人類為了認識自然與改造自然，需要不斷地對自然界的各種現象進行測量和研究，由于實驗方法和實驗設備的不完善、周圍環境的影響，以及受人們認識能力所限等，測量和實驗所得數據與被測量的真值之間，不可避免地存在著差異，這在數值上表現為誤差。隨著科學技術的日益發展和人們認識水平的不斷提高，雖可將誤差控制得越來起小，但終究不能完全消除它。誤差存在的必然性和普遍性．已為大量實踐所證明，為了充分認識并進而減小或消除誤差，必須對測量過程和科學實驗中始終存在著的誤差進行研究。第一章基本概念一、意義研究誤差的意義(1)正確認識誤差的性質，分析誤差產生的原因，以消除或減小誤差。(2)正確處理測量和實驗數據，合理計算所得結果，以便在一定條件下得到更接近于真值的數據。(3)正確組織實驗過程，合理設計儀器或選用儀器和測量方法，以便在最經濟的條件下，得到理想的結果。二、基本概念測量是研究誤差的前提，研究誤差的目的就是設法評價測量結果的可信程度。測量的定義測量就是人們借助專門設備，通過實驗的方法，對客觀事物取得測量結果的認識過程。三種形式：帶有單位的數值；在固定坐標系中給出的曲線；按一定比例給出的圖形。根據實際需要,測量結果不外乎下面三種形式:(1)帶有單位的數值;(2)在固定的坐標系中給出曲線;(3)按一定的比例給出的圖形.以上任一形式的測量結果都可以用下式表示:測量結果=數值(被測量與標準的比值)×單位(量綱)測量直接測量間接測量數值單位二.測量方法的分類1.按對測量結果精確度要求的不同,可把測量分為:(1)工程測量工程測量是一般工作中所進行的測量,對測量結果只要求取得測量值就能滿足對測量的要求,不需要考慮測量誤差的大小或估計測量值的可信程度.(2)精密測量凡是經過測量取得測量結果后，還要求估計出測量結果的誤差確切值，則為精確測量。2.根據取得測量結果的方法不同，可把測量分為：(1)直接測量把被測量與作為測量標準的量直接進行比較,或用預先按標準校對好的測量儀器對被測量進行測量,通過測量能直接得到被測量數量大小的測量結果,稱此為直接測量.例如：用米尺測量桌子的長度.(2)間接測量被測量不能直接用測量的方法得到,而必須通過一個或多個直接測量值,利用一定的函數關系運算才能得到,此種測量稱為間接測量.例如：測物體的運動速率;牛頓測風速

精密測量得到的測量結果精度較高，但它所用的測量設備精度也高，測量設備對其工作環境的要求也比較嚴格，因此所付出的代價也大。工程測量得到的測量結果精度較低，所用的測量設備簡單，價格便宜，操作也比較簡便，故所付出的代價也比較小。間接測量可以用下面的一般公式來表示，即(3)組合測量被測量不能通過直接測量或者間接測量得到,而必須通過直接測量的測量值或者間接測量的測量值建立聯立方程組,才能得到最后的測量結果.這樣的測量稱為組合測量.3.根據測量條件不同,把測量分為:(1)等精度測量對某一固定被測量進行重復測量,所取得的測量數據可以認為是在相同的測量精度條件下得到的,這種測量稱為等精度測量.(2)不等精度測量對一被測量進行測量得到的數據,其精度可以判定是不等的,這種測量稱為不等精度測量.1.3誤差(error)的基本概念一.誤差的定義及表示方法

所謂誤差就是測量值與被測量的真值之間的的差,可表示為誤差=測量值－真值1.絕對誤差誤差定義為該量的給出值與其客觀真值之差.真值在某一時刻或某一位置狀態下,某量本身體現出的客觀值或實際值.

