Chapter2

MathematicalModelofControlSystems

控制系統的數學模型第2章控制系統的數學模型

數學模型概念及其建立方法

線性定常系統的傳遞函數

控制系統的結構圖與化簡

信號流圖及梅森增益公式系統數學模型的定義：描述控制系統變量（物理量）之間動態關系的數學表達式。系統的數學模型分類：靜態、動態數學模型常見的數學模型：數學模型時域模型頻域模型方框圖信號流圖狀態空間模型傳遞函數2.1系統建模與動態方程

建立數學模型的目的：為分析和設計控制系統。原因：自控系統可以是電氣的、機械的、液壓的或氣動的等，然而描述這些系統發展的模型卻可以是相同的。因此，通過數學模型來研究自動控制系統，可以擺脫各種不同類型系統的外部特征，研究其內在的共性運動規律。2.1系統建模與動態方程數學模型的建立方法(1)機理建模（白箱）：利用已知內部器件的原理知識分析建立。2.1系統建模與動態方程數學模型的建立方法(2)系統辯識建模（黑箱）系統內部結構不清楚，利用實驗方法建立。(3)介于前兩者之間的建模(灰箱)

內部結構知道一部分，通過實驗測一些參數2.1系統建模與動態方程輸入輸出數學模型求取系統性能指標的主要途徑：求解觀察線性微分方程性能指標傳遞函數時間響應頻率響應拉氏變換拉氏反變換估算估算計算傅氏變換S=jω頻率特性2.1系統建模與動態方程根據系統機理建模的步驟：

a.確定輸入量和輸出量。

b.確定系統的中間變量。根據非線性元件的多少；電容以電容電壓為變量，電感以電感電流為變量。（注意：不一定有多少就確定多少個變量，有一些同性質的串并聯合并以后再確定中間變量）2.1系統建模與動態方程根據系統機理建模的步驟：

c從輸入端開始，按照信號的傳遞順序，根據物理、化學、生物規律（機理），列出各變量的微分方程；條件容許下忽略次要因素。

d列出原始方程中中間變量與其他因素的關系。

e消去中間變量，寫出輸入、輸出變量的微分方程；按模型要求整理出標準形式。

2.1系統建模與動態方程2.1.1電氣和電子系統數學模型的建立

例1

建立電阻元件的數學模型。

[解]明確輸入、輸出量。列出原始微分方程式。根據電路理論得：

2.1系統建模與動態方程2.1.1電氣和電子系統數學模型的建立

例2試建立電感元件的數學模型。

[解]明確輸入、輸出量。列出原始微分方程式。根據電路理論得：2.1系統建模與動態方程2.1.1電氣和電子系統數學模型的建立

例3

試建立電容元件的數學模型。

[解]明確輸入、輸出量。列出原始微分方程式。根據電路理論得：2.1系統建模與動態方程2.1.1電氣和電子系統數學模型的建立

例4簡單的RC網絡如下，建立系統微分方程。R1C1i1(t)ur(t)uc(t)2.1系統建模與動態方程[例5]：如圖RLC電路，試列寫以ur(t)為輸入量，uc(t)為輸出量的網絡微分方程。

[解]:RLCi(t)ur(t)uc(t)2.1系統建模與動態方程03二月2023

15[例6]：建立他勵直流電動機拖動系統的數學模型。忽略電動機和負載折合到電動機軸上的粘性摩擦系數。＋－＋－2.1系統建模與動態方程明確輸入、輸出量。列些微分方程。根據電樞回路電壓平衡方程微分方程得：電磁轉矩方程：

電動機軸上的轉矩平衡方程：

[解]:，

例6續消去中間變量:

他勵電動機作為動力設備，是感性負載，電樞電感較小，電樞電阻很小。由數學模型可知：他勵直流電動機的轉速與電樞電壓成正比，故可作為測速發電機使用，轉速與電壓之間的關系為:

[解]:例6續[例7]RC網絡如下，建立系統微分方程圖為：RC組成的四端無源網絡。U1(t)為輸入量，U2(t)為輸出量，建立網絡微分方程。2.1系統建模與動態方程2.1.1電氣和電子系統數學模型的建立

