§1、三維晶格振動一、三維簡單晶格的振動第?個原子的位矢:

Rl

l1a1

l2

a2

l3a3l-l’’ll0帶入運動方程得：

lab

mw2dab

Ab

0

a

，b＝1

，2

，3b

lab

＝

Cab

l

l

eiq

Rl

Rl

l

ma

l

Aa

ei

wt

qRl

設格波解：其中可以解得w與q的三個關系式，對應于三維情況沿三個方向的振動，即三支聲學波：一支縱波，兩支橫波。推廣：對于復式晶格，若每個原胞中有s個原子，

由運動方程可以解得3s個w與q的關系式（即色散關系式），對應于3s支格波，其中3支為聲學波

（一支縱波，兩支橫波），

3(s

－1)支為光學波。

mw

111213l21l

mw2l23l31l32l

mw2久期方程

0lll22332二、

布里淵區對于第j支格波，設有兩個波矢q

和q’所描述的晶格振動狀態完全相同，有μj

l

A

ei

wj

qt

qRl

A

ei

wj

q

t

qRl

上式對于任意時刻t和任意的格矢Rl都成立，有：ei

wj

q

t

wj

qt

ei

q

q

Rlei

wj

q

wj

q

t

C

1

wj

q

wj

q

ei

q

q

×Rl

C

1

q

q

Rl

2p

hjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj有q’-q＝±Gn

，（由于Rl為任意格矢）即：

wj(q

±Gn)=wj(q)在q空間中，

wj(q)是以倒格矢Gn

為周期的周期函數，

仍可將波矢q限制在簡約區或第一布里淵區中。由于

G

R2phGn為倒格矢，h為整數n

lq

Gn

1

G

——

布里淵區邊界面方程n將原點取在簡約區的中心，在布里淵區邊界面上周期對應的兩點間應滿足關系：q

q

Gn

q

q

Gn

q2222Gnq’

q0

n2q

G

G

0G

2nn

nG布里淵區的邊界面是倒格矢的垂直平分面。布里淵區的幾何作圖法：v根據晶體結構，

作出該晶體的倒易空間點陣，任取一個倒格點為原點；v由近到遠作各倒格矢的垂直平分面；v在原點周圍圍成一個包含原點在內的最小封閉體積，即為簡約區或第一布里淵區。簡約區就是倒易空間中的Wigner－Seitz原胞。Ⅱ2Ⅱ2133可以證明，每個布里淵區的體積均相等，

都等于第一布里淵區的體積，

即倒格子原胞的體積Wb

。sc

a

sc

2pa4p由8個{111}面和6個

{100}面圍成的14面體正格子格常數倒格子格常數

簡約區由6個{100}面

圍成的立方體由12個{110}面

圍成的正12面體afcc

a

bccbcc

a

fcc4pafcc

晶格的簡約區bcc

晶格的簡約區三、周期性邊界條件設N1

、N2和N3分別為晶體沿三個基矢方向的原胞數，晶體的總原胞數為：N＝N1

N2

N3

。周期性邊界條件：第j支格波：

mj

Rl

mj

Rl

Na

aa

a＝1,

2,

3

A

ei

wjt

q

Rl

A

ei

wjt

q

Rl

Naaa

e

iq

Na

aa

1

q

Na

aa

2pha

ha

=

整數jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj令

q

h1b1

h2

b2

h3b3

q

Na

aa

h1b1

h2b2

h3b3

Na

aa

2pha

Na

2p

ha

aa

bb

2pdab

h

ha

a＝

1,

2,

3Na

q

b1

b2

b31

2

3

h1

h2

h3

N

N

Nh1

,

h2

,

h3

＝整數aV＝Nva

＝晶體體積在q空間中，波矢q的分布密度

r

q

const.簡約區中波矢q的取值總數＝r(q)

·Wb＝N＝晶體的原胞數

b1

b2

b3

b

1

8p

3

8p

3在q空間中，每一個q的取值（狀態）所占的空間為：

N1

N2

N3

N

N

va

Va

bv

8p

3簡單晶格：每個原胞中只有一個原子，

每一個q的取值對應于三個聲學波（1個縱波