§1、一維雙原子鏈的振動考慮由P

、Q兩種原子等距相間排列的一維雙原子鏈一、

運動方程及其解a

M

m{

mn&&n

b

mn

mn

1

2n

n

(設M

>

m)m

Aei

w

t

naq

M

m&&n

b

n

n

n

n

1

2m

n

{

n

Bei

w

t

n

aq

nnnnn-1

mn

nn

mn+1只考慮近鄰原子間的彈性相互作用運動方程：試

解

：代入方程:

{2

b

Mw2

2

b

cos

aq

久期方程：

2

b

cos

aq

2

b

mw

2

0w

M

m

＝

1

2對于不在簡約區中的波數q’

，一定可在簡約區中找到唯一一個q

，使之滿足：+

-兩個色散關系即有兩支格波：（w＋

：光學波；

w－

：聲學波）簡約區：

q

q

q

l

GlGl為倒格矢-

/a

0q

/a

二、

光學波和聲學波的物理圖象第n個原胞中P

、Q兩種原子的位移之比

mn

A

i

aq

2

b

cos

aq

e

n

n

B

e

2

b

Mw

R

eiq

2iiaqaqiR±

:大于零的實數，

反映原胞中P

、Q兩種原子的振幅比，

q±

:

兩原子的振動位相差。

mn

2m

cos

aq

e

R

eiq

iiaqaqi

nn

M

m

M2

m2

2Mm

cos

aq

1

e

piip

q

aq

p

cos

aq

01.

光學波（optical

branch）p

pa

aQ

q

22物理圖象：原胞中兩種不同原子的振動位相基本上相反，

即原胞中的兩種原子基本上作相對振動，而原胞的質心基本保持不動。當q?0時，q＋?p，原胞中兩種原子振動位相完全相反。

m

m

n

n

n

q

0

M離子晶體在某種光波的照射下，光波的電場可以激發這種晶格振動，因此，我們稱這種振動為光學波或光學支。

q

q＋在Ⅱ

、Ⅲ象限之間，

屬于反位相型。p

3p對于單聲子過程（一級近似），

電磁波只與波數相同的格波相互作用。如果它們具有相同的頻率，就會發生共振。光波：

w＝c0q

，

c0為光速對于實際晶體，

w＋(0)在1013

~

1014Hz，對應于遠紅外光范圍。

離子晶體中光學波的共振可引起對遠紅外光在w

?

w＋(0)附近的強烈吸收。w(q)w+(0)w=c0qw+q02.

聲學波（acoustic

branch）

mn

2m

cos

aq

e

nn

M

m

M2

m2

2Mmcosaq

2m

cos

aq

ei

aq

R

eiq

M

m

q

1

aq

即：

p

qp

2

2

2q－在Ⅰ、Ⅳ象限，屬于同位相型iiaqaqi物理圖象：原胞中的兩種原子的振動位相基本相同，原胞基本上是作為一個整體振動，而原胞中兩種原子基本上無相對振動。當q?0時，q0,

原胞內兩種原子的振動位相完全相同。q?0時

w2

1

1

w2

aq

2

aq

2

在長波極限下，原胞內兩種原子的運動完全一致，振幅和位相均相同，這時的格波非常類似于聲波，所以我們將這種晶格振動稱為聲學波或聲學支。

w

a

q

q這與連續介質的彈性波

w＝vq

一致。

m

n

1

n

n

q

01

2

b

2

M

m當q?0時

q

p

0

p

a

aw

0

2b

w

002

b

w＋m1M1

p

p

w

a

w

a

2

bM2

bm2

b

m2b

Mq

0w(q)pa

w－q三、周期性邊界條件周期性邊界條件：

mN

n

mn

e

iNaq

1

q

h

h

=整數，

N：晶體鏈的原胞數Na

L2p

2p{

a體

的

的原胞數推廣：若每個原胞中有s個原子，一維晶格振動有s個色散關系式（s支格波），

其中：1支聲學波,

（s-1）支光學波。晶格振動格波的總數＝sN＝晶體的自由度數。2p2p數體度晶由＝自N晶

動中振區格約晶簡q的分布密度：

r

q

const.在簡諧近似下，系統的勢能為（取平衡時U0＝0）：U

l,a

l,b

Cab

l,lma

lmb

la,

b1,2,3l,

l0,1,2,

,

N1ma(l)和mb(l’)分別是第l和第l’個原子沿a和b方向的位移。

Cab

l,

l

Cba

l

,

l

力常數00

第l個原子的運動方程：mm&&a

l