4/3/2004有限元分析及應用

FiniteElementAnalysisandApplication

4/3/2004緒論

一般問題的數學描述數值方法的求解分類有限元法的基本思想有限元計算的主要步驟有限元法的應用有限元法的力學基礎

材料力學與彈性力學的比較彈性力學的基本方程虛功原理及最小勢能原理連續彈性體的有限元法

平面問題的有限元法空間問題的有限元法軸對稱問題的有限元法薄板彎曲問題的有限元法離散結構的有限元法

桿梁結構的有限元法等參單元與數值積分結構動力學問題的有限元法溫度場的有限元法有限元建模的若干問題

有限元建模的一般步驟有限元建模的基本原則幾何模型的簡化處理物理問題的等效處理單元類型選擇與常見單元網格布局與劃分模型檢查與處理有限元結果分析及可視化

有限元計算結果分類有限元結果分析有限元結果的可視化常用有限元分析系統簡介

有限元分析系統的基本組成有限元分析系統的基本功能常見商業化有限元分析系統有限元分析及應用4/3/2004本章內容1-1工程和科學中典型問題1-2場問題的一般描述1-3場問題的求解策略及求解方法比較1-4有限元法基本思想1-5有限元法的基本步驟1-6有限單元法的發展1-7有限單元法的基本內容1-8有限單元法的應用1-9有限元法的幾個熱點問題4/3/20041-1工程和科學中典型問題

在工程技術領域內，經常會遇到兩類典型的問題。第一類問題，可以歸結為有限個已知單元體的組合。例如，材料力學中的連續梁、建筑結構框架和桁架結構。把這類問題稱為離散系統。如左圖所示平面桁架結構，是由6個承受軸向力的“桿單元”組成。盡管離散系統是可解的，但是求解右圖這類復雜的離散系統，要依靠計算機技術。

中華和鐘4/3/20041-1工程和科學中典型問題

第二類問題，通?？梢越⑺鼈儜裱幕痉匠蹋次⒎址匠毯拖鄳倪吔鐥l件。例如彈性力學問題，熱傳導問題，電磁場問題等。由于建立基本方程所研究的對象通常是無限小的單元，這類問題稱為連續系統，或場問題。

盡管已經建立了連續系統的基本方程，由于邊界條件的限制，通常只能得到少數簡單問題的精確解答。對于許多實際的工程問題，還無法給出精確的解答，例如圖示V6引擎在工作中的溫度分布。為解決這個困難，工程師們和數學家們提出了許多近似方法。4/3/20041-2場問題的一般描述

---微分方程+邊界條件1)應力場----彈性力學2)溫度場----熱傳導3)電磁場----電磁學4)流速場----流體力學A、B----微分算子（如對坐標或時間的微分）u----未知場函數，可為標量場（如溫度），也可為矢量場（如位移、應變、應力等）

嚴格講，都屬張量場；4/3/2004基本方程：邊界條件：實例：二維熱傳導（穩態）問題原理：從兩個方向傳入微元體的熱量與微元體內熱源產生的熱量Q平衡4/3/20041-3場問題的求解策略及方法一、求解策略：1、直接法：求解基本方程和相應定解條件的解；2、間接法：基于變分原理，構造基本方程及相應定解條件的泛函形式，通過求解泛函的極值來獲得原問題的近似解。即將微分形式轉化與其等價的泛函變分的積分形式；二、求解方法：1、解析或半解析法：2、數值法：

