魅力數學廈門大學數學科學學院林亞南XIAMENUNIVERSITY數學是什么？

數學是一門具有挑戰性的學科

挑戰人們的智力，挑戰人們的毅力，挑戰人們的創新能力培根：

數學是進入各種科學的門戶，是鑰匙。沒有數學知識，就不可能知曉這個世界中的一切。

馬克思:

一種科學只有在成功地運用數學時,才算達到了真正完善的程度.

科學:自然科學社會科學

自然科學界定為以研究物質的某一運動形態為特征的科學(如物理學化學、生物學)數學是忽略了物質的具體運動形態和屬性，純粹從數量關系和空間形式的角度來研究現實世界

科學:

自然科學社會科學數學科學數學的特點:

抽象性精確性應用廣泛性

數學的抽象性

把看來復雜的問題便得簡明

把看來混亂的事物理出規律

哥尼斯堡七橋問題與一筆畫問題

歐拉公式平面:V(接點數)+F(網眼數)-E(邊數)=1

三維空間中凸多面體:V(頂點數)+F(面數)-E(棱數)=2

一個數學等式歐拉公式的特例Lindemann(1852-1939)證明∏是超越數的工具,證明了尺規化圓為方不可能性.

數學的精確性

數學推理的嚴格

數學結論的確定

宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之迷，日用之繁，數學無所不在。

----華羅庚數學應用的廣泛性數學應用的廣泛性

數學在大自然和我們的生活中無所不在。數學與人類社會的發展息息相關。

數學的力量往往是潛在的；數學的作用往往是無形的。哈雷彗星的發現哈雷(E.Halley，1656-1742)，出生于英國倫敦一個富商家庭，1673年進入牛津大學女王學院學習數學。1676年，30歲的皇家天文學家弗拉姆斯蒂(F.Flamsteed，1646-1719)正在格林尼治天文臺從事北天星表的編制工作，20歲的哈雷毅然放棄了即將到手的學位證書，只身搭乘東印度公司的航船，在海上顛簸了3個月，到達南大西洋的圣赫勒納島，建立了南半球第一個天文臺，測繪編制了包含341顆南天恒星黃道坐標的第一個南天星表。

哈雷彗星的發現1680年，哈雷看到了有史以來最亮的一顆大彗星。哈雷查閱了許多外國歷史資料，發現1682年出現的大彗星其軌道與前1607年、1531年出現的彗星軌道如出一轍，這3次出現的彗星外貌也很相似。哈雷沒有立即下此結論，而是不厭其煩地向前搜索，進一步發現：1456年、1378年、1301年、1222年，一直到1066年，歷史上都有大彗星的記錄。

哈雷彗星的發現1705年，49歲的哈雷發表了《彗星天文學論說》，宣布1682年曾引起世人極度關注的大彗星將于1758年再次出現于天空，因為他通過計算確定該彗星的周期是76年左右。于是他在書中寫道：“如果彗星真如我所預言，大約在1758年再現的時候，公正的后人們將不會忘記這首先是由一個英國人發現的。”

哈雷彗星的發現76年后的1758年，這顆彗星重新出現。哈雷彗星的發現

最近一次回歸在1986年。

下次出現在2062年。哈雷彗星的發現海王星的發現海王星的發現1781年，英國天文學家赫歇耳，用望遠鏡發現了天王星。19世紀，人們在對天王星進行觀測時，發現它的遠行總是不太“守規矩”，老是偏離預先計算好的軌道。到1845年，已偏離有2′的角度了。這到底是什么原因呢？數學家貝塞爾和一些天文學家設想，在天王星的外側，一定還存在一顆行星，由于它的引力，才擾亂了天王星的運行。海王星的發現

1843年，英國劍橋大學22歲的學生亞當斯，根據力學原理，利用各種數學工具，通過10個月時間的計算，確定了這顆未知行星的位置。在此年10月，他滿懷信心地把計算結果寄給英國格林威治天文臺臺長艾利。不料，這位臺長是一個迷信權威的人，對他的結果未予理睬。海王星的發現

法國巴黎天文臺青年數學家勒維列于1846年計算出了這顆新行星的軌道。他于這年9月18日寫信，給當時擁有詳細星圖的柏林天文臺的工作人員加勒：“請你把望遠鏡對準黃道上的寶瓶星座，即經度326°的地方，那么你將在離此點1°左右的區域內見到一顆九等星。”（肉眼所能見到的最弱的星是六等星）

