8.3正態分布曲線1.兩點分布：3.超幾何分布：2.二項分布：一、復習回顧：你是否認識它？二、創設情境：圖中每一黑點表示釘在板上的一顆釘子，它們彼此的距離均相等，上一層的每一顆的水平位置恰好位于下一層的兩顆正中間。從入口處放進一個直徑略小于兩顆釘子之間的距離的小圓玻璃球，當小圓球向下降落過程中，碰到釘子后皆以1/2的概率向左或向右滾下，于是又碰到下一層釘子。如此繼續下去，直到滾到底板的一個格子內為止。把許許多多同樣大小的小球不斷從入口處放下，只要球的數目相當大，它們在底板將堆成近似于正態的密度函數圖形（即：中間高，兩頭低，呈左右對稱的古鐘型），其中n為釘子的層數。這是英國生物統計學家高爾頓設計的用來研究隨機現象的模型，稱為高爾頓釘板（或高爾頓板）。三、探究思考：1、我們也來玩一玩思考：

隨著試驗次數和分組數的增多，頻率直方圖的形狀會呈現什么樣的變化？結論在上面游戲中得到的總體密度曲線就是或近似地是以下函數的圖象：1、正態曲線的定義：函數式中的實數μ、σ(σ>0)是參數，分別表示總體的平均數與標準差，稱P（x）的圖象稱為正態曲線四、定義：思考：

2、上面的表達式有什么特點？3、回憶一下前面學習必修1時我們學習函數，可以從哪些方面研究它？答：定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性等012-1-2x-33X=μσ正態曲線歸納、總結：012-1-2x-33X=μσ正態曲線（１）曲線位于x軸上方,與x軸不相交；（２）曲線是單峰的,它關于對稱；（３）曲線在處達到峰值；（４）曲線與ｘ軸之間的面積為1；x,x（２）曲線是單峰的,它關于對稱；（３）曲線在處達到峰值；（４）曲線與ｘ軸之間的面積為1；歸納、總結：（1）思考：式子中有兩個變化的參數，我們可以看成兩個變量，但是雙變量會對我們的研究造成一定的困難，同學們有什么好的辦法嗎？針對解析式中含有兩個參數，較難獨立分析參數對曲線的影響，這里通過固定一個參數，討論另一個參數對圖象的影響，這樣的處理大大降低了難度2、觀察、歸納、總結：σ＝0.5σ＝1σ＝2Oｘμ

=-1μ

＝0μ

＝1Oｘ1、當σ一定時，曲線隨μ的變化而沿x軸平移；2、當μ一定時，σ影響了曲線的形狀．即：σ越小，則曲線越瘦高，表示總體分布越集中；σ越大，則曲線越矮胖，表示總體分布越分散．結論：xy0

ab五、正態分布：則稱X

的分布為正態分布.

正態分布由參數m、s唯一確定,m、s分別表示總體的平均數與標準差.正態分布記作N（m，s2）.其圖象稱為正態曲線.如果對于任何實數a<b,隨機變量X滿足:記作：X~N(m,s2)。（EX=mDX=s）2、定義：3、標準正態分布：六、3σ原則對于正態分布，隨機變量X在μ的附近取值的概率較大，在離μ很遠處取值的概率較小：七、有關正態分布的隨機變量的有關概率計算：知識點1：標準正態分布的隨機變量的有關概率可以通過查表（見附錄1：標準正態分布表）1．正態分布密度函數及正態曲線完全由變量μ和σ確定．參數μ是反映隨機變量取值的平均水平的特征數，可以用樣本的均值去估計；σ是衡量隨機變量總體波動大小的特征數，可以用樣本的標準差去估計．

2．對于正態曲線的性質，應結合正態曲線的特點去理解、記憶．

[例1]

如圖所示是一個正態曲線，試根據該圖象寫出其正態分布的概率密度函數的解析式，求出總體隨機變量的期望和方差．[思路點撥]給出了一個正態曲線，就給出了該曲線的對稱軸和最大值，從而就能求出總體隨機變量的期望、標準差及解析式．[一點通]利用正態曲線的性質可以求參數μ，σ，具體方法如下：

