第七章高等結構動力學對一般動力荷載的反應—逐步法§7.1一般概念§7.2分段精確方法§7.3數值近似方法—一般注釋§7.3二階中心差分列式§7.3積分法§7.3非線性分析的增量列式§7.3線加速度法步驟概要第七章對一般動力荷載的反應—逐步法

分析承受任意動力荷載的線性結構，Duhamel積分或頻域分析，提供了最方便的解法。這兩種方法的推導過程中都使用了疊加原理，只能適用于線性體系，即反應過程中體系的特性保持不變。

另一方面，有許多種重要的結構動力學問題，體系不能視作線性的。如：足以引起嚴重破壞的地震運動下的建筑物反應等等。因此，還需要發展適用于非線性體系的其它分析方法。§7.1

一般概念§7.1

一般概念動力反應分析的方法1、疊加法——線性體系，即反應過程中體系的特性保持不變；2、逐步法——體系不能視作線性的，要發展適用于非線性體系的方法。逐步法的思想將荷載和反應歷程分成一系列的時間間隔或步；每步期間結構特性保持常數；每步的反應為此步開始時的初始條件（位移及速度）和該步期間的荷載歷程引起；是一個分段線性化的系統。§7.1

一般概念近似的方法方程的近似方程求解方法的近似1）數值微分2）數值積分§7.1

一般概念§7.2分段精確方法§7.2分段精確方法(7-1)(7-2)(7-3)(7-4)(7-5)§7.2分段精確方法其中同樣地，可獲得時間步長期間的速度為(7-6)§7.2分段精確方法§7.2分段精確方法圖E7-2分段精確計算的反應§7.2分段精確方法§7.3數值近似方法——一般注釋數值方法——數值微分、數值積分近似逐步法的要點：1）列式可以為顯式亦可為隱式；2）效率是重要的，關系到達到精度的工作量，任何情況下步長必須短到足以提供荷載和反應歷程足夠的精度；3）產生誤差的技術原因——舍入、不穩定性、截斷；4）產生誤差的自身原因——相位的漂移或頻率的顯著改變、人工阻尼。§7.3數值近似方法——一般注釋§7.4二階中心差分列式§7.4二階中心差分列式（7-7）（7-8）§7.4二階中心差分列式使用中心差分:（7-9）（7-10）§7.4二階中心差分列式（7-11）（7-12）§7.4二階中心差分列式使用平均速度的概念,可以得到;§7.5積分法另一類一般性的逐步進行動力反應分析的數值方法是，對每一時間步，從初始到最終條件應用積分前進一步。這個基本概念可用如下式子表示：（7-13a）（7-13b）§7.5積分法§7.5積分法

最終速度和位移依據這些值的初始值加一個積分表達式。速度的變化依賴于加速度歷程的積分，而位移的變化依賴于相應的速度積分。

為了進行這類分析，首先需要假設在時間步的持續時間內加速度是如何變化的；加速度的假設也控制了速度的變化，因而可以由這一步向前獲得下一時間步。§7.5積分法Euler-Gauss方法最簡單是假設加速度在時間步持續時間內為常數，結果是在持續時間內速度為線性，位移為二次曲線——著名的Euler-Gauss方法。

列式特性的樣式，假設常量加速度是由初值及步長持續時間內所獲得的最終加速度的平均。在此圖中也顯示了速度和位移的表達式，它們是對此加速度在這步持續時間內任意時刻由逐次積分所獲得的，把代入這些表達式而獲得最終速度和位移。§7.5積分法圖7-3基于常平均加速度的運動h