誤差=給出值－真值

由于誤差與給出值有相同的量綱,故該誤差又稱為絕對誤差.實際值滿足規定準確度的用來代替真值使用的量值.2.相對誤差相對誤差=誤差/真值3.引用誤差儀器示值的絕對誤差與測量范圍上限值或者量程之比值,以百分數表示.真值在某一時刻和某一位置或狀態下，某量本身體現出的客觀值或實際值。一般說來，真值是未知的，因此誤差也就未知，但絕不意味真值一定不知道，有些情況下真值是可以知道的，又有些情況下從相對的意義上來說也是知道的。真值可知的情況有如下幾種：理論真值例如，平面三角形三內角之和恒為180°，同一量值自身之差為零，而自身之比為1；理想電容和電感上，其電壓與電流的相位差為90°；此外，還有理論設計值和理論公式表達式等等。計量學約定真值國際計量大會決議，例如：(A)長度單位——米是光在真空中，在1/299792458s的時間間隔內行程的長度。(B)質量單位——保存在法國巴黎國際計量局的鉑—銥合金圓柱體的質量是1kg。(c)時間單位——銫—133原子處于特定的狀態(原子基態的兩個超精細能級之間的躍遷)時，輻射出9192631770個周期的電磁波。它所持續的時間為1s。滿足以上條件復現出的量值都是真值。2、誤差的特點普遍性---所有的測量數據都存在誤差---不可避免的最高基準的測量傳遞手段（測量儀器/測量方法）---不絕對準確①

“米制”建議（18世紀末法國科學院）---

“米”定義（1791年法國國會）---通過巴黎的地球子午線長度的四千分之一---鉑桿“檔案尺”（1799年）---兩端之間的距離---第一個實物基準長度：“檔案尺”變形---較大誤差---廢棄（1872年米制國際會議）②鉑銥合金的X形尺---米原器（1889年第一次國際計量大會）---中性面上兩端的二條刻線在0C時的長度---（1~2）10-7（復現精度）③自然基準（1960年第十一次國際計量大會）---廢棄米原器---Kr-86的2p10-5d5能級間躍遷在真空中的輻射波長的1650763.73倍。---（0.5~1）10-8（復現精度）④

“米”新定義（1983年第十七屆國際計量大會）---光在真空中1s時間內傳播距離的1/299792485---1.310-10（復現精度）①減小誤差的影響，提高測量精度測量精度---測量技術水平的主要標志之一精度提高受到限制---測量誤差的影響作出評定②對測量結果的可靠性給出評定（精確度的估計）標準器相對真值高一級標準器的誤差與低一級標準器或普通計量儀器的誤差相比，為其1／5(或1／3—1/20)時，則可以認為前者是后者的相對真值。由此引出一個實際值的概念。實際值滿足規定準確度的用來代替真值使用的量值。例1-1測得某平面三角塊的三內角之和為180°00′03″，則該內角之和的誤差為+3″。例1-2今用一普通壓力計測量某壓力，得其值為97．968MPa。用更準確的方法測得值為98．168MPa，則普通壓力計測得值的誤差為—0.20MPa，所以，誤差這個量值已成為評定測量過程或汁量儀器的準確度不可缺少的尺度。引進一個新的定義修正值＝-誤差=真值-結出值真值＝給出值+修正值＝給出值-誤差這說明，含有誤差的給出值加上修正值后就可消除誤差的影響，而加上修正值的作用如同扣除誤差的作用一樣，這非常符合人們的邏輯思維過程。相對誤差例1-3用尺子測量100m的準確距離，得值101m，則誤差為lm。又用鋼尺測量準確距離為1000m的長度，得值1001m，則誤差亦為1m。從誤差的絕對值來說，它們都一樣，但是由于所測距離的不同，它們的準確程度是不一樣的，前者測量100m差了1m，后者是測量了1000m差了1m。為了描述測量的準確程度而引出相對誤差的定義。相對誤差＝誤差/真值當誤差較小時，有相對誤差＝誤差/給出值2）相對誤差測量的絕對誤差與被測量的真值之比絕對誤差很小定義：表示：百分數（%）---分子分母量綱相同相對誤差=100%絕對誤差真值

