專題訓練（三）平行四邊形中的動態問題班別 姓名 （教材P68習題第13題的變式與應用）【原題】（人教版八年級下冊教材第68頁第13題）如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm.

點P從點A出發，以1cm/s的速度向點D運動；點Q從點C同時出發，以3cm/s的速針對訓練如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC，AD=6,BC=16，點E是BC的中點.點P以每秒1個單位長度的速度從點A出發，沿AD向點D運動；點Q同時以每秒2個單位長度的速度從點C出發，沿CB向點B運動.點P停止運動時，點Q也隨之停止運動.求當運動時間t為多少秒時，以點P、Q、E、D為頂點的四邊形是平行四邊形.DABDAB如圖，A,B,C,D為矩形ABCD的四個頂點，AB=25cm,AD=8cm,動點P,Q分別從點AC同時出發，點P以3cm/s的速度向點B移動，運動到點B為止，點Q以2cm/s的速度向點D移動.P,Q兩點從出發開始到第幾秒時,PQ〃AD?試問：P,Q兩點從出發開始到第幾秒時，四邊形PBCQ的面積為84平方厘米.如圖，平行四邊形ABCD中，AC=6,BD=8,點P從點A出發以每秒1cm的速度沿射線AC移動，點Q從點C出發以每秒1cm的速度沿射線CA移動.經過幾秒，以P,Q,B,D為頂點的四邊形為矩形？⑵若BC丄AC垂足為C,求⑴中矩形邊BQ的長.如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,AB=8cm,AD=12cm,BC=18cm,點P從點A出發以1cm/s的速度向點D運動；點Q從點C同時出發，以2cm/s的速度向點B運動，當點Q到達點B時，點P也停止運動，設點P、Q運動的時間為t秒.⑴作DE丄BC于E,則CD邊的長度為10cm；從運動開始，當t取何值時，四邊形PQBA是矩形？在整個運動過程中是否存在t值，使得四邊形PQCD是菱形？若存在，請求出t值；若不存在，請說明理由.APfDB—APfDB—QC5.如圖，已知矩形ABCD,AD=4,CD=10,P是AB上一動點，M、N、E分別是PD、PC、CD的中點．求證：四邊形PMEN是平行四邊形；請直接寫出當AP為何值時，四邊形PMEN是菱形；(3)四邊形PMEN有可能是矩形嗎？若有可能，求出AP的.4 PB長；若不可■能，請說明理由.X0DEC參考答案【例】（人教版八年級下冊教材第68頁第13題）參考答案【例】（人教版八年級下冊教材第68頁第13題）如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm.點P從點A出發，以1cm/s的速度向點D運動；點Q從點C同時出發，以3cm/s的速14y.D為頂點的四邊形是平行四邊形.【解答】①設經過ts時，四邊形PQCD是平行四邊形,TAP=t，CQ=31，DP=24—t，?°?DP=CQ.?°?24—t=3t.???t=6,即經過6s時，四邊形PQCD是平行四邊形，此時PQ〃CD，且PQ=CD.②設經過ts時，PQ=CD，即四邊形PQCD是等腰梯形，VAP=t,BQ=26—31,??t=26—31+2,t=7.綜上所述當t=6s或7s時，PQ=CD.【方法歸納】根據動點運動過程中構造的特殊四邊形的性質列方程求解針對訓練如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,AD=6,BC=16，點E是BC的中點.點P以每秒1個單位長度的速度從點A出發，沿AD向點D運動；點Q同時以每秒2個單位長度的速度從點C出發，沿CB向點B運動.點P停止運動時，點Q也隨之停止運動.求當運動時間t為多少秒時，以點P、Q、E、D為頂點的四邊形是平行四邊形.解：由題意可知，AP=t,CQ=21,CE=|bc=8.TAD〃BC,???當PD=EQ時，以點P、Q、E、D為頂點的四邊形是平行四邊形.當2tV8,即tV4時，點Q在C、E之間，如圖甲.此時，PD=AD—AP=6—t,EQ=CE—CQ=8—21,由6—t=8—2t得t=2.當8<21<16，且t<6,即4<t<6時，點Q在B、E之間，如圖乙.此時，PD=AD—AP=6—t,EQ=CQ—CE=2t—8,由6—t=2t—8得七=14???當運動時間為2s或可s時，以點P、Q、E、3Z_D

