§5.2二次曲線的漸近方向、中心、漸近線教學目標：⑴理解二次曲線的漸近方向、中心、漸近線概念；⑵掌握二次曲線的漸近方向、中心、漸近線的求法；⑶能根據漸近方向和中心對二次曲線進行分類。教學重點：二次曲線的漸近方向、中心、漸近線概念及求法。教學難點：根據漸近方向和中心對二次曲線進行分類。§5.2二次曲線的漸近方向、中心、漸近線1.二次曲線的漸近方向

定義5.2.1

滿足條件Φ(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次曲線的漸近方向，否則叫做非漸近方向。事實上，為漸近方向事實上，為漸近方向可見，對橢圓，∵對雙曲線∴它有二不同實漸近方向；∴它有二相同的實漸近方向；，∵，∵∴它沒有實漸近方向；對拋物線對雙曲線∴它也有二不同實漸近方向；，∵

定義5.2.2

沒有實漸近方向的二次曲線叫做橢圓型的,有一個實漸近方向的二次曲線叫做拋物線型的,有兩個實漸近方向的二次曲線叫做雙曲型的。即:⑴橢圓型:I2>0；⑵拋物型:I2＝0；⑶雙曲型:I2<02.二次曲線的中心與漸近線

定義5.2.3

如果點C是二次曲線的通過它的所有弦的中點(C是二次曲線的對稱中心)，那么點C叫做二次曲線的中心。

定理5.2.1

點C(x0

,y0)是二次曲線(1)的中心，其充要條件是：二次曲線(1)的的中心坐標由下方程組決定：如果I2≠0，則(5.2－2)有唯一解，即為唯一中心坐標如果I2＝0，分兩種情況：

定義5.2.4

有唯一中心的二次曲線叫中心二次曲線,沒有中心的二次曲線叫無心二次曲線,有一條中心直線的二次曲線叫線心二次曲線,無心二次曲線和線心二次曲線統稱為非中心二次曲線。二次曲線分類：

漸近線求法：求出中心，再求出漸近方向即可得到漸近線的參數方程。

定義5.2.5

通過二次曲線的中心，而且以漸近方向為方向的直線叫做二次曲線的漸近線。

可見：橢圓型二次曲線沒有實漸近線;雙曲型二次曲線有二不同實漸近線;而對拋物型二次曲線,若其為無心的,則其沒有漸近線,若其為線性的,則由于其漸近方向為，而這正是中心直線的方向，∴它的漸近線即為中心直線。

定理5.2.2

二次曲線的漸近線與這二次曲線或者沒有交點，或者整條直線在這二次曲線上成為二次曲線的組成部分。則l與曲線不相交，§5.3二次曲線的直徑1.二次曲線的直徑

在§5.1中我們已經討論了直線與二次曲線相交的各種情況，當直線平行于二次曲線的某一非漸近方向時，這條直線與二次曲線總交于兩點(兩個不同實的，兩重合實的或一對共軛虛的),這兩點決定了二次曲線的一條弦.現在我們來研究二次曲線上一族平行弦的中點軌跡.

求二次曲線的一族平行弦的中點軌跡.即，解而是平行于方向的弦的中點，設是二次曲線的一個非漸近方向，那么過的弦的方程為它與二次曲線的兩交點(即弦的兩端點)由下列二次方程(1)從而有(5.3-1)兩根與所決定,因為為弦的中點，所以有這就是說平行于方向的弦的中點的坐標滿足方程即(5.3-2)或上列方程的一次項系數不能全為零，這時因為若則一條直線.(5.3-3)所以(5.3-3)或(5.3-1)是一個二元一次方程，它是反過來，這與是非漸近方向的假設矛盾，(5.3-1)定理5.3.1

二次曲線的一族平行弦的中點軌跡是一條直線.如果點滿足方程(5.3-1)(5.3-1)那么方程(1)中將有絕對值相等而符號相反的兩個根，(1)點就是具有方向的弦的中點，因此方程(5.3-1)為一族平行于某一非漸近方向的弦的中點軌跡方程.得到了結論－－定理！下面引進二次曲線直徑的概念定義5.3.1

二次曲線的平行弦中點的軌跡叫做這個二次曲線的直徑，它所對應的平行弦，叫做共軛于這條直徑的共軛弦；而直徑也叫做共軛于平行弦方向的直徑.有多少條直徑?（5.3-4）推論

如果二次曲線的一族平行弦的方向為，那么共軛于這族平行弦的直徑方程是中心與非中心二次曲線的直徑1.中心二次曲線中心滿足:(2)(3)直徑方程:所以,直徑過中心.所有直徑都過中心1.非中心二次曲線非中心二次曲線滿足(2)(3)又分兩種情形或無心曲線：直徑平行漸近方向因直徑方程:方向矢量容易驗證是漸近方向;因為此時：線心曲線：直徑就是其中心直線可以化為因為直徑方程或定理5.3.2

中心二次曲線的直徑通過曲線中心，無心二次曲線的直徑平行于曲線的漸近方向,線心二次曲線的直徑只有一條,就是曲線的中心直線.

