機械工程控制基礎4.頻率特性分析4.1頻率特性的基本概念4.2典型環節頻率特性4.3系統的頻率特性(Nyquist圖,Bode圖繪制)4.4頻域性能指標及其與時域性能指標的關系4.5頻率特性實驗法估計系統的數學模型14.頻率特性分析2機械工程控制基礎4.頻率特性分析3機械工程控制基礎

時域分析的缺陷高階系統的分析難以進行；難以研究系統參數和結構變化對系統性能的影響；當系統某些元件的傳遞函數難以列寫時，整個系統的分析工作將無法進行。4.頻率特性分析4機械工程控制基礎頻率特性分析法是經典控制理論中常用的分析與研究系統特性的方法。頻率特性包括幅頻特性和相頻特性，它在頻率域里全面地描述了系統輸入和輸出之間的關系即系統的特性。頻率特性在有些書中又稱為頻率響應。本書中頻率響應是指系統對正弦輸入的穩態輸出。通過本章的學習將會看到，頻率特性和頻率響應是兩個聯系密切但又有區別的概念。4.頻率特性分析機械工程控制基礎5頻率特性分析方法具有如下特點：這種方法可以通過分析系統對不同頻率的穩態響應來獲得系統的動態特性。頻率特性有明確的物理意義，可以用實驗的方法獲得。這對那些不能或難于用分析方法建立數學模型的系統或環節，具有非常重要的意義。不需要解閉環特征方程。由開環頻率特性即可研究閉環系統的瞬態響應、穩態誤差和穩定性。4.頻率特性分析機械工程控制基礎6優點：無需求解微分方程，圖解(頻率特性圖)法間接揭示系統性能并指明改進性能的方向易于實驗分析可推廣應用于某些非線性系統（如含有延遲環節的系統）；可方便設計出能有效抑制噪聲的系統。4.頻率特性分析7機械工程控制基礎4.1.1頻率特性概述解：例：求系統的傳遞函數為當輸入信號為xi(t)=Asint時，系統的穩態響應。4.1頻率特性的基本概念8機械工程控制基礎由Laplace反變換得：系統的穩態輸出為9機械工程控制基礎幅值是頻率的函數相位是頻率的函數輸出頻率不變系統xi(t)x0(t)Asint穩態輸出信號10機械工程控制基礎2、頻率特性

線性系統在諧波信號輸入時，其穩態輸出隨頻率變化的特性，稱為該系統的頻率特性.注意：頻率特性是系統在頻域的數學模型幅頻特性A()相頻特性φ()包括=輸出相位-輸入相位=φ()11機械工程控制基礎4.1頻率特性的基本概念4.1.1頻率特性及物理意義

系統在正弦函數輸入作用下的穩態響應稱為頻率響應。線性系統傳遞函數為G(s)，輸入正弦信號：x(t)=Xsint,則系統的穩態輸出即為頻率與輸入的正弦信號相同，只是幅值和相位與輸入不同。機械工程控制基礎12線性系統在正弦函數輸入下的穩態響應記為：

y(t)=Y()sin[t+()]（4-1）

研究頻率響應的意義：當信號頻率變化時，幅值Y()與相位差()也隨之變化。系統的幅頻特性定義：輸出信號與輸入信號的幅值之比，記為：（4-2）

它描述了在穩態情況下，系統輸出與輸入之間的幅值比隨頻率的變化情況，即幅值的衰減或放大特性。4.1.1頻率特性及物理意義機械工程控制基礎13幅頻特性A()和相頻特性()統稱為系統的頻率特性，記作G(j)。頻率特性G(j)是一個以頻率為自變量的復變函數，它是一個矢量。如圖4-2所示，矢量G(j)的模|G(j)|即為系統的幅頻特性A()；矢量Ｇ(j)與正實軸的夾角∠G(j)即為系統的相頻特性()。因此，頻率特性按復變函數的指數表達形式，記為：(4-3)系統的相頻特性定義：輸出信號與輸入信號的相位之差隨頻率的變化，記為()。4.1.1頻率特性及物理意義機械工程控制基礎1415機械工程控制基礎(4-4)式中Re()是G(j)的實部，稱為實頻特性；Im()是G(j)的虛部，稱為虛頻特性。在機械測試技術中，實頻特性和虛頻特性又分別稱為同相分量和異相分量。如圖4-2，顯然有：

(4-5)由于頻率特性G(j)是一個復變量，因此它還可以寫成實部和虛部之和，即：機械工程控制基礎4.1.1頻率特性及物理意義16頻率特性G(j)的物理意義

(1)頻率特性表示了系統對不同頻率的正弦信號的“復現能力”或“跟蹤能力”。在頻率較低時,T<<1時，輸入信號基本上可以按原比例在輸出端復現出來，而在頻率較高時，輸入信號就被抑制而不能傳遞出去。對于實際中的系統，雖然形式不同，但一般都有這樣的“低通”濾波及相位滯后作用。機械工程控制基礎17(2)頻率特性隨頻率而變化，是因為系統含有儲能元件。實際系統中往往存在彈簧、慣量或電容、電感這些儲能元件，它們在能量交換時，對不同頻率的信號使系統顯示出不同的特性。(3)頻率特性反映系統本身的特點，系統元件的參數(如機械系統的k、c、m)給定以后，頻率特性就完全確定，系統隨變化的規律也就完全確定。就是說，系統具有什么樣的頻率特性，取決于系統結構本身，與外界因素無關。頻率特性G(j)的物理意義

