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第八章第七節一、方向導數

機動目錄上頁下頁返回結束二、梯度三、物理意義方向導數與梯度實例：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐標原點處有一個火焰，它使金屬板受熱．假定板上任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反比．在(3,2)處有一個螞蟻，問這只螞蟻應沿什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？問題的實質：應沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行,沿不同方向金屬板溫度變化的快慢怎么衡量？一、問題的提出1.方向導數的定義

設有二元函數沿任何方向的變化率．

考慮函數在某點射線是指有方向的半直線,即二、方向導數概念與計算公式定義如果極限存在,則將這個極限值稱為函數在點記為即注方向導數是函數沿半直線方向的變化率.2.方向導數的幾何意義的幾何意義為曲面,當限制自變量沿方向變化時,對應的空間點形成過的鉛垂平面與曲面的交線,這條交線在點M有一條記此半切線與方向的夾角為則由方向導數的半切線,定義得ρ一定為正!是函數在某點沿任何方向的變化率.方向導數偏導數

分別是函數在某點沿平行于坐標軸的直線Δx、Δy可正可負！的變化率.注事實上,的方向導數存在,事實上,同理,的方向導數存在,存在時,????問:反之,存在時,是否一定存在?例如,函數沿方向的方向導數但不存在.即z在(0,0)點的偏導數不存在.證由于函數可微,得到3.關于方向導數的存在及計算公式

充分條件定理可微,則函數且則增量可表示為兩邊同除以故有方向導數注即為(1)(2)計算方向導數只需知道l的方向及函數的偏導數.在定點的方向導數為(3)(4)關系方向導數存在偏導數存在可微解解由方向導數的計算公式知故推廣可得三元函數方向導數的定義解令故方向余弦為故三、梯度的概念結論在幾何上表示一個曲面曲面被平面所截得所得曲線在xoy面上投影如圖等高線梯度為等高線上的法向量等高線概念等高線的畫法播放梯度與等高線的關系：類似于二元函數，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向導數的方向一致，其模為方向導數的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數解由梯度計算公式得故1、方向導數的概念2、梯度的概念3、方向導數與梯度的關系（注意方向導數與一般所說偏導數的區別）（注意梯度是一個向量）四、小結思考題思考題解答練習題練習題答案

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