因此當，即二次曲線為中心曲線時,它的全部直徑屬于一個中心直線束，這個直線束的中心就是二次曲線的中心；

當，即二次曲線為無心曲線時，直徑屬于一個平行線束；例1求橢圓或雙曲線的直徑.解(5.3-1)顯然，直徑通過曲線的中心根據(5.3-1),共軛于非漸近方向的直徑方程是例2解求拋物線的直徑.所以共軛于非漸近方向的直徑為即所以拋物線的直徑平行于它的漸近方向(5.3-1)解直徑方程為即例3

求二次曲線的共軛于非漸近方向的直徑.因為已知曲線的漸近方向為所以對于非漸近方向一定有2.共軛方向與共軛直徑所以有其中(4)我們把二次曲線的與非漸近方向共軛的直徑方向叫做非漸近方向的共軛方向，因此曲線的共軛于非漸近方向的直徑為因此有所以另外又有，因此得以下結論因為為非漸近方向，這就是說，中心二次曲線的非漸近方向的共軛方向仍然是非漸近方向，而在非中心二次曲線的情形是漸近方向.(5.3-5)非漸近方向當即二次曲線為中心曲線時，；當即二次曲線為非中心曲線時，從(5.3-5)式看出，兩個方向與是對稱的，因此對中心曲線來說，非漸近方向的共軛方向為，而的共軛方向就是

由(4)得二次曲線的非漸近方向與它的共軛方向之間的關系(4)

中心曲線的一對具有相互共軛方向的直徑叫做一對共軛直徑.定義5.3.2設代入(5.3-5)，得(5.3-6)這就是一對共軛直徑的斜率滿足的關系式.(5.3-5)即(5.3-7)有著關系例如橢圓的一對共軛直徑的斜率與而雙曲線的一對共軛直徑的斜率與有著關系(5.3-8)在(5.3-5)中，如果設那么有因此如果對二次曲線的共軛方向從(5.3-5)作代數的推廣,那么漸近方向可以看成與自己共軛的方向，從而漸近線也就可以看成與自己共軛的直徑.(5.3-5)顯然此時為二次曲線的漸近方向.二次曲線的垂線于其共軛弦的直徑叫做二次曲線的主直徑，主直徑的方向與垂直于主直徑的方向都叫做二次曲線的主方向.§5.4二次曲線的主直徑與主方向定義5.4.1

顯然，主直徑是二次曲線的對稱軸，因此主直徑也叫做二次曲線的軸，軸與曲線的交點叫做曲線的頂點.現在我們來求二次曲線(1)的主方向與主直徑.，那么(2)或(3)（4）1.如果二次曲線(1)為中心曲線那么與二次曲線(1)的非漸近方向共軛的直徑為設直徑的方向為根據主方向的定義，成為主方向的條件是它垂直與它的共軛方向在直角坐標系下有，即因此成為中心二次曲線(1)的主方向的條件是(5.4-1)或把它改寫成這是一個關于的齊次線性方程組，而不能全為零，所以成立，其中(5.4-3)即那么它的任何直徑的方向是它的惟一的漸近方向而垂直于它的方向顯然為2.如果二次曲線(1)為非中心二次曲線因此對于中心二次曲線來說，只要由(5.4-3)解出，再代入(5.4-1)就能得到它的主方向.(5.4-２)所以非中心二次曲線(1)的主方向：漸近主方向（5）非漸近主方向（6）正是非中心二次曲線的漸近主方向(5)與非漸近主方向(6).注意到此時方程(5.4-3)的兩根為把它代入(5.4-1)所得到的主方向(5.4-1)因此，一個方向成為二次曲線(1)的主方向的條件是(5.4-1)成立，這里的是方程(5.4-2)或(5.4-3)的根.

定義5.4.2

方程(5.4-2)或(5.4-3)叫做二次曲線(1)的特征方程，特征方程的根叫做二次曲線的特征根.總結:1)從二次曲線(1)的特征方程(5.4-3)求出特征根

,把它代入(5.4-1).我們就得到相應的主方向.

2)如果主方向為非漸近方向，那么根據(5.4-1)就能得到共軛于它的主直徑.(5.4-3)(5.4-２)證如果二次曲線的特征根全為零,那么得因為特征方程的判別式所以二次曲線的特征根都是實數.定理5.4.2二次曲線的特征根不能全為零.證即與從而得這與二次曲線的定義矛盾，所以二次曲線的特征根不能全為零.定理5.4.1二次曲線的特征根都是實數.由二次曲線(1)的特征根確定的主方向，當時，為二次曲線的非漸近方向；當時，為二次曲線的漸近主方向.定理5.4.3證因為所以由(5.4-1)得又因為不全為零，所以當時，為二次曲線(1)的非漸近主方向;當時，為二次曲線(1)的漸近主方向.定理5.4.4中心二次曲線至少有兩條主直徑，非中心二次曲線只有一條主直徑.證由二次曲線(1)的特征方程(5.4-3)解得兩特征根為

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當二次曲線(1)為中心曲線時，.如果特征方程的判別式那么這時的中心曲線為圓(包括點圓和虛圓)，它的特征根為一對二重根.把它代入(5.4-1)或(5.4-1`)，則得到兩個恒等式，它被任何方向所滿足，所以任何實數方向都是圓的