A）基于直接法的數值法，如差分法；

B）基于間接法的數值法，如等效積分法（如里茲法）、有限元法等

4/3/2004數值計算方法分類特點優缺點差分法均勻離散求解域；差分代替微分；解代數方程組要求規則邊界，幾何形狀復雜時精度低等效積分法（加權余量法或泛函變分法）整體場函數用近似函數代替；（近似函數常為含n個待定系數的多項式，）微分方程及定解條件的等效積分轉化為某個泛函的變分，--求極值問題，（利用極值條件建立n個代數方程），解代數方程組適合簡單問題，復雜問題很難解決有限元法可非均勻離散求解域；分片連續函數近似整體未知場函數；解線性方程組。有限元法的數學基礎仍是變分法（同上）。節點可任意配置，邊界適應性好；適應任意支撐條件和載荷；計算精度與網格疏密和單元形態有關，精度可控。對裂縫和無限域的分析存在不足4/3/20041-4有限元法基本思想先將求解域離散為有限個單元，單元與單元只在節點相互連接；----即原始連續求解域用有限個單元的集合近似代替對每個單元選擇一個簡單的場函數近似表示真實場函數在其上的分布規律，該簡單函數可由單元節點上物理量來表示----通常稱為插值函數或位移函數基于問題的基本方程，建立單元節點的平衡方程（即單元剛度方程）借助于矩陣表示，把所有單元的剛度方程組合成整體的剛度方程，這是一組以節點物理量為未知量的線形方程組，引入邊界條件求解該方程組即可。4/3/20041-4有限元法基本思想整體平衡分片近似單元平衡結構離散方程求解問題分析力學模型節點單元位移函數單剛方程總剛方程節點位移4/3/2004實例1(離散系統)結構離散節點位移向量表示：節點力向量表示：節點1沿x方向的位移、其余節點位移全為0時軸向壓力為：

4/3/2004實例1（單元分析）節點1作用于單元1上的力，在x和y方向的分量分別為：

同理，節點2作用于單元1上的力，其大小與之相等，方向相反，x和y方向的分量分別記為：注：表示第e個單元的第j個自由度產生單位位移，而其它自由度上的位移為零時，第i個自由度上所受的力。常稱其為單元的剛度系數。

4/3/2004實例1（單元分析）同理可求分別作單位位移時相應的剛度系數，考慮到節點的實際受力為和實際位移為，則據各個節點節點力平衡得：單元1節點力平衡方程單元2節點力平衡方程4/3/2004實例1（整體分析）整體分析：作用于每個節點上的節點力平衡，即結合前式推導得：4/3/2004實例1（引入約束求解）整體矩陣記為：將代入可得整體方程4/3/2004實例2（連續問題）通過材料力學求解和有限元求解進行比較 例：等截面直桿在自重作用下的拉伸圖(a)單位桿長重量為q，桿長為L，截面面積為A，彈性模數為E

4/3/2004實例2材料力學方法求解直桿拉伸：圖(b)---位移法

考慮微段dx，內力N=q(L-x)dx的伸長為

x截面上的位移：根據幾何方程求應變，物理方程求應力。這里應變

應力4/3/2004實例2（結構離散）有限單元法求解直桿拉伸：

1、離散化

2、外載荷集中到結點上，即把投影部分的重量作用在結點i上

4/3/2004實例2（單元分析）有限單元法求解直桿拉伸：

3、假設線單元上的位移為線性函數

4/3/2004實例2（單元分析）有限單元法求解直桿拉伸：

4、以i結點為對象，列力的平衡方程令將位移和內力的關系代入得

用結點位移表示的平衡方程，其中i=1，2，…n有n個方程未知數也有n個，解方程組，得出結點位移，進而計算應力

4/3/2004實例2（整體分析與求解）有限單元法求解直桿拉伸：

假設線單元數為3個的情況，平衡方程有3個：i=1時，i=2時,i=3時，聯立解得

與材料力學的精確解答在結點處完全相同4/3/20041-5有限元法的基本步驟所研究問題的數學建模(問題分析)結構離散單元分析

(位移函數、單剛方程)整體分析與求解

(總剛方程與求解)結果分析及后處理力學模型(平面應力問題)微分方程+邊界條件有限元模型代數方程組（基本變量節點位移）4/3/20041-6有限單元法的發展

在尋找連續系統求解方法的過程中，工程師和數學家從兩種不同的路線得到了相同的結果，即有限元法。有限元法的形成可以回顧到二十世紀50年代，來源于固體力學中矩陣結構法的發展和工程師對結構相似性的直覺判斷。從固體力學的角度來看，桁架結構等標準離散系統與人為分割成有限個分區后的連續系統在結構上存在相似性。

1956年M.J.Turner,R.W.Clough,H.C.Martin,L.J.Topp在紐約舉行的航空學會年會上介紹了一種新的計算方法，將矩陣位移法推廣到求解平面應力問題。他們把結構劃分成一個個三角形和矩形的“單元”，利用單元中近似位移函數，求得單元節點力與節點位移關系的單元剛度矩陣。

