(jù)，得根據(jù)角鋼許用應力，確定F根據(jù)木柱許用應力，確定F許可載荷250250查表知40mm×40mm×4mm等邊角鋼故§2-8拉、壓超靜定問題2023/2/3653桿材料相同，AB桿面積為200mm2，AC桿面積為300mm2，AD桿面積為400mm2，若F=30kN，試計算各桿的應力。列出平衡方程：即：

列出變形幾何關系

，則AB、AD桿長為解：設AC桿桿長為FF例題§2-8拉、壓超靜定問題2023/2/366

即：

列出變形幾何關系

FF將A點的位移分量向各桿投影.得變形關系為

代入物理關系整理得§2-8拉、壓超靜定問題2023/2/367

FF聯(lián)立①②③，解得：（壓）（拉）（拉）§2-8拉、壓超靜定問題2023/2/368螺栓連接鉚釘連接銷軸連接§2-9連接件的強度計算耳片2023/2/369平鍵連接榫連接焊接連接§2-9連接件的強度計算2023/2/370§2-9連接件的強度計算實用計算法一方面對連接件的受力與應力分布進行某些簡化，從而計算出各部分的“名義”應力。同時，對同類連接件進行破壞試驗，并采用同樣的計算方法，由破壞載荷確定材料的極限應力。2023/2/371剪切受力特點：作用在構件兩側面上的外力合力大小相等、方向相反且作用線很近。變形特點：位于兩力之間的截面發(fā)生相對錯動。1.剪切的實用計算FF得切應力計算公式：切應力強度條件：單獨由實驗方法確定假設切應力在剪切面（m-m截面）上是均勻分布的§2-9連接件的強度計算2023/2/3722.擠壓的實用計算

假設應力在擠壓面上是均勻分布的得實用擠壓應力公式擠壓強度條件：常由實驗方法確定*注意擠壓面面積的計算F