機械工程控制基礎18二、頻率特性的求法1、利用系統的頻率響應來求xo(t)(穩態響應)頻率響應Xo(s)=Xi(s)G(s)Laplace反變換xo(t)=limxo(t)t→∞19機械工程控制基礎2、用傳函G(s)的s換為j來求復數表示法：（1）代數表示法：a+jb（2）指數表示法：|A|ej（3）極坐標表示法：|A|∠φImReabA--------幅值-------相位20機械工程控制基礎復數的運算法則：已知復數：

A=a+jb=A1∠

1

B=c+jd=B1∠

21）兩復數相加：實部相加，虛部相加

A+B=(a+c)+j(b+d)2）兩復數相減：實部相減，虛部相減

A-B=(a-b)+j(b-d)21機械工程控制基礎3）兩復數相乘：幅值相乘，相位相加

A×B=(A1×B1)∠1+

24）兩復數相除：幅值相除，相位相減22機械工程控制基礎相頻特性：()=-arctanT例求慣性環節的頻率特性23機械工程控制基礎例求閉環傳函為的頻率特性24機械工程控制基礎25機械工程控制基礎263、實驗方法求頻率特性進而求G(s)

(當傳函未知時采用)正弦發生器被測系統改變頻率圖形顯示器27機械工程控制基礎系統s傳遞函數j頻率特性ddtsddtjsj微分方程28以上分析可歸納如下

(1)線性定常系統的頻率特性可以通過系統的傳遞函數獲得，即：G(j)=G(s)|s=j

(4-21)

系統的頻率特性就是其傳遞函數G(s)中復變量s=+j在=0時的特殊情況。(2)若系統的輸入信號為正弦函數，則系統的穩態輸出也是相同頻率的正弦函數，但幅值和相位與輸入信號的幅值和相位不同。顯然，若改變輸入信號的頻率，系統時域響應的穩態值也會發生相應的變化，而頻率特性正表明了幅值比和相位差隨頻率變化的情況。機械工程控制基礎29(3)系統頻率特性與傳遞函數、微分方程、脈沖響應函數之間都存在內在的聯系。它們之間可以相互轉換，如圖4-5所示。因此，頻率特性也和微分方程、傳遞函數、脈沖響應函數一樣，可以表征系統的動態特性，是系統數學模型的一種表達形式。這就是利用頻率特性來研究系統動態特性的理論依據。

機械工程控制基礎以上分析可歸納如下

30幾點說明

頻率特性是傳遞函數的特例，是定義在復平面虛軸上的傳遞函數，因此頻率特性與系統的微分方程、傳遞函數一樣反映了系統的固有特性。盡管頻率特性是一種穩態響應，但系統的頻率特性與傳遞函數一樣包含了系統或元部件的全部動態結構參數，因此，系統動態過程的規律性也全寓于其中。31機械工程控制基礎應用頻率特性分析系統性能的基本思路：

實際施加于控制系統的周期或非周期信號都可表示成由許多諧波分量組成的傅立葉級數或用傅立葉積分表示的連續頻譜函數，因此根據控制系統對于正弦諧波函數這類典型信號的響應可以推算出它在任意周期信號或非周期信號作用下的運動情況。32機械工程控制基礎4.2.1頻率特性表示法(1)極坐標圖(奈奎斯特圖Nyquist)頻率特性的極坐標圖也稱為幅相頻特性圖或稱為奈奎斯特圖。由于頻率特性G(j)是的復變函數，故可在復平面[G(j)]上表示。頻率特性可由復平面上相應的矢量G(j)描述，如圖4-6所示。4.2

典型環節頻率特性機械工程控制基礎33當從0→∞變化時，G(j)矢量端點的軌跡即為頻率特性的極坐標曲線，該曲線連同坐標一起則稱為極坐標圖。這里規定極坐標圖的實軸正方向為相位的零度線，由零度線起，矢量逆時針轉過的角度為正，順時針轉過的角度為負。圖中用箭頭標明從小到大的方向。主要缺點:不能明顯地表示出系統傳遞函數中各個環節在系統中的作用，繪制較麻煩。極坐標圖的優點:在一幅圖上同時給出了系統在整個頻率域的實頻特性、虛頻特性、幅頻特性和相頻特性。它比較簡潔直觀地表明了系統的頻率特性。機械工程控制基礎(1)極坐標圖(奈奎斯特圖Nyquist)34繪制頻率特性Nyqusit圖的步驟

1）在系統傳遞函數中令s=j，寫出系統頻率特性G(j)；

2）寫出系統的幅頻特性|G(j)|、相頻特性∠G(j)、實頻特性Re()和虛頻特性Im()；

3）令=0，求出=0時的|G(j)|、∠G(j)、Re()、Im()；

4）若頻率特性矢端軌跡與實軸、虛軸存在交點，求出這些交點。令Re()=0，求出，然后代入Im()的表達式即求得矢端軌跡與虛軸的交點；令Im()=0

，求出，然后代入Re()的表達式即求得矢端軌跡與實軸的交點。(1)極坐標圖(奈奎斯特圖Nyquist)機械工程控制基礎355）對于二階振蕩環節（或二階系統）還要求=n時的|G(j)|、∠G(j)、