[解]:設回路電流i1、i2，根據克希霍夫定律，列寫方程如下：

②③④⑤①由④、⑤得：例7續由②導出：將i1、i2代入①、③得:RC組成的四端網絡，是一個二階線性微分方程。例7續2.1.2機械系統數學模型的建立

例1

建立所示機械系統的數學模型，地面光滑。

[解]：明確輸入、輸出量。列出原始微分方程式。根據牛頓運動定律：

2.1系統建模與動態方程2.1.2機械系統數學模型的建立

例2

列寫機械位移系統即質量m在外力F作用下位移y(t)的運動方程。Fy(t)kfm2.1系統建模與動態方程整理得:[解]:阻尼器的阻尼力:

彈簧彈性力:例2續[解]:應用MATLAB求解

例2續Clear;symsFF1F2mxxpxppKfF1=f*xp;F2=K*x[x]=solve(‘m*xpp=F-f*xp-K*x)運行結果：2.1.2機械系統數學模型的建立例3

試建立所示汽車懸浮系統的數學模型。

汽車懸浮系統等效汽車懸浮系統質心車體0x2.1系統建模與動態方程[解]：明確輸入、輸出量。為地面凹凸引起的位移輸入量，為汽車相對水平地面的垂直位移輸出量。列出原始微分方程式。根據牛頓運動定律：

例3續2.1.3熱量系統

例建立電爐加熱系統的數學模型[解]:明確輸入、輸出量。電爐絲發出的總熱量為輸入量，電爐升高的溫度為輸出量。系統平衡方程:電爐絲發出的總熱量＝液體溫度升高所需熱量+容器壁向外散失的熱量式中：c為爐子的熱容量，此系統溫度升高所需熱量為;K為比例常數，散失的熱量為K。

2.1系統建模與動態方程2.1.4相似性定義：具有相同的數學模型的不同物理系統稱為相似系統。比較：電路系統例5、6、8和機械系統例3，代表的是類別、結構完全不同的系統，但表征其運動特征的微分方程式卻是相似的。2.1系統建模與動態方程

同一物理系統有不同形式的數學模型，而不同類型的系統也可以有相同形式的數學模型。利用這個性質，就可以用那些數學模型容易建立，參數調節方便的系統作為模型，代替實際系統從事實驗或仿真研究，或者直接研究數學模型的特性來分析實際系統的特性。2.1系統建模與動態方程2.1.4相似性

非線性系統：用非線性微分方程描述。2.1.5非線性系統微分方程的線性化

線性系統：用線性微分方程描述。2.1系統建模與動態方程線性定常系統：用線性微分方程描述，微分方程的系數是常數。線性系統又分為：

線性時變系統：用線性微分方程描述，微分方程的系數是隨時間而變化的。2.1系統建模與動態方程嚴格說來：實際物理元件或系統都是非線性的2.1.5非線性元件、系統線性化

非線性元件、系統線性化的條件：

實際元件、控制系統常以某一工作點為平衡點，信號圍繞該平衡點的信號小范圍內變化，此時得到的非線性系統輸出可以看成是在平衡點附近有限工作范圍內的線性系統輸出。

2.1系統建模與動態方程2.1.5非線性元件、系統線性化

線性元件、系統線性化處理辦法：a.忽略不記，取常值。

例如：電阻2.1系統建模與動態方程b.泰勒級數展開，取線性部分小偏差線性化：

用臺勞級數展開，略去二階以上導數項。2.1系統建模與動態方程2.1.5非線性元件、系統線性化

線性元件、系統線性化處理辦法：1、假設：x,y在平衡點（x0,y0)附近變化，即：x=x0+△x,y=y0+△y2、近似處理：略去高階無窮小項：3、數學方法：略去增量符號，得A點的線性化方程：小偏差線性化有兩個變量的處理方法：

對于有兩個自變量x1、x2的非線性函數f(x1,x2)，可在某工作點(x10,x20)附近用泰勒級數展開，取其線性項，去掉二階以上項：例1

鐵芯線圈如下，列寫輸入量u(t)和輸出量i(t)之間的關系式。鐵芯線圈磁通變化時產生的感應電勢為：

因磁通φ(i)與電流i呈非線性關系，因此上式是非線性方程。在工程應用中，如果電路的電壓只在平衡點（φ0,i0）附近作微小變化，則將φ(i)在i0附近用泰勒級數展開：約去增量符號，代入方程得：若平衡位置發生變化，則L值亦應改變。例2