(1)正態曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱，由此性質結合圖象求μ.(2)正態曲線在x＝μ處達到峰值，由此性質結合圖象可求σ.答案：B解析：由σ的意義可知，圖象越瘦高，數據越集中，σ2越小，故有σ1>σ2>σ3.答案：A[例2]在某項測量中，測量結果服從正態分布N(1,4)，求正態總體X在(－1,1)內取值的概率．

[思路點撥]

解答本題可先求出X在(－1,3)內取值的概率，然后由正態曲線關于x＝1對稱知，X在(－1,1)內取值的概率就等于在(－1,3)內取值的概率的一半．[一點通]

解答此類問題的關鍵在于充分利用正態曲線的對稱性，把待求區間內的概率向已知區間內的概率進行轉化，在此過程中注意數形結合思想的運用．3．若隨機變量X～N(μ，σ2)，則P(X≤μ)＝________.4．設隨機變量X服從正態分布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，則c＝________.答案：25．若X～N(5,1)，求P(5<X<7)．[例3]

(10分)據調查統計，某市高二學生中男生的身高X(單位：cm)服從正態分布N(174,9)．若該市共有高二男生3000人，試估計該市高二男生身高在(174,180)范圍內的人數．

[思路點撥]因為μ＝174，σ＝3，所以可利用正態分布的性質可以求解．[精解詳析]因為身高X～N(174,9)，所以μ＝174，σ＝3，

(2分)所以μ－2σ＝174－2×3＝168，μ＋2σ＝174＋2×3＝180，所以身高在(168,180]范圍內的概率為0.9544.(6分)又因為μ＝174.所以身高在(168,174)和(174,180)范圍內的概率相等，均為0.4772，故該市高二男生身高在(174,180)范圍內的人數是3000×0.4772≈1432(人)．

(10分)[一點通]

解決此類問題一定要靈活把握3σ原則，將所求概率向P(μ－σ<X<μ＋σ)，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)進行轉化，然后利用特定值求出相應的概率．同時要充分利用好曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1這一特殊性質．1、已知X~N(0,1)，則X在區間內取值的概率

A、0.9544B、0.0456C、0.9772D、0.02282、設離散型隨機變量X~N(0,1),則=

,=

.D0.50.95443、若已知正態總體落在區間的概率為0.5，則相應的正態曲線在x=

時達到最高點。0.34、已知正態總體的數據落在（-3,-1）里的概率和落在（3,5）里的概率相等，那么這個正態總體的數學期望是

。1

練一練：因為P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9974，所以正態總體X幾乎總取值于區間(μ－3σ，μ＋3σ)之內，而在此區間以外取值的概率只有0.0026，這是一個小概率事件，通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發生．這是統計中常用的假設檢驗基本思想．1．正態曲線態變量概率密度曲線的函數表達式為f(x)＝e

，x∈R，其中參數μ為正態分布變量的

，μ∈(

)；σ為正態分布變量的

,σ∈

．正態變量的概率密度函數(即f(x))的

叫做正態曲線．期望為μ，標準差為σ的正態分布通常記作

，μ＝0，σ＝1的正態分布叫

．數學期望－∞，＋∞標準差(0，＋∞)圖象N(μ，σ2)標準正態分布2．正態曲線的性質

(1)曲線在x軸的

，并且關于直線

對稱；

(2)曲線在

時處于最高點，并由此處向左右兩邊延伸時，曲線逐漸

，呈現“

”的形狀；

(3)曲線的形狀由參數σ確定，σ越

，曲線“矮胖”；σ越

，曲線越“高瘦”．上方x＝μx＝μ降低中間高，兩邊低大小3．正態分布的3σ原則

P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.3%；

P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝

；

P(μ－3σ＜X＜μ＋2σ)＝

.正態變量的取值幾乎都在距x＝μ三倍標準差之內，這就是正態分布的3σ原則．95.4%99.7%歸納小結