Re()、Im()。若此環節（或系統）的阻尼比0<<0.707，則還要計算諧振頻率r

、諧振峰值Mr及=r時的Re()、Im()。6）在0<<∞的范圍內再取若干點分別求|G(j)|、∠G(j)、Re()、Im()；8）在復平面[G(j)]中，標明實軸、原點、虛軸和復平面名稱[G(j)]。在此坐標系中，分別描出以上所求各點，并按增大的方向將上述各點聯成一條曲線，在該曲線旁標出增大的方向。7）令=∞，求出|G(j)|、∠G(j)、Re()、Im()

；(1)極坐標圖(奈奎斯特圖Nyquist)機械工程控制基礎繪制頻率特性Nyqusit圖的步驟36（2）波德圖（Bode圖）

波德圖也稱為對數頻率特性圖。用兩個坐標圖分別表示幅頻特性和相頻特性。幅頻特性圖的縱坐標(線性分度)表示了幅頻特性幅值的分貝值，為L()=20lg|G(j)|，單位是分貝(dB)；橫坐標(對數分度)表示值，單位是弧度/秒或秒-1(rad/s或s-1

)。相頻特性圖的縱坐標(線性分度)表示G(j)的相位，單位是度；橫坐標（同上）。這兩個圖分別叫做對數幅頻特性圖和對數相頻特性圖，統稱為頻率特性的對數坐標圖，又稱為波德圖（Bode）。機械工程控制基礎371）坐標軸分度（2）波德圖（Bode圖）

機械工程控制基礎對數幅頻特性382）漸近線的斜率繪制對數幅頻特性圖時，一般常只畫出它的漸近線。當要求精確時，再加以修正。所以在畫漸近線之前，先要確定漸近線的斜率。漸近線的斜率是用頻率增高到一倍或十倍時，L()變化的分貝數來表示的。在對數坐標圖上，若2=21。則1和2兩點間的距離就稱為“倍頻程”（octave），或簡寫成oct。若2=101，則1和2兩點間的距離就稱為“十倍頻程”（decade）或簡寫成dec。倍頻程和十倍頻程的含義也可從圖4-7看出。機械工程控制基礎對數幅頻特性39

若頻率增高到一倍，L()衰減6分貝，則斜率為“每倍頻程負6分貝”，記為“-6dB/oct”。相似地，若頻率增高到十倍，L()衰減20分貝，則稱斜率為“每十倍頻程負20分貝”，記為“-20dB/dec”。2）漸近線的斜率機械工程控制基礎對數幅頻特性40設某環節的對數幅頻特性為

L()=-20lg則頻率=1和101時的對數幅值為：

L()=L(1)=-20lg1L()=L(101)=-20lg1-20lg10=-20lg1-20即該對數幅頻特性漸近線的斜率為-20dB/oct。機械工程控制基礎對數幅頻特性2）漸近線的斜率413）對數幅頻特性曲線的漸近線設某環節的幅頻特性為這一環節的對數幅頻特性曲線（4-22）漸近線可求得如下：當

<<1/T時，T22與1相比可以略去不計，故在這一頻段的對數幅頻特性，可近似地取為

L()=20lg5=14(4-23)這是一條距橫坐標軸距離為14分貝，斜率為0dB/dec。機械工程控制基礎42當

>>1/T時，1與T22相比可以忽略，故在這一頻段的對數幅頻特性，可近似的取為即(4-24)顯然，這是一條斜率為-20dB/dec的直線。因此，（4-22）所示的對數幅頻特性，可用式（4-23）和（4-24）所示的兩條直線近似。這兩條直線就是所求的漸近線。3）對數幅頻特性曲線的漸近線機械工程控制基礎434）轉角頻率兩條漸近線相交處的頻率稱為轉角頻率T。轉角頻率可通過聯解兩條漸近線方程而求得。求得其實，系統對數幅頻特性曲線上的各個轉角頻率，就是系統各組成環節的時間常數的倒數或無阻尼自然頻率。對數幅頻特性曲線的漸近線的斜率，在轉角頻率處要發生突變，所以在繪制波德圖時要確定各個轉角頻率。機械工程控制基礎445）幅值穿越頻率對數幅頻特性曲線與橫坐標軸相交處的頻率稱為幅值穿越頻率或增益交界頻率,用c表示。穿越頻率可通過求解由高頻段漸近線方程和L()=0組成的聯立方程而得到。如式（4-22)所示的對數幅頻特性曲線的幅值穿越頻率,可解聯立方程

L()=20lg5-20lgTL()=0得到c=5/T45對數相頻特性圖的橫坐標軸的分度與對數幅頻特性圖的相同，是按頻率的對數分度；對數相頻特性圖的縱坐標軸是按相位的度數或弧度數線性分度的。對數相頻特性對數相頻特性是指頻率特性函數的相位隨而變化的關系。

()=∠G(j)

相位穿越頻率或相位交界頻率（g）對數相頻特性曲線與-180°線相交處的頻率，或者說頻率特性函數的相位等于-180°時的頻率。機械工程控制基礎46波德圖表示頻率特性有如下優點：

