第二章數字控制器的設計2.1離散系統的信號變換2.2差分方程和傳遞函數2.3離散系統的性能指標2.1離散系統的信號變換爐窯熱電偶輸入A/D計

外 閥門 D/A機操作臺算設輸出計算機控制系統中的信號(多種信號的混合）●模擬信號：時間和幅值上都連續

●采樣信號：時間上離散，幅值上連續

●量化信號：時間上連續，幅值上離散

●數字信號：時間上和幅值上都離散一、信號的變換在計算機控制系統中，信號的變換主要由A/D和D/A轉換實現。由傳感器采集的模擬量經過放大、濾波等處理送到A/D轉換器轉換為數字量。計算機輸出的控制量是數字量，需經D/A轉換器轉換為模擬量，控制執行器的執行。

A/D轉換：分為采樣保持、量化和編碼等步驟。模擬信號S/H量化 編碼 數字信號

（一）采樣保持

1、采樣：將連續信號變換成脈沖序列的過程 y(t)y(kt)

脈沖采樣器：當連續信號經脈沖采樣器采樣，輸出系列的脈沖序列：

式中為單位脈沖函數K不能用數學公式描述（1）令：=

則：y*(t)=y(t)

=y(t)

=

上述采樣過程可視為y(t)對脈沖序列的調制過程。y(t) y*(t)脈沖幅值調制y(t)δT(t)y*(t)（2）式(1)(2)稱采樣信號的時域表達式。

2、采樣周期的確定

根據Shannon定理，ω≧2ωmax

。理論計算采樣周期太繁瑣，工程上大都采用經驗采樣周期。

控制量 流量 壓力液位濕度成分采樣周期（秒）1-23-56-810-1515-203、信號的保持采樣信號僅在采樣時刻有輸出值，在兩次采樣的中間時刻信號需要保持。保持器根據兩次采樣的之間的信號用常數、線性函數和拋物線等進行逼近。保持器分為零階、一階和高階。

h0(t)y(t)

（1）零階保持器h0(t)

將當前時刻的采樣值Y(KT）保持到下一個采樣時刻,形成高度為Y(KT)、寬度為T的矩形。

h0(t)可分解為兩個函數之差：

h0(t)=u(t)–u(t-T)

經拉氏變換零階保持器的傳 遞函數為

H0(S)=

u(t)u(t-T)當采樣間隔足夠小，零階保持器復現原信號的效果相當好。零階保持器具有低通和相位滯后的特性（2）一階保持器用線性函數逼近兩次采樣的之間的信號為一階保持器。可推導出一階保持器的傳遞函數為：

根據幅頻特性和相頻特性分析，一階保持器相位滯后大、幅頻特性高，對控制系統的穩定性和動態特性不利。二階以上的保持器相當復雜并且不容易實現，故很少采用。

（二）量化將采樣時刻的信號按最小量化單位取整，稱為量化。

（三）編碼將量化后的信號變換為二進制碼形式，即數字量。編碼只是將量化后的信號轉化為數字量，屬于無誤差的等效轉化，編碼后的數字量可由計算機識別并處理。

D/A轉換

D/A轉換是將數字信號轉換為時間連續的模擬信號，分為解碼和保持2個步驟。

解碼：數字信號→模擬脈沖信號保持：使模擬脈沖信號在時間上連續，當T很小時，近似為模擬量。數字信號解碼保持模擬信號（四）計算機控制系統中信號形式的分類K量化編碼CPU解碼保持檢測 被控對象將上述過程匯總，計算機控制系統可歸納為上圖形式。系統中各點的信號如P14圖2-7所示。

實際應用時按下面要求簡化上述系統：

A/D和D/A中，主要是采樣、量化和保持。編碼和解碼在合理時刻看成無誤差等效變換，可略去。量化中，當量化單位很小時，誤差小，對系統影響小，可不考慮。保持會影響系統的傳遞函數，必須考慮。

二、Z變換Z變換是分析離散系統的重要工具，在離散系統中由Z變換導出Z傳遞函數、再分析線性離散系統的特性。（一）Z變換定義由采樣信號的時域表達式：

y*(t)= 對上式進行拉氏變換

L[y*(t)]=Y*(S)=

= =

設：上述過程可記為:Y(Z)=Z[y(kt)]