海王星的發現

加勒在9月23日接到了勒維列的信，當夜他就按照勒維列指定的位置觀察，果然在半小時之內，找到一顆以前從未見過的星，距勒維的計算位置相差只有52′。經過24小時的連續觀察，他發現這顆星在恒星間移動著，的確是一顆行星。天文學家命名為海王星。圓錐曲線與行星運動三大定律開普勒（1571-1630），德國著名的天體物理學家、數學家、哲學家。他首先把力學的概念引進天文學，他還是現代光學的奠基人，制作了著名的開普勒望遠鏡。他發現了行星運動三大定律，為哥白尼“太陽中心說”提供了最為有力的證據。

圓錐曲線與行星運動三大定律行星運動三大定律:1.每個行星都以橢圓軌道環繞太陽運動,而太陽位于橢圓的一個焦點.

圓錐曲線與行星運動三大定律2.太陽到行星的矢徑在相等的時間間隔中掃過相同的面積.3.行星的軌道周期的平方與它的橢圓軌道的半長軸的立方成正比.圓錐曲線與行星

運動三大定律

圓錐曲線:

希臘學者Menaechmus(公元前

375-前325)

希臘學者ApolloniusofPerga(公元前262-前190)<<圓錐曲線論>>8卷數學與計算機1946年,“馮.諾依曼機”

王選與

激光照排

王選與激光照排

王選與激光照排

1946年：世界上第一臺照排機“手動式”，美國。50年代，美國“光學機械式”二代機。1965年德國推出“陰極射線管”三代機。1975年英國正在研制的“激光照排”四代機即將問世。王選提出直接研制激光照排王選與激光照排

漢字字形信息量太大就成了最大的難題。漢字字模的組合高達100萬個以上，若采用傳統的點陣漢字，儲存量將高大200億位。

王選與激光照排

針對漢字的特點和難點，他發明了高分辨率字形的高倍率信息壓縮技術和高速復原方法和輸出方法，率先設計出相應的專用芯片，在世界上首次使用“參數描述方法”描述筆畫特性。這些世界領先技術，成為漢字激光照排系統的技術核心。王選與激光照排

獲得9項中國和歐洲專利，中國十大科技成就獎；第14屆日內瓦國際發明展金獎；獲國家科技進步一等獎；首屆畢升獎；陳嘉庚技術科學獎；國家重大技術裝備成果獎特等獎；何梁何利科學與技術進步獎；國家科技進步一等獎；聯合國教科文組織科學獎；中國十大科技成就獎；2001年度國家最高科學技術獎；100位新中國成立以來感動中國人物。電磁波與麥克斯韋方程電磁波與麥克斯韋方程

從1864年,英國物理學家,數學家J.C.Maxwell(1831-1879)發表有關電磁學論文.經理無數次失敗后，用純數學的方法對自法拉弟,安培以來的電磁理論的總結,將全部電磁現象歸結表述為兩組方程(麥克斯韋方程).推導出一種一光速傳播的波的存在.電磁波與麥克斯韋方程電磁波與麥克斯韋方程24年后,德國物理學家

H.R.Hertz(1857-1894)1888年震蕩放電實驗不久,發明了無線電報CT掃描儀設計原理與數學20世紀80年代美籍南非工程師A.M.Cormark尋找不經手術能精確確定體內物體的位置和密度的方法.不同物質有不同的X-射線衰減系數透視測量到人體內沿直線分布的X-射線衰減系數的平均值

CT掃描儀設計原理與數學

捷克數學家Radon的拉東積分變換英國工程師亨斯菲爾德發明并研制成功第一臺計算機斷層掃描儀.