1）可將串聯環節幅值的乘、除，化為幅值的加、減。因而簡化了計算與作圖過程。2）可用近似方法作圖。先分段用直線作出對數幅頻特性的漸近線，再用修正曲線對漸近線進行修正，就可得到較準確的對數幅頻特性圖。3）可分別作出各個環節的波德圖，然后用疊加方法得出系統的波德圖，并由此可以看出各個環節對系統總特性的影響。4）由于橫坐標為對數坐標，所以

=0的頻率不可能在橫坐標上表現出來，因此，橫坐標的起點可根據實際所需的最低頻率來決定。機械工程控制基礎474.2.1典型環節的頻率特性（1）比例環節的頻率特性1）極坐標圖由于

G(s)=K即

G(j)=K(4-27)幅頻特性

|Ｇ(j)|=K(4-28)相頻特性∠G(j)=0°(4-29)這表明，當從0→∞時，Ｇ(j)的幅值總是K，相位總是0°，Ｇ(j)在極坐標圖上為實軸上的一定點，其坐標為（K，j0），如圖4-9所示。機械工程控制基礎482）波德圖對數幅頻特性

20lg|Ｇ(j)|=20lgK(4-30)對數相頻特性

()=∠Ｇ(j)=0°其曲線是一條水平線，分貝數為20lgK。圖4-10中，K＝10，故對數幅頻特性的分貝數恒為20dB，而相位恒為零，故其對數相頻特性曲線是與0°重合的一直線。因為由若干環節串聯而成的系統的增益等于各環節增益之積，即K＝K1·K2···Kn，故系統增益的對數幅值等于各個環節增益的對數幅值之和。機械工程控制基礎49（2）積分環節的頻率特性1）極坐標圖由于即(4-31)

幅頻特性

|Ｇ(j)|=1/(4-32)相頻特性∠Ｇ(j)=-90°(4-33)由此有：當

=0時，|G(j)|=∞,∠G(j)=-90°;當

=∞時，|G(j)|=0,∠G(j)=-90°。可見，當從0→∞時，G(j)的幅值由∞→0，相位總是-90°，積分環節頻率特性的極坐標圖是虛軸的下半軸，由無窮遠點指向原點，如圖4-11所示。機械工程控制基礎502）波德圖

對數幅頻特性為：

20lg|G(j)|=20lg=-20lg

(4-34)對數相頻特性()=∠G(j)=-90°

于是：當=0.1rad/s時，20lg|(G(j)|=20dB，對數幅頻特性經過點（0.1，20）；當=1rad/s時，20lg|(G(j)|=0dB，對數幅頻特性經過點（1，0）；當=10rad/s時,20lg|(G(j)|=-20dB，對數幅頻特性經過點（10，-20）。（2）積分環節的頻率特性機械工程控制基礎51積分環節的對數相頻特性如圖4-12下半部所示，它與無關，是一條過點（0，-90°)且平行于橫軸的直線。

故積分環節的對數幅頻特性如圖4-12上半部所示。它是一條過點（1，0）的直線，其斜率為

-20dB/dec(dec表示十倍頻程，即橫坐標的頻率由增加到10)。（2）積分環節的頻率特性機械工程控制基礎52

解：因，即，

例4-2作的波德圖。相頻特性∠G(j)=-180°

對數幅頻特性為：

對數相頻特性

()=∠G(j)=-180°當

=1、K=10時,20lg|G(j)|=20dB，對數幅頻特性過點(1，20)。=10、K=10時，20lg|G(j)|=-20dB，對數幅頻特性過點(1，-20)故幅頻特性

機械工程控制基礎53系統的對數幅頻特性為一過點(1，20)而斜率為-40dB/dec的直線，如圖4-13幅頻特性圖中粗實線所示，顯然，它是一個比例環節(K=10)與兩個積分環節(1/s)的對數幅頻特性的疊加，而這兩個積分環節的對數幅頻特性如圖4-13中虛線所示。例4-2作的波德圖。機械工程控制基礎54由圖4-12與圖4-13可知，增加一個串聯的積分環節，就使對數幅頻特性的斜率增加-20dB/dec，而使相位增加-90°；增加一個串聯的比例環節后，其對數幅頻特性垂直平移20lgK，而其相位不變。對數相頻特性是一條過點(0，-180°)且平行于橫軸的一直線，如圖4-13所示，當然也是一個比例環節和兩個積分環節的對數相頻特性的疊加。例4-2作的波德圖。機械工程控制基礎55（3）理想微分環節的頻率特性1）極坐標圖由于

G(s)=s

即

G(j)=j(4-35)顯然，實頻特性恒為0；虛頻特性為。

故幅頻特性

|G(j)|=(4-36)相頻特性∠G(j)=90°(4-37)機械工程控制基礎56可見，當從0→∞時，G(j)

的幅值由0→∞，其相位總是90°。微分環節的頻率特性的極坐標圖是虛軸的上半軸，由原點指向無窮遠點，如圖4-14所示。由此有：當=0時，

|G(j)|=0，∠G(j)=90°；當=∞時，

|G(j)|=∞，∠G(j)=90°

（3）理想微分環節的頻率特性機械工程控制基礎572）波德圖

對數幅頻特性20lg|G(j)|=20lg

(4-38)對數相頻特性()=∠G(j)=90°當

=0.1時，20lg|G(j)|=-20dB

，當

=1時，20lg|G(j)|=0dB。可見，微分環節的對數幅頻特性是過點(1，0)，而斜率為20dB/dec的直線。對數相頻特性是過點(0，90°)，且平行于橫軸的直線。這說明輸出的相位總是超前于輸入相位90°。微分環節的波德圖如圖4-15所示。