=100%xx0相對誤差=100%絕對誤差測得值

=100%xx例：質量G1=50g，誤差1=2g；質量G2=2kg，誤差2=50g

1=100%=100%=4%1G1G1的相對誤差為250

2=100%=100%=2.5%G2G2的相對誤差為5020002---G2的測量效果較好確切反映測量效果：被測量的大小不同---允許的測量誤差不同被測量的量值小---允許的測量絕對誤差也越小相對誤差=±(0.0002/0.2175)100=±0.092%相對誤差=±(0.0002/2.1750)100%=±0.0092%=±0.092%。由此可知，絕對誤差相等，而相對誤差可能差異很大，稱取的物質量越大，相對誤差越小。用相對誤差能更好、更確切地反映測定結果的準確度。例.用分析天平稱取兩物體的重量各為2.1750g和0.2175g，分析天平的誤差為±0.1mg,計算兩次結果的相對誤差各為多少？引用誤差引用誤差常常在多擋和連續分度的儀器中應用，這類儀器可測范圍不是一個點而是一個量程，為了便于計算和劃分準確度等級，引出引用誤差定義：引用誤差儀器示值的絕對誤差與測量范圍上限值或量程之比值，以百分數表示。例1-4測量上限為19613.3N的工作測力計(拉力表)，在標定值(示值)為14710N的實際作用力為14788N，則此測力計在這一點的引用誤差為(14710-14788)／19613.3＝-0.4%。例1-5某待測的電壓約為1V，現有0.5級0—300V和1.0級0-100V兩個電壓表，問用哪一個電壓表測量較好?解用0.5級電壓表測時，最大相對誤差為用1.0級電壓表測時，最大相對誤差為此例說明，如果量程選擇恰當，用1.0級儀表進行測量也會比用0.5級儀表測量時的最大相對誤差還要小。因此，在選用儀表時，要糾正單純追求難確度等級“越高越好”的傾向，而應根據被測量的大小，兼顧儀表的等級和測量上限或量程來合理地選擇儀表。二.誤差的來源1.測量裝置誤差其中包括(1)標準量具誤差;(2)儀器誤差;(3)附件誤差.2.環境誤差由于各種環境因素與規定的標準狀況不一致而引起的誤差,常常成為新的重要的誤差源.3.方法誤差由于測量方法或計算方法不完善所引起的誤差.4.人員誤差三.誤差的表現及分類1.系統誤差(systematicerrors,determinateerror)定義在相同的條件下,多次測量同一量值時,絕對值和符號保持不變,或在條件改變時,按一定規律變化的誤差稱為系統誤差.2.隨機誤差(accidentalerror,indeterminateerror):

定義在同一測量條件下,多次測量同一量值時,絕對值和符號以不可預定方式變化著的誤差稱為隨機誤差.隨機誤差的大小用標準偏差表示.3.粗大誤差定義超出在規定條件下預期的誤差,或稱為“寄生誤差”.1.4準確度、精密度和精確度不同場合---檢測精度要求不同例：服裝裁剪（身長/胸圍）---半厘米；發動機活塞直徑---微米級精度高---系統復雜---造價高例：坐標原點---真值點的位置點---多次測量結果

(1)準確度Accuracy表示測量結果中系統誤差的影響程度.表征測量結果接近真值的程度(2)精密度Precision表示測量結果中隨機誤差的影響程度.反映測量結果的分散程度（針對重復測量而言）(3)精確度表示測量結果中系統誤差和隨機誤差綜合的影響程度.表征測量結果與真值之間的一致程度1.5誤差與數據的表達一.有效數字含有誤差的任何近似數,如果其絕對誤差是最末位的半個單位,那么從這個近似數左方起的第一個非零的數字,稱為第一位有效數字.從第一位有效數字起到最末一位數字上的所有數字,不論是零或者是非零的數字,都叫有效數字。.二.數字舍入規則

對于位數很多的近似數,當有效數字的位數確定后,其后面的多余的數字應予以舍去,而保留的有效數字最末一位數字應按下面的舍入規則進行湊整:(1)若舍去部分的數值大于保留部分的末位的半個單位,則末位為1;(2)若舍去部分的數值小于保留部分的末位的半個單位,則末位不變;(3)若舍去部分的數值等于保留部分的末位的半個單位,則末位湊成偶,即當末位為偶數時末位不變,當末位為奇數時則末位加1.總結：圖形+口訣(49舍，51入，50湊成偶)

例1.9按上述舍入規則，將下面各個數據保留四位有效數字進行湊整。原有數據舍人后數據3.141593.1422.717292.7174.510504.5103.215503.2166.3785016.3787.6914997.69l5.434605.435三.數據運算規則

在近似運算中,為了保證最后結果有盡可能高的精度,所有參與運算的數據在有效數字后可保留一位數字作為參考數字,或者稱為安全數字.(1)在近似數加減運算時,各運算數據以小數位數最少的數據位數為準,其余各數據可多取一位小數,但最后結果應與小數位數最少的數據小數位相同.(2)在近似數乘除法運算時,各運算數據以有效位數最少的數據位數為準,其余各數據要比有效位數最少的數據位數多取一位數字,而最后結果應與有效位數最少的數據位數相同.(3)在近似數平方或開方運算時,平方相當于乘法運算,開方是平