拉東和亨斯菲爾德共同獲得1979年偌貝爾醫學獎.數論與密碼學

密碼學的歷史大致可以推早到兩千年前，相傳名將凱撒為了防止敵方截獲情報，用密碼傳送情報。凱撒的做法很簡單，就是對二十幾個羅馬字母建立一張對應表。只要多截獲一些情報，統計一下字母的頻率，就可以解破出這種密碼。

凱撒是羅馬帝國的奠基者，有凱撒大帝之稱。甚至有歷史學家將其視為羅馬帝國的第一位皇帝，以其就任終身獨裁官的日子為羅馬帝國的誕生日。影響所及，有羅馬君主以其名字「凱撒」作為皇帝稱號；其后之德意志帝國及俄羅斯帝國君主亦以「凱撒」作為皇帝稱號。數論與密碼學

1，找兩個很大的素數（質數）P和Q，越大越好，比如100位長的,然后計算它們的乘積N=P×Q，M=（P-1）×（Q-1）。

2，找一個和M互素的整數E。

3，找一個整數D，使得E×D除以M余1，即E×DmodM=1。

E：公鑰，誰都可以用來加密，D:私鑰,用于解密,乘積N是公開的。

現在，我們用下面的公式對X加密，得到密碼Y。

數論與密碼學

如果知道D，根據費爾馬小定理，則只要按下面的公式就可以輕而易舉地從Y中得到X。

數論與密碼學

數論與密碼學

公開密鑰的好處有：

1.簡單。

2.可靠。公開密鑰方法保證產生的密文是統計獨立而分布均勻的。更重要的是N,E可以公開給任何人加密用，但是只有掌握密鑰D的人才可以解密,即使加密者自己也是無法解密的。這樣，即使加密者被抓住叛變了，整套密碼系統仍然是安全的。

3.靈活，可以產生很多的公開密鑰E和私鑰D的組合給不同的加密者。

數論與密碼學

要破公開密鑰的加密方式，至今的研究結果表明最好的辦法還是對大字N進行因數分解，即通過N反過來找到P和Q，這樣密碼就被破了。而找P和Q目前只有用計算機把所有的數字試一遍這種笨辦法。這實際上是在拼計算機的速度，這也就是為什么P和Q都需要非常大。一種加密方法只有保證50年計算機破不了也就可以滿意了。

數論與密碼學

前幾年破解的RSA-158密碼是這樣因數分解的

39505874583265144526419767800614481996020776460304936454139376051579355626529450683609727842468219535093544305870490251995655335710209799226484977949442955603

=3388495837466721394368393204672181522815830368604993048084925840555281177×11658823406671259903148376558383270818131012258146392600439520994131344334162924536139

搜索引擎的排序

搜索引擎的排序

如何度量網頁和查詢的相關性

搜索引擎的排序

原子能、的、應用“關鍵詞的頻率”，或者“單文本詞匯頻率”（Term

Frequency)，如在某個一共有一千詞的網頁中“原子能”、“的”和“應用”分別出現了

2

次、35

次

和

5

次，那么它們的詞頻就分別是

0.002、0.035

和

0.005。

我們將這三個數相加，其和

0.042

就是相應網頁和查詢“原子能的應用”相關性的一個簡單的度量。搜索引擎的排序

給每一個詞給一個權重：1.

一個詞預測主題能力越強，權重就越大，反之，權重就越小。2.

應刪除詞的權重應該是零。

假定一個關鍵詞

ｗ

在

Ｄｗ

個網頁中出現過，那么

Ｄｗ

越大，ｗ

的權重越小，反之亦然。在信息檢索中，使用最多的權重是“逆文本頻率指數”

（Inverse

document

frequency

縮寫為ＩＤＦ），它的公式為ｌｏｇ（Ｄ／Ｄｗ）其中Ｄ是全部網頁數。搜索引擎的排序

我們假定中文網頁數是Ｄ＝１０億，應刪除詞“的”在所有的網頁中都出現，即Ｄｗ＝１０億，那么它的ＩＤＦ＝log(10億/10億）=

log

(1)

=

０。假如專用詞“原子能”在兩百萬個網頁中出現，即Ｄｗ＝２００萬，則它的權重ＩＤＦ＝log(500)

=6.2。又假定通用詞“應用”，出現在五億個網頁中，它的權重ＩＤＦ

=

log(2)則只有

0.7。該網頁和“原子能的應用”的相關性為

0.0161，其中“原子能”貢獻了

0.0126，而“應用”只貢獻了0.0035。這個比例和我們的直覺比較一致了。

余弦定理和新聞的分類

Google

的新聞是自動分類和整理的。所謂新聞的分類無非是要把相似的新聞放到一類中。計算機其實讀不懂新聞，它只能快速計算。這就要求我們設計一個算法來算出任意兩篇新聞的相似性。為了做到這一點，我們需要想辦法用一組數字來描述一篇新聞。對于一篇新聞中的所有實詞，我們可以計算出它們的單文本詞匯頻率/逆文本頻率值（TF/IDF)。不難想象，和新聞主題有關的那些實詞頻率高，TF/IDF