加速度（常數）

速度（線性）

位移（二次的）為了對任意步開始這種分析，首先需要計算初始加速度時刻式（7-7）所示的動力平衡表達式獲得。另外，最終加速度需要應用隱式列式，它的值可以由迭代獲得。對，這可以解它的值可以由迭代獲得。對開始時用任意假設的值，再用圖7-3所列式（a）和（b）得到和的值。然后，用與式（7-7）相當的表達式從動力平衡方程計算時刻值的一個改進，由此再導得速度和和和位移的改進值，最后，迭代收斂于這時間步最終加速度的一個固定的值，這個過程可以前進一步到下一時間步。§7.5積分法迭代的列式開始時用任意假設的值，再用圖7-3所列式（a）§7.5積分法常平均加速度法的主要優點：是無條件穩定的。也就是說，從一步到下一步不管時間步長選得如何長，誤差不會放大。因此時間步長的選擇只需要考慮所定義動力激勵和結構的振動反映特性。Newmark—β法一種更一般的逐步列式是由Newmark提出的，前面的方法可以作為它的特殊情況。但是也可以在其他一些形式下應用。在Newmark列式中，對最終速度和位移的基本積分[式（7-13）]如下所示：§7.5積分法（7-14a）（7-14b）由式（7-14a）顯然可見，系數提供了在初始和最終加速度改變影響之間的線性變化的權重，類似地，系數β提供了在這些初始和最終加速度對位移改變貢獻的權重。

從該列式性能的研究發現，系數γ控制了由這個逐步法導致的人工阻尼量；如果γ=1/2，方法是無人工阻尼的，因此這個值被推薦用于標準的單自由度分析。在式（7-14a）和式（7-14b）中令系數γ=1/2和β=1/4，此時可以看到，Newmark列式直接退化為圖7-3所示最終速度和位移的表達式。因此，Newmarkβ=1/4法也可以歸諸于常平均加速度法。§7.5積分法

另一方面，如果β取作1/6（用γ=1/2），最終速度和位移的表達式成為§7.5積分法（7-15a）（7-15b）這些結果也可以如圖7-4所示，由假設在時間步持續期間加速度在和的初始到最后值之間線性變化來得到；因此β=1/6的Newmark法也稱為線加速度法。像常平均加速度法一樣，此法在實際中也是廣為應用的。但是與β=1/4方法對比，線加速度法僅是條件穩定的。可是，與二階中心差分法一樣，在單自由度體系分析中這個限制并不重要，因為要獲得動力荷載和反應的滿意表示，必須取比這一限制更短的時間步長。§7.5積分法變換到顯式公式

β法的隱式列式是不方便應用的，因為每一時間步內為了確定此步終點加速度需要進行迭代。因此，通常被修改為顯式形式，目的是最終加速度用其他反應量表示——選擇一個基本未知量（位移較好）。§7.5積分法再代入圖7-3式（a）中，獲得最終速度表達式為（7-16b）§7.5積分法（7-16a）根據圖7-3式（b）對最終加速度求解可得在t1時刻寫出動力平衡方程并將式（7-16a）和（7-16b）代入上式，則可導得僅含時間步終點未知位移v1的表達式。經適當歸并同類項，此式可寫為（7-17）這是一個靜力平衡方程的形式，它包含等效剛度（7-17a）§7.5積分法和等效荷載（7-17b）在式（7-17）里下標c用以標記常平均加速度法。

§7.5積分法[而不是從式（7-16a）求]，因而保留了平衡條件。§7.5積分法使用這個顯式公式，時間步終點位移v1可直接由式（7-17）計算，所要用到的僅是時間步開始時的數據。然后，此時刻的速度可用式（7-16b）計算，最后，此時間步終點的加速度由求解該時刻的動力平衡方程而得

采用同樣的方法，使用圖7-4中的式（a）和（b），也可以類似地將線性加速度法轉換為顯式形式，這些列式的位移差別就是等效剛度，等效荷載及最終速度的表達式不同。對線加速度分析來說，等效靜力平衡方程為（7-18）§7.5積分法圖7-4基于線性變化加速度的運動

加速度（線性）

速度（二次的）

位移（三次的）h§7.5積分法（7-18b）當位移v1由式（7-18）計算時，同時刻的速度可由如下表達式給出[相當于式（7-16b）]:（7-18c）§7.5積分法其中下標d表示線加速度法。等效剛度和荷載分別為

（7-18a）

線加速度法僅僅是條件穩定，但如前面所述，對于單自由度體系分析，這一點并不重要。另一方面，假設每個步長持續時間內加速度線性變化，要比連續用常加速度法能獲得真實特性的更好近似。