（3）理想微分環節的頻率特性機械工程控制基礎5859（4）慣性環節的頻率特性1）極坐標圖顯然，實頻特性為；虛頻特性為

故幅頻特性

(4-37)

相頻特性(4-38)

機械工程控制基礎

由于即(4-36)

60當=0時，|G(j)|=1

，∠G(j)=0°

當=1/T時，

|G(j)|=0.707

，∠G(j)=-45°

當=∞時，|G(j)|=0

，∠G(j)=-90°

根據上述實頻和虛頻特性兩式，可分別求得不同值的Re()和Im()，從而作出極坐標圖。

此時，頻率特性曲線為一半圓。證明如下：

設實頻特性為

虛頻特性為

機械工程控制基礎（4）慣性環節的頻率特性61所以將其代入實頻特性表達式中則有，將此式整理得

（4-39）

此式是一個圓方程，但由于∠G(j)=-arctanT

，所以當0<<∞時，極坐標圖是下半圓，因為此時∠G(j)與Im()恒為負值，如圖4-16所示。

機械工程控制基礎（4）慣性環節的頻率特性622）波德圖如令，此頻率稱為轉角頻率

對數幅頻特性

（4-40）

對數相頻特性

當<<1/T時，對數幅頻特性為：

（4-41）

當>>1/T時，對數幅頻特性為：

（4-42）

機械工程控制基礎63即在低頻段，漸近線是一條0dB/dec水平線，在高頻段是一條斜率為-20dB/dec的直線，該兩條漸近線相交處的轉角頻率為

慣性環節的對數幅頻特性曲線的穿越頻率和轉角頻率相等，即cr=T

漸近線L()=-20lgT的繪制方法：設=i

，則有L(i)=-20lgiT，如果頻率i變化了十倍頻程，即=10i

，則有從上式可以看出：當頻率每變化十倍頻程時，幅值L()衰減20dB，即斜率為-20dB/dec。機械工程控制基礎2）波德圖64慣性環節的對數相頻特性取值如下：

當=0時，

()=-0°;從圖4-17可知，對數相頻特性斜對稱于點(T，-45)而且在≤0.1T時，()→-0°，在T≥10時，()→-90°。準確的相頻特性曲線應把每個值代入對數相頻特性()=∠G(j)=-arctanT中計算所得。當=T時，

()=-45°;當=∞時，

()=-90°。2）波德圖機械工程控制基礎65表4-1慣性環節取不同頻率時所對應的()

(rad/s)1/10T1/5T1/2T1/T2/T5/T10/T()-5.7°-11.3°-26.2°-45°-63.4°-78.7°-84.3°由圖4-17可知，慣性環節有低通濾波器的特性。當輸入頻率>T時，其輸出很快衰減，即濾掉輸入信號的高頻部分；在低頻段，輸出能較準確地反映輸入。

漸近線與精確的對數幅頻特性曲線之間有誤差e()。由圖4-18可知，最大誤差發生在轉角頻率T處，其誤差為-3dB，在2T或T/2的頻率處。e()為-0.91dB，即約為-1dB，而在10T

或T/10的頻率處，e()

就接近于0dB，據此可0.1T

~10T范圍內對漸近線進行修正。

2）波德圖機械工程控制基礎66機械工程控制基礎67（5）一階微分環節的頻率特性1）極坐標圖由于G(s)=1+TS

即G(j)=1+jT(4-43)顯然實頻特性恒為1；虛頻特性為T

。故幅頻特性

(4-44)

相頻特性∠G(j)=arctanT(4-45)由此有：當

=0時，|G(j)|=1,∠G(j)=0°；

當

=1/T時，|G(j)|=,∠G(j)=45°；

當

=∞時，|G(j)|=∞,∠G(j)=90°。

機械工程控制基礎68可見，當從0→∞時，G(j)的幅值由1→∞，其相位由0°→90°。一階微分環節頻率特性的極坐標圖始于點(1，j0)，平行于虛軸，是在第一象限的一條垂線，如圖4-19所示。機械工程控制基礎（5）一階微分環節的頻率特性69當

<<1/T時，20lg|G(j)|≈0dB，即低頻漸近線是0dB水平線；

當

>>1/T

時，20lg|G(j)|≈20lgT，即高頻漸近線為一直線，其始于點(1/T

，0)，斜率為20dB/dec。顯然，一階微分環節的轉角頻率T=1/T

。一階微分環節的對數相頻特性取值如下：

當

=0時，()=0°；

當

=T

時，()=45°；當

=∞時，()=90°。2）波德圖對數幅頻特性對數相頻特性()=∠G(j)=arctanT

機械工程控制基礎70由圖4-20可知，對數相頻特性斜對稱于點(T，45)，

且在

≤0.1T時()→+0°，

≥10T

時，()→+90°。

比較圖4-20與圖4-17可知，一階微分環節與慣性環節的對數幅頻特性和對數相頻特性分別對稱于0dB線和0°線。

對數幅頻特性的精確曲線與漸近線的誤差修正曲線如圖4-18所示，只是其分貝數取正值。

2）波德圖機械工程控制基礎71（6）二階振蕩環節的頻率特性1）極坐標圖

如令

則

(4-47)