1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程雜志上發表了一組能量原理和結構分析論文。

1960年，Clough在他的名為“Thefiniteelementinplanestressanalysis”的論文中首次提出了有限元（finiteelement）這一術語。4/3/20041-6有限單元法的發展

數學家們則發展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，變分原理和加權余量法。在1963年前后，經過J.F.Besseling,R.J.Melosh,R.E.Jones,R.H.Gallaher,T.H.Pian（卞學磺）等許多人的工作，認識到有限元法就是變分原理中Ritz近似法的一種變形，發展了用各種不同變分原理導出的有限元計算公式。

1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（張佑啟）發現只要能寫成變分形式的所有場問題，都可以用與固體力學有限元法的相同步驟求解。

1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加權余量法特別是Galerkin法，導出標準的有限元過程來求解非結構問題。4/3/20041-6有限單元法的發展

我國的力學工作者為有限元方法的初期發展做出了許多貢獻，其中比較著名的有：陳伯屏（結構矩陣方法），錢令希（余能原理），錢偉長（廣義變分原理），胡海昌（廣義變分原理），馮康（有限單元法理論）。遺憾的是，從1966年開始的近十年期間，我國的研究工作受到阻礙。有限元法不僅能應用于結構分析，還能解決歸結為場問題的工程問題，從二十世紀六十年代中期以來，有限元法得到了巨大的發展，為工程設計和優化提供了有力的工具。

有限元法是一種數值計算方法。可廣泛應用于各種微分方程描述的場問題的求解。4/3/20041-7有限元法的基本內容有限元法的力學基礎是彈性力學（相對固體力學而言），而方程求解的原理是泛函極值原理，實現的方法是數值離散技術，最后的技術載體是有限元分析軟件。因此學習時，必須掌握的基本內容應包括：1、基本變量和力學方程（即彈性力學的基本概念）2、數學求解原理（即能量原理）3、離散結構和連續結構的有限元分析實現（即有限元法的基本步驟）4、有限元法的應用（即有限元法的應用領域或工程問題研究）5、各種分析建模技巧及計算結果的評判6、典型分析軟件的使用注意：會使用有限元軟件不等于掌握了有限元分析工具4/3/20041-8有限元法的應用在大力推廣CAD技術的今天，從自行車到航天飛機，所有的設計制造都離不開有限元分析計算，FEA在工程設計和分析中將得到越來越廣泛的重視。產品開發的基本流程CADCAECAM

設計修改或優化運動性能力學性能可靠性數字樣件性能分析數字加工應力變形固有頻率有限元分析4/3/2004制動器數字模型及FEA網格4/3/2004制動器性能分析4/3/2004東海大橋和杭州灣大橋用起重船亞洲第一，世界第二起重船高70米起重3000噸4/3/2004起重機和扁擔梁模型4/3/2004滾動軸承受力分布及游隙設計4/3/2004面板剛性增強設計面板剛度提高2.8倍,質量減少35%,整體厚度下降CAD模型CAE分析結構優化工藝設計后的產品4/3/2004壓力容器增強剛度設計4/3/2004壓力容器增強剛度設計最大變形:7.54mm最大變形:10.8mm最大變形:13.9mm注意:只憑經驗增加加強筋并不能提高剛度

FEA-------提高產品質量的重要工具4/3/20041-9有限元法的基本概念結構離散（有限元建模）內容：1）網格劃分---即把結構按一定規則分割成有限單元

2）邊界處理---即把作用于結構邊界上約束和載荷處理為節點約束和節點載荷要求：1）離散結構必須與原始結構保形----單元的幾何特性

2）一個單元內的物理特性必須相同----單元的物理特性4/3/2004單元與節點單元：即原始結構離散后，滿足一定幾何特性和物理特性的最小結構域節點：單元與單元間的連接點。節點力：單元與單元間通過節點的相互作用力節點載荷：作用于節點上的外載。注意：1)節點是有限元法的重要概念，有限元模型中，相鄰單元的作用通過節點傳遞，而單元邊界不傳遞力，這是離散結構與實際結構的重大差別；

2）節點力與節點載荷的差別節點載荷節點力4/3/2004典型單元類型

單元類型單元圖形節點數節點自由度桿單元22梁單元23平面單元32平面四邊形42軸對稱問題32板殼單元43四面體單元