試建立所示單擺非線性系統的數學模型。

[解]：由動力學得:當在平衡位置（）作

很小得擺動時，。此時有：非線性系統線性化數學模型的建立步驟非線性系統滿足線性化條件下才能建立數學模型。建立數學模型的步驟：

(1)根據非線性系統列出非線性微分方程。

(2)確定非線性系統的穩定工作點，并求出穩定工作點處各變量的工作狀態。

(3)檢查非線性部分是否滿足線性化處理條件，滿足則進行線性化處理，否則不能線性化。

(4)在工作點的領域內將非線性函數通過增量的形式表示成線性函數。

(5)聯立解方程得到只含有系統總輸入和總輸出的線性化方程。在線性化處理時要注意以下幾點：（1）線性化方程中的參數與選擇的工作點有關，工作點不同相應的參數也不同。因此處理時，首先應確定工作點。（2）當輸入量變化較大時，用上述方法處理誤差較大，注意變化是在小范圍內。（3）如系統在工作點處的非線性性是不連續的，其泰勒級數不收斂，這時上述方法不能用，這種非線性稱為本質非線性。求解方法：經典法、拉氏變換法、零狀態響應、零輸入響應2.2線性定常系統的傳遞函數拉氏變換法求解步驟：

1.考慮初始條件，對微分方程中的每一項分別進行拉氏變換，得到變量s的代數方程；

2.求出輸出量拉氏變換函數的表達式；

3.對輸出量拉氏變換函數求反變換，得到輸出量的時域表達式，即為所求微分方程的解。2.2線性定常系統的傳遞函數2.2.1傳遞函數的定義定義：線性定常系統在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。三要素：線性定常系統、初始條件為零時、拉氏變換之比)()(sRsC==零初始條件輸入信號的拉氏變換輸出信號的拉氏變換傳遞函數

復習－拉普拉斯變換與反變換⑴拉氏變換定義設函數f(t)滿足：

①t<0時f(t)=0②t>0時，f(t)分段連續,且有

則f(t)的拉氏變換存在，其表達式記作:

⑵拉氏變換基本定理線性定理位移定理

延遲定理

終值定理

復習－拉普拉斯變換與反變換⑵拉氏變換基本定理初值定理

微分定理

積分定理

復習－拉普拉斯變換與反變換⑶拉氏反變換

F(s)化成下列因式分解形式：

a.F(s)中具有不同的極點時，可展開為:復習－拉普拉斯變換與反變換⑶拉氏反變換

F(s)化成下列因式分解形式：

b.F(s)含有共扼復數極點時，可展開為

復習－拉普拉斯變換與反變換⑶拉氏反變換

F(s)化成下列因式分解形式：

c.F(s)含有多重極點時，可展開為

其余各極點的留數確定方法與上同。復習－拉普拉斯變換與反變換傳遞函數說明●又是一種數學模型●外部描述●與輸入信號無關◣描述系統變量間的數學關系式◣輸入僅是激勵，輸出中會包含它◣輸入與輸出是系統對外聯系的變量，不反映內部結構●時域信號用小寫字母例如r(t)，c(t)●傳遞函數用大寫字母例如G(s)，W(s)●復域信號用大寫字母例如R(s)，C(s)函數，反映系統變量間關系，描述系統特性信號，時域信號的另一種表示信號，變化的物理量，隨時間而變傳遞函數說明

表示為有理分式形式：式中：—為實常數，一般n≥m，上式稱為n階傳遞函數，相應的系統為n階系統。傳遞函數的幾種表達式2.2線性定常系統的傳遞函數03二月2023

53

表示成零點、極點形式：傳遞函數的幾種表達式2.2線性定常系統的傳遞函數式中：為時的解，即傳遞函數的零點，稱為是的解，即傳遞函數的極點。為傳遞系數或根軌跡增益。03二月2023