1)(2)(1)(22++=wzwwjTjTjG(4-48)

機械工程控制基礎72實頻特性為

虛頻特性為故幅頻特性為(4-49)相頻特性(4-50)

由此有：當

=0時，|G(j)|=1，∠G(j)=0°；當

=1/T時，|G(j)|=1/2，∠G(j)=-90°；當

=∞時，|G(j)|=0，∠G(j)=-180°。1）極坐標圖機械工程控制基礎73當從0→∞，G(j)的幅值由1→0，其相位由0°→-180°，振蕩環節的頻率特性的極坐標圖始于點(1,j0)，而終于點（0,j0）。曲線與虛軸的交點的頻率就是無阻尼固有頻率n，此時的幅值為1/(2)，曲線在第三、四象限，取值不同，G(j)的極坐標圖形狀也不同，如圖4-21所示。1）極坐標圖機械工程控制基礎74在阻尼比較小時，幅頻特性|G(j)|在頻率為

r

處出現峰值如圖4-21所示。此峰值稱為諧振峰值Mr，對應的頻率r

稱為諧振頻率。可如下求出：由求得(4-51)

即，當頻率=r時，|G(j)|出現峰值，當1-22≥0（0.707

）時，r才有意義，其諧振峰值為(4-53)

(4-52)1）極坐標圖機械工程控制基礎75

越小，r

就越大；

=0時，r→1/T=n；由于無阻尼自然頻率n和有阻尼固有頻率d的關系是，對于欠阻尼系統(0<<1)，諧振頻率r總小于有阻尼固有頻率d

。2）波德圖

幅頻特性

相頻特性

振蕩環節的對數幅頻特性為：(4-54)

1）極坐標圖機械工程控制基礎76對數相頻特性(a).振蕩環節的對數幅頻特性漸近線當T<<1時，

20lg｜G(j)｜≈0dB

(4-55)即低頻漸近線是0dB水平線。當T>>1時，

20lg｜G(j)｜≈-40lgT(4-56)當=1/T時，高頻漸近線20lg｜G(j)｜=0dB。可見，高頻漸近線為一直線，始于點(1,0)，斜率為-40dB/dec。2）波德圖機械工程控制基礎77

由此可知，振蕩環節的漸近線是由一段0dB線和一條起始于點(1,0)(即在r=n/T處)，斜率為-40dB/dec的直線所組成。n又可稱為振蕩環節的轉角頻率，如圖4-22所示，注意，圖中橫坐標均為以對數刻度表示的/n。2）波德圖78(b)振蕩環節的對數幅頻特性的誤差修正曲線2）波德圖機械工程控制基礎79由式（4-54）可知，振蕩環節的對數幅頻特性精確曲線不僅與n

有關，而且與也有關。由圖4-22可知，越小，n

處或它附近的峰值越高，精確曲線與漸近線之間的誤差就越大。并根據不同的n和值可作出如圖4-23所示誤差修正曲線。根據此修正曲線，一般在0.1n~10n范圍內對漸近線進行修正，即可得到精確的對數幅頻特性曲線。表4-2為二階振蕩環節對數幅頻特性修正表。(c)振蕩環節的對數相頻特性

由圖4-22所示的振蕩環節的對數相頻特性可知：

當

=0時，()=0;當

=n時，()=-90°

當

=∞時，()=-180°。

2）波德圖機械工程控制基礎80表4-2二階振蕩環節對數幅頻特性修正表

/n0.10.20.40.60.811.251.662.55100.10.0860.3481.483.7828.09413.988.0943.7821.480.3480.0860.20.080.3251.363.3056.3457.966.3453.3051.360.3250.080.30.0710.2921.1792.6814.4394.4394.4392.6811.1790.2920.0710.50.0440.170.6271.1371.13701.1371.1370.6270.170.0440.70.0010.00-0.08-0.472-1.41-2.92-1.41-0.472-0.080.000.0011-0.086-0.34-1.29-2.76-4.296-6.20-4.296-2.76-1.29-0.34-0.086機械工程控制基礎2）波德圖81由圖4-22還可知，點(/n=1，-90)是相頻特性的斜對稱點。/n0.10.20.512510200.1-1.2o-2.4o-7.6o-90o-172.4o-177.6o-178.8o-179.4o0.2-2.3o-4.8o-14.9o-90o-165.1o-175.2o-177.7o-178.8o0.3-3.5o-7.1o-21.8o-90o-158.2o-172.9o-176.5o-178.3o0.5-5.8o-11.8o-33.7o-90o-146.3o-168.2o-174.2o-177.1o0.7-8.1o-16.3o-43.0o-90o-137.0o-163.7o-171.9o-176.0o1.0-11.4o-22.6o-53.1o-90o-126.9o-157.4o-168.6o-174.0o表4-3二階振蕩環節的相頻特性()2）波德圖機械工程控制基礎82(d)振蕩環節的諧振頻率r和諧振峰值Mr