實際上，數值實驗結果也證明了線加速度法結果比用常加速度步所得結果優越。基于此理由，對單自由度體系的分析推薦使用線加速度（β=1/6）法。§7.5積分法§7.6非線性分析的增量列式上述分析中，體系的動力特性保持不變，僅可用于線性體系；在步長△t足夠小時，可以認為體系的動力特性是常數；采用一系列短時間增量△t計算反應，為了方便取△t為等步長；在步長的起點和終點建立動力平衡條件，并以一個假設的反應機理為根據，近似地計算在時間增量范圍內體系的運動(通常忽略去在時間間隔內可能產生的不平衡)；體系的非線性特性可用每個時間增量起點所求得的當前變形狀態的特性來說明。利用本計算時間區間終點的速度和位移作為下一計算時間區間的初始條件從而可得到整個反應；§7.6非線性分析的增量列式這個過程可以逐步地從加荷開始時起進行到任何所要求的時間，而非線性特性則可用一系列相繼改變的線性體系來逼近。對于非線性分析，最有效的方法是逐步積分法；§7.6非線性分析的增量列式圖7-5非線性動力體系的定義：(a)基本單自由度結構；(b)力的平衡；(c)非線性阻尼；(d)非線性剛度；(e)作用荷載(a)(b)(c)(d)(e)§7.6非線性分析的增量列式

考慮的結構為圖7-5(a)所示的單自由度體系，體系的特性m，k，c和p(t)可以理解為2-5節所討論的廣義量，而并不只局限于圖面上所示的簡單情況。作用于體系質量m上的力如圖7-5(b)所示，彈簧力和阻尼力的一般非線性性質分別繪于圖7-5(c)和(d)中，任意作用荷載則繪于圖7-5(e)中。

在任一瞬間t，作用于質量m上的力系的平衡要求：（7-19a）

而在暫短時間△t以后，平衡方程將為（7-19b）

從方程(7-19b)減去方程(7-19a)則可得時間間隔t的運動方程的增量形式：（7-20）§7.6非線性分析的增量列式

這個方程中的增量力可表示如下：（7-21a）

其中，質量m不言而喻被假設為常量，而c(t)和k(t)項則表示與時間間隔內速度和位移相應的阻尼和剛度特性，分別如圖7-5(c)和(d)所示。實際上，因為在時間增量末端的速度和位栘將依賴于這些特性，故所示割線斜率只能用迭代法進行計算。因此，通常用時間間隔起點所定義的切線斜率來代替。（7-22）（7-21b）（7-21c）（7-21d）§7.6非線性分析的增量列式

將方程(7-21)代入方程(7-20)，可導得時間t的增量平衡方程的最終形式為：（7-23）

在這種類型的分析中，所討論的材料特性可以包括任何的非線性形式。因此，沒有必要規定彈簧力fs像非線性彈性材那樣僅僅依賴于位移。同樣也可以很好地說明非線性滯變材料，在這種材料中，力依賴于變形的過去時程以及位移的當前值，唯一的要求是剛度特性必須完全由變形的過去和目前狀態所確定。此外，隱含的質量不變的假定顯然是可以改動的：質量也可以表示為隨時間變化的量。§7.6非線性分析的增量列式

有很多方法可以用來進行方程(7-23)的數值積分。

引入假定：在每個時間增量內加速度線性變化，而且體系的特性在這個間隔內保持為常量。質量在時間間隔內的運動用圖形的形式繪于圖7-6中，與所假定的加速度為線性變化的方程一起，圖中還分別繪出了相應的速度二次變化、位移三次變化的圖形。計算在間隔終點(τ≡Δt)時后的值，導得速度和位移的增量方程如下：（7-6a*）（7-6b*）§7.6非線性分析的增量列式圖7-6基于線性變化加速度的增量運動§7.6非線性分析的增量列式問題：由已知的ti時刻的反應——，求ti+△t時刻的反應——？增量的表達方式——三量相關，用哪個做基本的未知量？§7.6非線性分析的增量列式線性加速度的假定：在t=ti,ti+△t的間隔內，τ=0--△t，t=ti+τ§7.6非線性分析的增量列式§7.6非線性分析的增量列式