54K稱為傳遞系數或開環增益，頻率法中使用較多。傳遞函數的零點和極點

0jS平面零、極點分布圖：傳遞函數分子多項式與分母多項式也可分解為:2.3傳遞函數

寫成時間常數形式：式中：分別稱為時間常數，K稱為放大系數傳遞函數的幾種表達式2.2線性定常系統的傳遞函數

寫成時間常數形式：若零點或極點為共軛復數，則一般用2階項來表示。若為共軛復極點，則：或傳遞函數的幾種表達式2.2線性定常系統的傳遞函數

若有零值極點，則傳遞函數的通式可以寫成：故：傳遞函數是一些基本因子的乘積。基本因子就是典型環節所對應的傳遞函數，是一些最簡單、最基本的一些形式。或：2.2線性定常系統的傳遞函數例：設系統輸出變為y(t)，輸入量為u(t)1若:y(t)=ku(t)2若：3若：2.2線性定常系統的傳遞函數4若：5若：是常數tt),()(-=tuty2.2線性定常系統的傳遞函數6若：2.2線性定常系統的傳遞函數性質1傳遞函數是復變量s的有理真分式函數,m≤n,且所具有復變量函數的所有性質。2.2.2傳遞函數的性質G(s)R(s)C(s)2.2線性定常系統的傳遞函數性質2G(s)取決于系統或元件的結構和參數，與輸入量形式（幅度與大小）無關。性質3G(s)雖然描述了輸出與輸入之間的關系，但它不提供該系統的物理結構。因為許多不同的物理系統具有完全相同的傳遞函數.。性質4如果G(s)已知，那么可以研究系統在各種輸入信號作用下的輸出響應。2.2線性定常系統的傳遞函數如果將置換,性質5傳遞函數與微分方程之間有關系。性質6如果系統G(s)未知，可給系統加上已知的輸入，研究其輸出，得出傳遞函數，一旦建立G(s)可以給出該系統動態特性的完整描述，與其它物理描述不同。傳遞函數數學模型是（表示）輸出變量和輸入變量微分方程的運算模型（operationalmode）2.2線性定常系統的傳遞函數性質7傳遞函數G(s)的拉氏反變換是脈沖響應g(t)脈沖響應（脈沖過渡函數）g(t)是系統在單位脈沖輸入時的輸出響應。

傳遞函數概念主要適用于單輸入單輸出系統。若系統有多個輸入信號，在求傳遞函數時，除了一個有關的輸入外，其它的輸入量一概視為零。2.2線性定常系統的傳遞函數2.2線性定常系統的傳遞函數典型環節通常分為以下六種：1比例環節特點：輸入輸出量成比例，無失真和時間延遲。實例：電子放大器，齒輪，電阻(電位器)，感應式變送器等。2.2.3典型環節的傳遞函數任何復雜系統都是由有限個典型環節組合成的。

K-增益

特點：含一個儲能元件，對突變的輸入,其輸出不能立即復現，輸出無振蕩。實例：RC網絡，直流伺服電動機的傳遞函數也包含這一環節。2慣性環節

T-時間常數2.2線性定常系統的傳遞函數2.2.3典型環節的傳遞函數特點：輸出量正比輸入量變化的速度，能預示輸入信號的變化趨勢。實例：測速發電機輸出電壓與輸入角度間的傳遞函數即為微分環節。3微分環節理想微分一階微分二階微分2.2線性定常系統的傳遞函數2.2.3典型環節的傳遞函數4積分環節特點：輸出量與輸入量的積分成正比例，當輸入消失，輸出具有記憶功能。實例：電動機角速度與角度間的傳遞函數，模擬計算機中的積分器等。2.2線性定常系統的傳遞函數2.2.3典型環節的傳遞函數

式中:ξ－阻尼比;-自然振蕩角頻率（無阻尼振蕩角頻率）特點：環節中有兩個獨立的儲能元件，并可進行能量交換，其輸出出現振蕩。實例：RLC電路的輸出與輸入電壓間的傳遞函數。5振蕩環節2.2線性定常系統的傳遞函數2.2.3典型環節的傳遞函數6純時間延時環節特點：輸出量能準確復現輸入量，但須延遲一固定的時間間隔。實例：管道壓力、流量等物理量的控制，其數學模型就包含有延遲環節。－延遲時間2.2線性定常系統的傳遞函數2.2.3典型環節的傳遞函數Xi：地面凹凸引起的位移（輸入）Xo：汽車相對水平地面的垂直位移（輸出）2.2線性定常系統的傳遞函數例1汽車懸浮系統如前例題例2