在本章中已求得

而且只有當1<0.707時才存在r

。由圖4-22可知，越小,r

越接近于n

(即r/n越接近于1);增大,

r離n

的距離就增大。應指出，1>≥0.707

時，可認為r=0。

在前面，已求得

=r

時，G(jr)的幅值為：2）波德圖機械工程控制基礎83記|G(jr)|=Mr，由式(4-52)作出Mr-

關系曲線，如圖4-24所示。當<0.707時，越小，Mr越大；→0時，Mr→∞；當1>≥0.707時，可認為Mr=1。值得指出的是，在一般的幅頻特性坐標圖與相頻特性坐標圖上，在=0.707或略小于此值時，幅頻特性曲線與相頻特性曲線在低頻段近于直線。2）波德圖機械工程控制基礎84（7）二階微分環節的頻率特性由于即(4-57)它的極坐標圖如圖4-25所示。1）極坐標圖機械工程控制基礎852）波德圖其幅頻特性與相頻特性如圖4-26所示。864.3

控制系統的對數頻率特性4.3.1控制系統開環波德圖的繪制

控制系統一般總是由若干典型環節組成，直接繪制系統的開環玻德圖比較繁瑣，但熟悉了典型環節的頻率特性后，就不難繪制出系統的開環玻德圖。控制系統的開環傳遞函數一般形式為

(4-58)機械工程控制基礎87故其對數幅頻特性為（4-59）對數相頻特性為（4-60）機械工程控制基礎88繪制系統的開環波德圖的步驟把系統開環傳遞函數化為標準形式（即時間常數形式），如（4-58）式所表示的形式；選定對數幅頻特性圖上各坐標軸的比例尺；求出慣性、一階微分、振蕩環節及二階微分的轉角頻率，并沿頻率軸上由小到大標出；根據比例環節K，計算20lgK(dB);在半對數坐標紙上，找到頻率

=1rad/s及幅值為20lgK的一點，通過此點作斜率為-20N(dB/dec)的直線，N為積分環節的個數。如不存在積分環節，則作一條幅值為20logK的水平線；機械工程控制基礎4.3.1控制系統開環波德圖的繪制

89在每個轉角頻率處改變漸近線的斜率，如果為慣性環節，斜率改變為-20(dB/dec)；二階振蕩環節，斜率改變為-40(dB/dec)；一階微分環節，斜率改變為+20(dB/dec)；如此，作到最后一段，最后一段漸近線的斜率應為

-20(N+p+2q-m)dB/dec

N為積分環節的個數；p為慣性環節的個數；

q為二階振蕩環節的個數；m為微分環節的個數可以應用上述結論驗證圖形繪制是否正確。如果要求精確對數幅頻特性圖，可對漸進線進行修正；畫出每一環節的對數相頻特性圖，然后把所有組成環節的相頻特性在相同的頻率下相疊加，即可得到系統的開環對數相頻特性。機械工程控制基礎4.3.1控制系統開環波德圖的繪制

90例4-3已知系統的開環傳遞函數要求繪制系統開環波德圖。解：

1．將G(s)化成由典型環節串聯組成的標準形式可見系統由比例環節、一階微分環節、積分環節、慣性環節和振蕩環節串聯組成。其頻率特性為機械工程控制基礎91

2．比例環節K=7.5，20lgK=17.5dB3．轉角頻率由小到大分別為1.414，2，34．通過點（=1rad/s，20lgK=17.5）畫一條斜率為-20dB/dec的斜線，即為低頻段的漸近線。此漸進線與通過1=1.414的垂線相交點，因1是二階振蕩環節的轉角頻率，所以要在此點改變漸進線的斜率-40dB/dec，因此漸進線的斜率由-20dB/dec改變為-60dB/dec，此漸進線又與通過一階慣性環節的轉角頻率2=2的垂線相交點改變漸進線的斜率由-60dB/dec改變為-80dB/dec。當漸進線通過一階微分環節的轉角頻率3=3的垂線相交點時改變漸進線的斜率由-80dB/dec改變為-60dB/dec，這幾段漸進線的折線即為對數幅頻特性。4.3.1控制系統開環波德圖的繪制

機械工程控制基礎例4-3925．在轉角頻率處，利用誤差修正曲線對對數幅頻特性曲線進行必要的修正。6．根據式（4-60）畫出各典型環節的相頻特性曲線，線性疊加后即得系統的相頻特性曲線。系統的開環玻德圖如圖4-27所示。4.3.1控制系統開環波德圖的繪制

機械工程控制基礎例4-393944.3.2最小相位系統最小相位傳遞函數：若傳遞函數G(s)的所有零點和極點均在復平面［s］的左半平面內，則稱G(s)為最小相位傳遞函數。最小相位系統：具有最小相位傳遞函數的系統。機械工程控制基礎954.3.2最小相位系統(0<T<T1)(0<T<T1)具有相同幅頻特性的系統，最小相位系統的相角變化范圍是最小的。例如兩個系統的傳遞函數分別為非最小相位傳遞函數：若傳遞函數G(s)在復平面［s］的右半平面內存在零點或極點，則稱G(s)為非最小相位傳遞函數。非最小相位系統：具有非最小相位傳遞函數的系統。機械工程控制基礎96圖4-28(a)表示兩個系統的零、極點分布圖，顯然G1(s)屬于最小相位系統。這兩個系統具有同一個幅頻特征，但它們卻有著不同的相頻特性，如圖4-28(b)所示。4.3.2最小相位系統機械工程控制基礎97(1)在=∞時，對數幅頻特性曲線的斜率為Lk(∞)=-20(n-m)dB/dec（4-61）(2)對于最小相位系統的相位特性；