=（二）S平面與Z平面的映射關系1、S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上，S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內。2、S平面的原點映射到Z平面的單位圓Z=1點，S平面的無窮大映射到Z平面的單位圓Z=-1點，映射是唯一的。3、Z平面的映射到S平面時為多值變換，即Z平面的一個點映射到S平面有無窮多個數值對應。運用時通常取主頻帶。 (三)常用函數的Z變換

f(t) F(s) F(z)

δ(t) 111(t) tt2/2

(三)常用函數的Z變換f(t) F(s) F(z)

（四）Z反變換已知Y(Z)求Y(KT)稱Z反變換,記為:Y(KT)=Z–1[Y(Z)]

在離散系統中Y(Z)經Z反變換求得的Y(KT)僅是連續時間函數在各采樣時刻的值。反變換方法有：長除法，部分分式法，留數計算法。

1、長除法 適用于Y(Z)無理式,用分子直接除以分母,得到Z的降冪級數由Z變換定義比較上面兩式可得:y(0)=y0，y(T)=y1，…，y(kT)=yk，…由此推出采樣函數

f(t)=y0+y1δ(t-T)+…+ykδ(t-kT)+…優點:可方便的用計算機編程來實現,但得不到f(kt)的通式。

2、部分分式法 適用于Y(Z)為有理式查Z反變換表可得到Y(KT)（1）無重根例1：已知 ，求Z反變換法一：解出A=-1，B=1查Z變換表：法二：（2）有重根例2：已知，求Z反變換 求出：A=1，B=-1，C=1

得到 查表對上述各分式進行Z反變換得到y(KT)=2K-1+K法一：法2：重根中低次項的處理：

3、留數法當上述兩種方法都不適用時可采用此方法。留數計算法又稱Z反變換的公式法，無理式和有理式都適用。

其中Γ為包圍原點和被積式全部極點的封閉曲線,根據留數定理可表示為:式中n為極點數，Pi為I個極點，Res表示留數。不同極點的留數算法

有單極點

例：，求解：由題可知

有m階重極點和其它單極點例；求的Z反變換解：

3.2差分方程和傳遞函數

一、差分方程線性離散系統的輸入和輸出間的關系可用線性常系數差分方程描述。

y(KT)=（一）差分方程可以從微分方程近似推出,方法是:1、用Y(KT),R(KT)代替Y(t)和R(t)2、用差分代替微分（二）差分方程的解法線性離散系統差分方程的解法：迭代法、古典法、Z變換法

1、迭代法已知差分方程和輸入序列、輸入序列的初始值，可用迭代法逐步計算出輸出序列。迭代法用計算機實現容易，但不能得到輸出的解析式。

2、古典法與微分方程類似，差分方程的解也分為齊次方程的通解和非齊次方程的特解兩部分，可按照求解微分方程的方式求出。

3、Z變換法在離散系統中用Z變換法求解差分方程，使求解運算變為代數運算，可簡化系統的分析。用Z變換法求解差分方程的步驟：1、對差分方程作Z變換法（用Z變換的超前和滯后定理）2、利用初始條件求出y(0),y(T),…代入Z變換式3、求出：4、Z反變換法，求出差分方程的解Y（KT）例：求解差分方程y(KT-2T)-5y(KT-T)+6y(KT)=r(KT),若已知系統輸入r(KT)=1K≧0,初始條件為0解：對差分方程作Z變換

Z[r(KT)]=1/(1－Z-1)整理后

寫成分部形式,求出待定系數：A=1/2B=1C=－1/2

Z反變換:

練習1：1、用部分分式法求Y(Z)的反變換。（1）已知 ，a為常數（2）已知：2、求解差分方程：y(k+2)+3y(k+1)+2y(k)=0，初始條件為：y(0)=0，y(1)=1

二、Z傳遞函數（脈沖傳遞函數）

1、Z傳遞函數定義

G(Z)=Z[Y(KT)]/Z[r(KT)]=Y(Z)/R(Z)R(Z)是輸入信號r(t)采樣后r(KT)的Z變換,Y(Z)是系統輸出y(t)采樣后Y(KT)的Z變換。離散系統的Z傳遞函數反映了系統的固有特性,它僅取決于描述離散系統的差分方程。若已知R(Z)和G(Z)，系統的輸出脈沖序列:

2、Z傳遞函數的求法（1）可由連續系統的傳遞函數G(S)求G(Z)●求G(S)的拉氏反變換得到h(t)=L-1[G(S)]●Y按選定的周期T對h(t)采樣，得到單位脈沖響應序列h(KT)●G(Z)=Z[h(KT)]

例：連續環節G(S)=K0/(S+a)，求G(Z)

解：h(t)=L-1Y[G(Z)]=K0e-ath(KT)=K0e-aKT

G(Z)=K0Z/(Z－e-aT)（2）由差分方程求Z傳遞函數已知系統的差分方程：

y(KT)+a1y(KT-T)+…any(KT-nT) =b0r(KT)+b1r(KT-T)+…+bmr(KT-mT)在初始條件為零時對上式作Ｚ變換，得到：

y(Ｚ)+a1Z-1Y(Ｚ)+…anZ-nY(Z) =b0R(Z)+b1Z-1R(Z)+…+bmZ-mR(Z)

求出G(Z)=Y(Z)/R(Z) =(b0+b1Z-1+…+bmZ-m)/(1+a1Z-1…+anZ-n)

3、開環的Z傳遞函數開環系統中有串聯、并聯和帶保持器三種（1）串聯

●有采樣開關隔開G(Z)=G1(Z)G2(Z)

系統的Z傳遞函數為兩個環節的傳遞函數的乘積●無采樣開關隔開G(Z)=Z[G1(S)G2(S)]

系統的Z傳遞函數為兩個環節的乘積的Z變換（2）并聯G(Z)=Z[G1(Z)+G2(Z)]=G1(Z)+G2(Z)

系統的Z傳遞函數為兩個環節的傳遞函數的和（3）帶有零階保持器例:帶有零階保持器的系統,若G(S)=a/(S+a)，傳遞函數解:

4、閉環Z傳遞函數GC(Z)和誤差的傳遞函數Ge(Z)○×r(t)R(Z)E(Z) T Y(Z) D(Z)H0(S)G(S)y(t)

T

T

THG(Z)如圖：D(Z)為數字控制器,HG(Z)為帶有零階保持器Z傳遞函數，R(Z)輸入的Z變換，Y(Z)為輸出的Z變換，E(Z)為誤差的Z變換，U(Z)為控制量的Z變換。求閉環Z傳遞函數GC(Z)

的步驟如下：（1）求帶有零階保持器連續對象的Z傳遞函數HG(Z)（2）寫出前向通道上Y(Z)與E(Z)的關系式

Y(Z)=D(Z)·HG(Z)·E(Z)（3）寫出閉環回路中E(Z)和R(Z)的關系式

E(Z)=R(Z)-Y(Z)=R(Z)-D(Z)HG(Z)E(Z)

誤差的傳遞函數

Ge(z)=E(Z)/R(Z)=（4）閉環傳遞函數Gc(Z)

得到：求得閉環傳遞函數Gc(Z)

閉環傳遞函數Gc(Z)與誤差的傳遞函數Ge(z)的關系：得到：幾種典型閉環采樣系統的結構和傳遞關系G(Z)G(Z)G1(Z)G1(Z)G1(Z)F(Z)F(Z)G2(Z)F(Z)G2(Z)F(Z)G2(Z)F(Z)R(Z) Y(Z)R(Z) Y(Z)

2.3線性離散系統的性能指標

線性離散控制系統的性能可用動態特性、穩定性、誤差特性和能控性、能觀測性等指標來衡量。

一、動態特性

1、時域分析法已知閉環系統的Z傳遞函數GC(Z)和輸入的Z變換R(Z)，則用Z反變換可求出輸出響應的采樣值Y(KT)。畫出時域中的輸出響應圖形后可直觀的分析其超調量、調節時間、峰值時間、震蕩次數和衰減比等。例：求下圖所示系統的Z傳遞函數及單位階躍響應，設采樣周期T=1S。求廣義被控對象Z傳遞函數（2）求閉環Z傳遞函數（3）求輸出的Z變換，由題知（4）求單位階躍響應采樣值