兩級RC串聯網絡，列寫傳遞函數。2.2線性定常系統的傳遞函數例2續代入對應元件的復數阻抗：、解：2.3.1結構圖的組成2.3控制系統的結構圖與化簡R(s)C(s)E(s)G(s)H(s)(-)結構圖組成：由許多對信號進行單向運算的方框和一些信號流向線組成。有：

信號線；方框；比較點；引出點。

例1

繪出RC電路的結構圖。Ur(s)Uc(s)I1(s)1/R11/sC1(-)R1C1i1(t)ur(t)uc(t)2.3控制系統的結構圖與化簡2.3.2結構圖的建立例2

繪制雙RC網絡的結構圖。IC(s)I1(s)I2(s)(-)(b)Ui(s)I1(s)U(s)(-)(a)2.3控制系統的結構圖與化簡2.3.2結構圖的建立U(s)I2(s)Uo(s)(d)(-)IC(s)U(s)(c)I2(s)Uo(s)(e)Ui(s)Uo(s)I2(s)U(s)IC(s)I1(s)(-)(-)(-)(f)例2續[定義]：在結構圖上進行數學方程的運算。[類型]：①環節的合并；包括串聯、并聯、反饋連接②信號引出點或相加點的移動。[原則]：變換前后環節的數學關系保持不變。2.3.3結構圖的等效變換

2.3控制系統的結構圖與化簡（一）環節的合并

環節的串聯：X1(s)=G1(s)X(s)X2(s)=G2(s)X1(s)…Y(s)=Gn(s)Xn-1(s)G(s)X(s)Y(S)

環節的并聯：G(s)X(s)Y(S)Y(s)=G1(s)X(s)+G2(s)X(s)+…+Gn(s)X(s)=G(s)X(s)（一）環節的合并

反饋聯接：G

(s)X(S)Y(S)

開環傳遞函數：斷開反饋環節H(S)的輸出，則前向通道傳遞函數與反饋通道傳遞函數的乘積G(S)*H(S)

：

m==F\)()()(sXsYs開環傳遞函數前向通道傳遞函數1（一）環節的合并

當前三種連接交叉在一起而無法化簡，則要考慮移動某些信號的相加點和引出點。①信號相加點的移動：把相加點從環節的輸入端移到輸出端（二）信號相加點和引出點的移動和互換：

把相加點從環節的輸出端移到輸入端：（二）信號相加點和引出點的移動和互換：②信號引出點的移動：引出點從環節的輸入端移到輸出端（二）信號相加點和引出點的移動和互換：

引出點從環節的輸出端移到輸入端：[注意]：相臨的信號相加點位置可以互換（二）信號相加點和引出點的移動和互換：

同一信號的引出點位置可以互換

相加點和引出點在一般情況下，不能互換。故一般情況下：相加點向相加點移動，引出點向引出點移動。(向同類移動，相鄰同類才可交換)例3RC網絡方塊圖的化簡(續1)等效變化請問：圖中進行等效變化后的表示有無其它問題？已經不是此信號了！(續2)化簡(續3)進一步化簡(續4)結果例4G4(s)-G2(s)G6(s)-C(s)R(s)G3(s)G5(s)G1(s)例5

結構圖化簡(1)結構圖化簡方案ⅠH1H2G1G2G3G4--RYRH2+G3H1G1G2G3H2G4-Y(a)G4G3H2YR(b)G4YR(c)(2)結構圖化簡方案ⅡH1+H2/G3H2/G3G2G3G1G4-RY(a)H2/G3G4RY(b)H1H2G1G2G3G4--RY(3)結構圖化簡方案ⅢG1G2G3H1/G1G4RY-(a)G4G1G2G3YR-(b)H1H2G1G2G3G4--RY1.等效為單位反饋系統其它等價法則R(s)