(∞)=-90o(n-m)(4-62)這里n和m分別為傳遞函數中分母和分子多項式的階次。在最小相位系統中，對數幅頻特性的變化趨勢和相頻特性的變化趨勢是一致的（幅頻特性的斜率增加或者減少時，相頻特性的角度也隨之增加或者減少），因而由對數幅頻特性即可唯一地確定其相頻特性。

一個最小相位系統滿足下面的條件:機械工程控制基礎4.3.2最小相位系統984.3.3

閉環頻率特性（4-63）（1）由開環頻率特性估計閉環頻率特性對于如圖（4-29）所示的系統，其開環頻率特性為G(j)H(j)。而該系統閉環頻率特性為機械工程控制基礎99

因此，已知開環頻率特性，就可以求出系統的閉環頻率特性，也就可以繪出閉環頻率特性。設系統為單位反饋，即（4-64）（4-65）（4-66）由于上式也是的復變函數，所以上式的幅值M()和相位()分別表示為：機械工程控制基礎4.3.3閉環頻率特性100

逐點取值，計算出在不同頻率時(j)的幅值和相位，則可分別作出M-圖（閉環幅頻特性圖）和-圖（閉環相頻特性圖），如圖4-30所示。這樣逐步計算工作量很大，但是隨著計算機的應用日益普及，閉環頻率特性的繪制就變的很容易了。101（4-67）顯然，此式右邊的后一項可看作是單位反饋系統的頻率特性，其前向通道頻率特性為G(j)H(j),再乘以1/H(j)，即得到(j)。令GK(j)=G(j)H(j)則研究單位反饋系統的(j)與G(j)之間的關系并不喪失問題的一般性，因為在一般情況下：4.3.3

閉環頻率特性機械工程控制基礎102（2）頻率特性的性能指標

在頻域分析中，評價控制系統性能優劣的特征量稱為頻域性能指標，它體現了系統的快速性、穩定性等動態品質。系統的帶寬

指閉環系統的對數幅值不低于-3dB時所對應的頻率范圍(0≦BW≦b)。

帶寬表征了系統響應的快速性。對系統帶寬的要求，取決于兩方面因素的綜合考慮。1）截止頻率b和帶寬BW截止頻率

指閉環對數幅值20lgM()下降到-3dB[即振幅M()

衰減到0.707M(0)]時的角頻率。閉環系統將高于截止頻率的信號分量濾掉，而允許低于截止頻率的信號分量通過。響應速度的要求響應越快，要求帶寬越寬。高頻濾波的要求為濾掉高頻噪聲，帶寬又不能太寬。4.3.3

閉環頻率特性機械工程控制基礎1034.3.3閉環頻率特性機械工程控制基礎1042）諧振峰值Mr和諧振頻率r

閉環頻率特性幅度值的極大值Mr，稱為諧振峰值。以二階系統為例。從知，系統的阻尼越小，Mr值越大，越易振蕩。阻尼比越大，Mr越小，越易穩定下來。故Mr標志著系統的相對穩定性。當1≦Mr≦1.4（相當于對數幅值0≦Mr≦3dB）時，對應的阻尼比為0.4≦≦0.707。若<0.4

，則系統的超調量過大；>0.707，則系統不出現諧振峰值，故一般取Mr≦1.4。系統諧振峰值處的頻率，稱為諧振頻率r，r表征了系統的響應速度。從圖4-31可見，b>r，諧振頻率r越大，系統帶寬越寬，故響應速度越快。4.3.3閉環頻率特性機械工程控制基礎1053）剪切率

指對數幅值曲線在截止頻率附近的斜率，該處曲線斜率越大，高頻噪音衰減的越快。因此，剪切率表征了系統從噪音中辨別信號的能力。開環頻率特性性能指標中，描述系統相對穩定性的增益裕度、相位裕度等將在第五章介紹。4.3.3閉環頻率特性機械工程控制基礎106主要介紹二階系統的閉環頻率特性的評價性能指標。的幅頻特性將M(b)=0.707代入二階系統（1）截止頻率b中，可求得如下關系機械工程控制基礎4.4頻域性能指標及其與時域性能指標的關系107（2）諧振頻率r和諧振峰值Mr：由式（4-45）得峰值時間tP與n和的關系為得調整時間ts與n和的關系為式中：=2%或=5%得機械工程控制基礎108由于最大超調量和諧振峰值分別為所以由以上公式可以看出：（2）諧振頻率r和諧振峰值Mr：機械工程控制基礎1094.5頻率特性實驗法估計系統傳遞函數在分析和設計控制系統時，首先要建立系統的數學模型。我們已經介紹了通過解析法獲取數學模型的方法。但是實際系統是復雜的，有些系統由于人們對其結構、參數及其支配運動的機理不很了解，常常難于從理論上導出系統的數學模型。因此，這里我們再介紹一種用頻率特性實驗分析法來確定系統數學模型的方法