位移增量作為分析的基本變量，解式(7-6a*)可得加速度增量，并將這個表達式代入方程(7-6b*)，得：（7-7a*）（7-7b*）獲得了用位移增量表達的速度和加速度增量。把方程(7-7*)代入方程(7-23),可導得下列的運動方程：（7-8*）§7.6非線性分析的增量列式最終把所有含已知初始條件的各項移到右邊，給出（7-9a*）（7-9b*）

方程(7-8*)相當于靜力增量平衡關系，即可將荷載增量除以剛度求得位移增量。在等效荷載和剛度項中包含慣性和阻尼的項反映了動力特性。解方程（7-8*），得出位移增量后，將此值代入方程(7-7b*)即可獲得速度增量。下一時段的初始條件由該時段起點速度和位移值加上這些增量值得到。（7-8*）其中：§7.6非線性分析的增量列式

分析包含兩個重要假定：

(1)加速度為線性變化；

(2)質量、阻尼和剛度特性在時間步長內保持常量。雖然時間步長很短時誤差甚小，但這兩個假定都不是完全正確的。因此，誤差在增量平衡關系中出現，并積累。為了避免誤差的積累，在分析的每一步中利用總的平衡條件消除誤差。只要從總外荷載中減去總阻尼力和彈性力以表示時間步長起點的加速度就行了。§7.6非線性分析的增量列式§7.7線性加速度法步驟概要

對任一給定的時間增量，按如下程序進行運算：

(1)初始速度和位移值是已知的。它們或是前一增量的終點值或是問題的初始條件值；

(2)利用這些值及結構特定的非線性特性，可找出時間間隔內的阻尼c(t)、剛度k(t)以及阻尼力fD(t)和彈性力fS(t)的當前值，例如圖7-5(c)和7-5(d)中所示；

(3)初始加速度由下式給出：（7-25）時間t時平衡方程的重新排列；

(4)等效荷載增量和等效剛度按方程(7-9*)計算；§7.7線性加速度法步驟概要

(5)由方程（7-8*）可求得位移增量，從而由方程(7-7b*)可求得速度增量；

(6)最后，獲得時段終點速度和位移：（7-26a）（7-26b）§7.7線性加速度法步驟概要

當第6步運算完成時，這個時段的分析結束；下一個時段的分析，只需將上述整個程序重復進行即可。顯然，連續進行上述運算，就可進行任意多個時間增量的分析，這樣就能算出具有任何非線性性質的單自由度體系的全部反應時程。線性體系自然也可以用同樣的方法進行處理。此時阻尼和剛度特性保持不變，因此分析的過程將稍為簡單一些。§7.7線性加速度法步驟概要

逐步積分法的精度，依賴于時間增量Δt的長度，選取時注意三個因素：(1)作用荷載p(t)的變化速率；(2)非線性阻尼和剛度特性的復雜性；(3)結構振動周期T。

§7.7線性加速度法步驟概要

為可靠地反映這些因素，時間增量必須足夠的短，其中最后一個因素是和體系的自由振動特性聯系在一起的。一般來說，材料特性的變化不是關鍵性的因素，如果發生一個重大的突然變化，例如一個彈塑性彈簧的屈服，這時可以引入一個特殊再細分的時間增量來精確地處理這個影響。同時，要估算能恰當地模擬動力荷載主要形狀的時間增量也并不困難。§7.7線性加速度法步驟概要

因此，如果加載過程比較簡單，時間間隔的選取主要依賴于結構的振動周期。這個線性加速度方法只是有條件穩定的，如果時間增量大于振動周期的一半左右，則將給出擴散的解。但是，為了提供適當的精度，時間增量必須比這個短的多，因此不穩定是不會成為問題的。一般來說，按照經驗，如果增量一周期比Δt/T≤1/10，則可獲得可靠的結果。如果對