典型例題例1.如圖，已知：在€ABC中，ZC，90。,ZA，30。,BD平分ZABC交AC于D.求證：D在AB的垂直平分線上.分析：根據(jù)線段垂直平分線的逆定理，欲證D在AB的垂直平分線上,只需證明BD，DA即可.證明：JZC，90。,ZA，30。（已知）,???ZABC，60。（Rt€的兩個(gè)銳角互余）又???BD平分ZABC（已知）?:ZDBA，1ZABC，30o，ZA.???BD，AD（等角對(duì)等邊）???D在AB的垂直平分線上（和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上）.例2?如圖，已知：在€ABC中，AB，AC，ZBAC，120。，AB的垂直平分線交AB于E,交BC于F。求證：CF，2BF。分析：由于ZBAC，120。，AB，AC，可得ZB，ZC，30。，又因?yàn)镋F垂直平分AB，連結(jié)AF，可得AF，BF.要證CF，2BF，只需證CF，2AF，即證,FAC二90。就可以了.證明：連結(jié)AF,?.?EF垂直平分AB（已知）???FA二FB（線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩端點(diǎn)的距離相等）???,FAB=,B（等邊對(duì)等角）.AB二AC（已知），???,B=ZC（等邊對(duì)等角）又.,BAC二120。（已知）,???,B二,C二30。（三角形內(nèi)角和定理）???,BAF二30。???,FAC=90。???FC二2FA（直角三角形中，30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）??FC二2FB說明：線段的垂直平分線的定理及逆定理都由三角形的全等證得，初學(xué)者往往不習(xí)慣直接使用絕無僅有垂直平分線的定理及逆定理，容易舍近求遠(yuǎn)，由三角形全等來證題.例3.如圖，已知：AD平分,BAC,EF垂直平分AD,交BC延長(zhǎng)線于F,連結(jié)AF。分析：€B及€CAF不在同一個(gè)三角形中，又€B,€CAF所在的兩個(gè)三角形不全等，所以欲證€B=€CAF,不能利用等腰三角形或全等三角形的性質(zhì).那么注意到EF垂直平分AD，可得FA=FD，因此€FAD=€ADF，又因?yàn)閫CAF=€FAD—ZCAD，€B=€ADF，€BAD，而€CAD=€BAD，所以可證明€CAF=€B.證明：TEF垂直平分AD（已知），???FA=FD（線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段的兩端點(diǎn)的距離相等）.???€FAD=€ADF（等邊對(duì)等角）J€B=€ADF，€BAD（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），€CAF二€FAD—€CAD，又€BAD=ZCAD（角平分線定義），???€B=€CAF說明：運(yùn)用線段的垂直平分線的定理或逆定理，能使問題簡(jiǎn)化，如本例題中，EF垂直平分AD,可以直接有結(jié)論FA二FD，不必再去證明兩個(gè)三角形全等.例4.如圖，已知直線l和點(diǎn)A,點(diǎn)B，在直線l上求作一點(diǎn)P,使PA二PB.分析：假設(shè)P點(diǎn)已經(jīng)作出，則由PA=PB，那么根據(jù)“到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上”可知，點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.而點(diǎn)P又在直線l上，則點(diǎn)P應(yīng)是AB的垂直平分線及垂線1的交點(diǎn)。作法：1.連結(jié)AB.2.作線段AB的垂直平分線，交直線1于點(diǎn)P.則P即為所求的點(diǎn).說明：在求作一個(gè)點(diǎn)時(shí)，要考慮該點(diǎn)