值很大。我們按照這些實詞在詞匯表的位置對它們的

TF/IDF

值排序。

余弦定理和新聞的分類

如詞匯表有六萬四千個詞。在一篇新聞中，這

64,000

個詞的

TF/IDF

值組成一個64,000維的向量。我們就用這個向量來代表這篇新聞，并成為新聞的特征向量。如果兩篇新聞的特征向量相近，則對應的新聞內容相似，它們應當歸在一類，反之亦然。

如果兩個向量的方向一致，即夾角接近零，那么這兩個向量就相近。而要確定兩個向量方向是否一致，這就要用到余弦定理計算向量的夾角了。

余弦定理和新聞的分類

余弦定理

當兩條新聞向量夾角的余弦等于一時，這兩條新聞完全重復（用這個辦法可以刪除重復的網頁）；當夾角的余弦接近于一時，兩條新聞相似，從而可以歸成一類；夾角的余弦越小，兩條新聞越不相關。

GPS全球定位系統與線性方程組GPS導航系統的基本原理是測量出已知位置的衛星到用戶接收機之間的距離，然后綜合多顆衛星的數據計算出接收機的具體位置。而衛星的位置可以根據星載時鐘所記錄的時間在衛星星歷中查出。接收器與衛星之間的距離計算：其中：C是光速經過整理得：對得方程組：其中GPS全球定位系統與線性方程組例

設接收器在0點接收到4個衛星的如下數據其中長度單位為地球半徑(6378KM)時間單位為1/100秒，光速c=0.469解方程得：從前三個線性方程組解得：代入第4個方程，解得所以接收器在時刻的位置是數學與經濟學1969年至2001年33屆49人獲得諾貝爾經濟學獎應用數學的深度:特強27位,強14位.由此可見經濟學理論的數學含量諾貝爾經濟學獎主要是用來獎勵”經濟學家中的數學家”數學與經濟學歸結為由供給等于需求決定的方程組的求解.

假定市場上有n個商品,每一個商品的供給和需求都是這n個商品的價格的函數.這n個商品的供需均衡就得到n個方程.價格需要一定的計量單位,或者說各種商品之間的比價才有意義,因而n種商品的價格之間只有n-1種商品是獨立的.為此,加入一個財務均衡關系,即所有供給的總價值等于所有需求的總價值,用來消區一個方程.得到了n-1種商品價格的n-1個方程組.方程組的解就是一般均衡價格體系.數學與經濟學1959年G.Debreu發表<<價值理論>>,建立公理化體系K.J.Arrow獲得1972年諾貝爾經濟學獎G.Debreu獲得1983年諾貝爾經濟學獎

名著<<靜靜的頓河>>是肖洛霍夫本人作品還是抄襲克留柯夫的作品?3組樣本,3000句子.根據句子的平均長度,詞類的使用情況,句子結構等方面統計分析.

語言學和數理統計方法1967年法國數學家B.B.Mandelbrot在《科學》雜志上發表文章:“英國的海岸線有多長？”

和海岸線的長度問題與分形

在理論數學中，瑞典數學家Koch早在1904年就構造了如今稱之為“柯赫曲線”

(Kochcurve)的幾何對象。

海岸線的長度問題與分形和混沌Sierpinski三角形海岸線的長度問題與分形和混沌海岸線的長度問題與分形和混沌畢達哥拉斯樹《2025年的數學科學》

日前，美國國家研究委員會（NRC）發布了一份題為《2025年的數學科學》的報告,報告撰寫歷時5年。報告涉及三方面內容：一、數學科學研究的活力，數學科學發展的統一性和連貫性、最近發展的意義、前沿發展速度和新趨勢；二、數學科學研究和教育對工程科學、工業和技術、創新和經濟競爭力、國家安全、與國家利益相關的其他領域的影響；三、為美國國家科學基金會數學科學部提供建議，如何通過調整其工作組合，提高本學科的活力和影響力。《2025年的數學科學》