-C(s)G(s)H(s)G(s)H(s)R(s)C(s)-1E(s)E(s)=R(s)-H(s)C(s)=R(s)+(-1)H(s)Cs)=R(s)+[-H(s)]C(s)C(s)G(s)H(s)

-R(s)C(s)R(s)G(s)-H(s)E(s)2.負號可在支路上移動例6

雙RC網絡的結構圖簡化。Ui(s)R1---Uo(s)(b)Ui(s)--Uo(s)R1(c)

R1C2sUi(s)Uo(s)-(e)(d)Ui(s)R1C2s-Uo(s)-Ui(s)---I1(s)IC(s)U(s)I2(s)Uo(s)(a)例7

求圖示系統的傳遞函數(續1)(續2)(續3)(續4)(續5)2.3控制系統的結構圖與化簡2.3.4自動控制系統的傳遞函數

1自動控制系統的典型結構R(s)E(s)N(s)C(s)H(s)G2(s)G1(s)B(s)-

2輸入信號作用下的閉環傳遞函數給定信號作用下的閉環傳遞函數(N(s)=0)

2.3控制系統的結構圖與化簡

擾動作用下的閉環傳遞函數(R(s)=0)

2.3.4自動控制系統的傳遞函數2.3控制系統的結構圖與化簡

3.輸入信號和擾動信號同時作用時，系統的輸出

2.3.4自動控制系統的傳遞函數

4.閉環系統的誤差傳遞函數[定義誤差：E(s)=R(s)-B(s)]2.3控制系統的結構圖與化簡2.3.4自動控制系統的傳遞函數2.4信號流圖和梅遜公式信號流圖：用來描述線性代數方程組之間因果關系的。在表示線性系統的S域模型時，它和方塊圖是一致的。由節點和支路組成的一種信號傳遞網絡。信號流圖的基本組成單元有兩個：“?”支路：表示信號傳遞方向，同時在信號旁邊標明傳遞的增益。“o”節點：表示信號，同時含有代數求和的意思。

信號流圖的基本概念：

1)節點：系統的變量，節點標志的變量是所有流向該節點信號的代數和，用“O”表示；

2)信號：在支路上沿箭頭單向傳遞；

3)支路：相當于乘法器，信號流經支路時，被乘以支路增益而變成另一信號；

4)對一個給定系統，信號流圖不是唯一的。

輸入支路：進入節點的支路

輸出支路：離開節點的支路

信號流圖中常用的名詞術語：源節點（輸入節點）：在源節點上，只有信號輸出支路而沒有信號輸入的支路，它一般代表系統的輸入變量。

阱節點（輸出節點）：在阱節點上，只有信號輸入的支路而沒有信號輸出的支路，它一般代表系統的輸出變量。混合節點：在混合節點上，既有信號輸出的支路而又有信號輸入的支路。2.4信號流圖和梅遜公式1+R1C1s

x2x5x4

x6-1

x3

x7I(s)R21/R1

x12.4信號流圖和梅遜公式前向通路：信號從輸入節點到輸出節點傳遞時，每個節點只通過一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘積稱前向通路總增益，一般用Pk表示。回路：起點和終點在同一節點，而且信號通過每一節點不多于一次的閉合通路稱回路。回路上各支路增益之乘積稱回路增益，一般用La表示。不接觸回路：回路之間沒有公共節點時，稱它們為不接觸回路。2.4信號流圖和梅遜公式2.4.1信號流圖的繪制

1.由系統微分方程繪制信號流圖

1）將微分方程通過拉氏變換，得到S的代數方程；

2）每個變量指定一個節點；

3）將方程按照變量的因果關系排列；

4）連接各節點，并標明支路增益。2.4信號流圖和梅遜公式上式拉氏變換：

C1uiR1R2uoi1i例1dt)ii(C1R)t(i111ò-=)t(u)t(uR)t(iio11=+2oR)t(i)t(u=C1uiR1R2uoi1i例1：信號傳遞流程：Ui(s)Ui(s)-Uo(s)Uo(s)Uo(s)uC(0)-1I1(s)I(s)R21+R1C1s1/R1-C1

1)用小圓圈標出