可畫出輸出序列的過渡曲線圖(略）。由圖可看出，超調量約為40%，過渡過程時間約為15秒，穩態誤差為0。在離散系統中采樣周期和零階保持器對系統有較大的影響，當采樣周期T較大時，零階保持器會產生相位滯后，從而降低了穩定程度，增大了超調量。

2、根軌跡分析法已知系統的開環零、極點的位置，以開環系統的根軌跡增益或其它參數為變量，求出閉環極點的分布。

3、頻域特性分析法采用伯特圖（對數坐標圖）或奈奎斯特圖（極坐標圖）在頻域中對系統進行特性分析，由于用計算機繪制上述圖形，非常方便，所以得到廣泛應用。現都采用MATLAB軟件，在計算機繪制根軌跡圖和伯特圖（對數坐標圖）或奈奎斯特圖（極坐標圖）

，直觀并且便捷。

二、系統的穩定性系統在給定輸入或外界干擾作用下其過渡過程分為以下4類：發散震蕩、等幅震蕩、衰減震蕩和非周期衰減；控制系統必須滿足衰減震蕩和非周期衰減，才是穩定的。判斷系統的穩定性有以下方法：（1）Z平面中，極點必須在單位圓內系統才穩定。（2）Juli穩定判據根據特征方程構造Juli陣列進行穩定性判別。（3）Routh穩定判據先進行Z-W變換，根據特征方程構造Routh行列表，再對系統的穩定性進行判別。（一）Z平面中極點對系統的影響

1、實軸上的極點

2、脈沖傳遞函數的極點為一對共軛復根ABCDEFRe

ImA：B：C：D：E：F：3、趨勢分析看出當極點越靠近原點，收斂越快；極點的幅角越大，震蕩頻率越高。A CA1 C1BB1A-A1：B-B1：C-C1：

（二）勞斯判據在連續系統中判斷特征方程（多項式）的根是否在S域的左平面，即可知系統是否穩定。對離散系統：由于得到的不是S多項式，不能用直接用勞斯判據，為解決上述問題，引入雙線性變換。

1、雙線性變換

其中

（1）若σ＜0，分子<分母，左半平面→Z單位圓內（2）若σ=0，分子=分母虛軸→Z單位圓上（3）若σ＞0，分子>分母右半平面→Z單位圓外

2、勞斯穩定判據在離散系統中的應用若已知離散系統的特征方程用雙線性變換

代入展開化簡，其中T為采樣周期，b0、b1、…，bn為常數例1：已知離散系統的特征方程采樣周期T=1s，用勞斯判據確定系統的穩定性。解：雙線性變換，化簡后代入T

勞斯判據

S平面右半部有2個極點，映射到Z平面單位圓外系統不穩定。

例2

離散系統如圖，采樣周期T=1s，確定系統穩定時的增益k。解：

閉環傳遞函數特征方程：雙線性變換T帶入勞斯判據系統若穩定，勞斯表中第一列各元素均為正。得到系統增益：0＜K＜2.39

三、離散系統的誤差誤差特性是自動控制系統的重要性能指標。控制系統在輸入信號作用下，時間響應的瞬態分量可以反映系統的動態特性，對于一個穩定的系統，當過渡過程結束，輸出將趨于一個穩態值，即穩態分量。由于系統的結構和參數不同，輸入信號不同，同時由外界干擾的作用，會使系統的穩態值偏離輸入值，產生誤差。穩態誤差反映系統的精度和抗干擾能力。1、系統的結構、參數和輸入形式與誤差的關系

設系統的結構如圖所示，它的誤差Z變換為

是由輸入引起的誤差Z傳遞函數用長除法將E(Z)分解

其中的系數為時刻的誤差采樣值，可以分析系統在某種輸入形式時動態特性。可看到，系統的誤差與系統的結構，環節的參數和系統的輸入形式有關。穩定誤差是系統穩態性能的重要指標，用于衡量控制系統精度。穩定誤差定義為： 由終值定理，對單位反饋離散系統

連續系統中系統的穩定誤差取決與開環傳遞函數G0(S)的形式，若系統的開環傳遞函數為：式中q為開環系統在S平面坐標原點上的重極點數，對穩定誤差有重要影響，q=0、1、2時系統稱為0、I、II型。