導數的預備知識

——極限與平均變化率教學目標

了解函數的極限和平均變化率教學重點：函數的平均變化率無論x+或x-

一、函數的極限

一、函數的極限x110100100010000100000···y10.10.010.0010.00010.00001···考察函數當x無限增大時的變化趨勢．yxO當自變量x取正值并無限增大時，函數的值無限趨近于0，即|y-0|可以變得任意小．當x趨向于正無窮大時，函數的極限是0，記作函數的極限yxO當x趨向于負無窮大時，函數的極限是0，記作函數的極限就說當x趨向于正無窮大時，函數的極限是a，記作一般地，當自變量x取正值并且無限增大時，如果函數無限趨近于一個常數a，也可記作:當當就說當x趨向于負無窮大時，函數的極限是a，記作當自變量x取負值并且絕對值無限增大時，如果函數無限趨近于一個常數a，也可記作:函數的極限如果那就是說當x趨向于也可記作:當無窮大時，函數的極限是a，記作對于常數函數也有函數的極限x取正值并且無限增大無限趨近于常數a

極限表示

值的變化趨勢

自變量x的變化趨勢

x取負值并且絕對值無限增大無限趨近于常數a

x取正值并且無限增大，x取負值并且絕對值無限增大無限趨近于常數a

函數的極限例1、分別就自變量x趨向于的情況，討論下列函數的變化趨勢：（1）解：當時，無限趨近于0，即當時，趨近于函數的極限（2）解：當時，的值保持為1．即當時，的值保持為-1，即研究某個變量相對于另一個變量變化導數研究的問題的快慢程度．變化率問題

二、

平均變化率變化率問題問題1氣球膨脹率

我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程,可以發現,隨著氣球內空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數學角度,如何描述這種現象呢?氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數關系是如果將半徑r表示為體積V的函數,那么

二、

平均變化率我們來分

析一下:當V從0增加到1時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為當V從1增加到2時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為顯然0.62>0.16問題1氣球膨脹率我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程,可以發現,隨著氣球內空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數學角度,如何描述這種現象呢?思考?當空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少?

二、

平均變化率問題2高臺跳水在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時間t（單位：秒）存在函數關系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.

如何用運動員在某些時間段內的平均速度粗略地描述其運動狀態?請計算hto請計算htoh(t)=-4.9t2+6.5t+10平均變化率定義:若設Δx=x2-x1,Δf=f(x2)-f(x1)

則平均變化率為這里Δx看作是對于x1的一個“增量”可用x1+Δx代替x2同樣Δf=Δy==f(x2)-f(x1)上述問題中的變化率可用式子表示稱為函數f(x)從x1到x2的平均變化率思考?觀察函數f(x)的圖象平均變化率表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y直線AB的斜率PQoxyy=f(x)割線切線T三、平均變化率的極限的幾何意義:

我們發現,當點Q沿著曲線無限接近點P即Δx→0時,割線PQ如果有一個極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點P處的切線.設切線的傾斜角為α,那么當Δx→0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜率.即:這個概念:①提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法;②切線斜率的本質——函數在x=x0處的導數.要注意,曲線在某點處的切線:1)與該點的位置有關;要根據割線是否有極限位置來判斷與求解.如有極限,則在此點有切線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點處無切線;3)曲線的切線,并不一定與曲線只有一個交點,可以有多個,甚至可以無窮多個.PQoxyy=f(x)割線切線T練習：2.物體按照s(t)=3t2+t+4的規律作直線運動,求在4s附近的平均變化率.A3:求曲線y=f(x)=x2+1在點P(1,2)處的切線方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此,切線方程為y-2=2(x-1),即y=2x.求曲線在某點處的切線方程的基本步驟:①