上個世紀最后10年，美國國家研究委員會發布兩份重要報告：《人人關心數學教育的未來》，《振興美國數學——90年代的計劃》。認定:為充分參與未來世界，美國必須開發數學的力量。邏輯前提是：數學是科學和技術的基礎；沒有強有力的數學就不可能有強有力的科學。

美國國家科學院

《推動創新和發現：21世紀的數學科學》報告以十余個數學主題為例，說明數學如何推動其他領域獲得發展的創新性成就。如壓縮傳感帶來的變革，特征向量法從大量噪聲數據中提取信息的顯著能力，數學模擬在各個領域的影響，海嘯中的數學科學，貝葉斯推斷在經濟、天體物理、戰爭等方面的作用，擴散張量成像與腦的新視角，快速多極方法在軍隊、商業領域中的應用等等。

或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質生活，但數學能給予以上的一切。”這是19世紀德國數學家克萊因贊美數學的一句話，盡管充滿詩意、深情款款，但對數學的推崇氣勢凌人，不容置疑。如果說克萊因的判斷是一種歷史經驗，那在美國國家研究委員會（NRC）數學科學委員會眼中，數學則攸關一國經濟社會乃至國家安全的現實利益。

2010年歐洲科學基金會：《數學與產業》學術界和產業界的許多領域都依賴數學科學開拓新領域和推動發展，如今，學術界和產業界所面臨的挑戰是如此嚴峻，以至于只有在數學科學的幫助和參與下才能得以解決。

該項報告源于這樣一個強大的理念：歐洲數學有潛力成為歐洲產業的重要經濟資源；其目的是探索激勵和強化數學與產業之間的合作方式，以期加強數學家與致力于技術進步的大中型企業之間的合作戰略。泛在的數學《2025年的數學科學》認為，將數學科學作為一個統一的整體進行考慮是關鍵的。“核心”數學和“應用”數學之間的區別越來越模糊，今天很難找到有哪個數學領域與應用不相關。

歐洲科學基金會的報告也特別強調，與產業界的互動有助于學術界從中受益，激勵其對新方向開展研究；報告同時警示數學家要轉變心態，在現代技術發展的過程中，對純數學和應用數學問題的區分已經沒有任何意義。

大數據時代的到來，更是史無前例地將數學交叉的重要性以及與各學科融合的統一性上升到一個重要位置。

一批原來從事數學研究的人轉身投向其他研究領域或技術開發領域，特別是信息技術、金融和經濟，以及各種工程計算領域，并在這些領域中取得了重大成就，甚至成為其中的領袖人物。原因在于：其他領域的人員難于在較短時間內掌握工作中必須的專門數學知識。具有專門數學訓練的人去學習另外某個領域的基本知識并不十分困難。在潛方面里，數學鍛煉了人的思維邏輯，數學讓人考慮事情更懂得理清重點以及事物間的關系。學數學的人預見事情，駕馭事情的能力更是高于一般人。并且，因為他們習慣用數字來說明問題，這讓他們的觀點嚴謹且客觀。數學在大自然和我們的生活中無所不在。數學與人類社會的發展息息相關。

數學的力量往往是潛在的；數學的作用往往是無形的。規劃目標你對自己理想和興趣的認識你的基礎你修正自己的能力你的時間

大學時光人生大學學習在一生中的重要地位

哈佛大學有一個非常著名的關于目標對人生影響的跟蹤調查。對象是一群智力、學歷、環境等條件都差不多的年輕人，調查結果如下：

25年后再來看被調查的人

３％有清晰且長遠目標的人：25年來幾乎都不曾更改過自己的人生目標。他們都朝著同一個方向不懈地努力，現在，他們幾乎都成了社會各界的頂尖成功人士，他們當中不乏白手創業者、行業領袖、社會精英。

１０％有清晰但短期目標的人：大都生活在社會的中上層。他們的共同特點是，那些短期目標不斷被達成，生活狀態穩步上升，成為各行各業的不可或缺的專業人士。如醫生、律師、工程師、高級主管等。

６０％有較模糊目標的人：幾乎都生活在社會的中下層面，他們能安穩地生活與