圖甲圖乙如圖，A,B,C,D為矩形ABCD的四個頂點，AB=25cm,AD=8cm,動點P,Q分別從點AC同時出發，點P以3cm/s的速度向點B移動，運動到點B為止，點Q以2cm/s的速度向點D移動.P,Q兩點從出發開始到第幾秒時，PQ〃AD?試問：P,Q兩點從出發開始到第幾秒時，四邊形PBCQ的面積為84平方厘米.解：⑴設P,Q兩點從出發開始到第x秒時，PQ〃AD,???四邊形ABCD是平行四邊形，???AB〃CD，即AP〃DQ.?PQ〃AD,???四邊形APQD是平行四邊形.???AP=DQ.???3x=25—2x.解得x=5.答:P,Q兩點從出發開始到第5秒時，PQ〃AD.(2)設P,Q兩點從出發開始到第a秒時，四邊形PBCQ的面積為84平方厘米,?BP=25—3a,CQ=2a,???根據梯形面積公式得:2(25—3a+2a)?8=84.解得a=4.答：P,Q兩點從出發開始到第4秒時，四邊形PBCQ的面積為84平方厘米.如圖，平行四邊形ABCD中，AC=6,BD=8,點P從點A出發以每秒1cm的速度沿射線AC移動，點Q從點C出發以每秒1cm的速度沿射線CA移動.經過幾秒，以P,Q,B,D為頂點的四邊形為矩形?⑵若BC丄AC垂足為C,求⑴中矩形邊BQ的長.解：(1)當t=7秒時，四邊形BPDQ為矩形.理由如下：當t=7秒時，PA=QC=7,AC=6,???CP=AQ=1.???PQ=BD=8.BD=8,AC=6,??四邊形ABCD為平行四邊形,BD=8,AC=6,A0=C0=3.???B0=D0=4.???0Q=0P=4.???四邊形BPDQ為平形四邊形.PQ=BD=8,???四邊形BPDQ為矩形.由(1)得B0=4,CQ=7,BC丄AC,???ZBCA=90°.BC2+CQ2=BQ2.

如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,AB=8cm,AD=12cm,BC=18cm,點P從點A出發以1cm/s的速度向點D運動；點Q從點C同時出發，以2cm/s的速度向點B運動，當點Q到達點B時，點P也停止運動，設點P、Q運動的時間為t秒.作DE丄BC于E,則CD邊的長度為更cm；從運動開始，當t取何值時，四邊形PQRA是矩形？在整個運動過程中是否存在t值，使得四邊形PQCD是菱形？若存在，請求出t值；若不存在，請說明理由.APfDB—APfDB—QC解：⑵如圖1,由題意得：AP=t,DP=12—t,CQ=21,BQ=18—21.要使四邊形PQBA是矩形，已有ZB=90°,AD〃BC即AP〃BP，只需滿足AP=BQ即t=18—21,解得t=6,因此，當t=6秒時，四邊形PQBA是矩形.不存在，理由：如圖2,要使四邊形PQCD是平行四邊形，已有AD〃BC即DP〃CQ,只需滿足DP=CQ即12—t=2t,.??t=4時，四邊形PQCD是平行四邊形，但DP=12—t=8H10，即DPHDC,???按已經速度運動，四邊形PQCD只能是平行四邊形，但不可能是菱形.D4ADQ0BIS如圖，已知矩形ABCD,AD=4,CD=10,P是AB上一動點，M、N、E分別是PD、PC、CD的中點．(1)求證：四邊形PMEN是平行四邊形;請直接寫出當AP為何值時，四邊形PMEN是菱形;四邊形PMEN有可能是矩形嗎？若有可能求出AP的長；若不可能，請說明理由.解：(1)???M、N、E分別是PD、PC、CD的中點,???ME是PC的中位線，NE是PD的中位線.???ME〃PC，EN〃PD.???四邊形PMEN是平行四邊形.⑵當AP=5時，AP=BP，在RtAPAD和RtAPBC中，|ZA=ZB,Iad=bc，???△PAD竺△PBC(SAS).???PD=PC.???M、N、E分別是PD、PC、CD的中點,??.ne=pm=2pd，me=pn=￡pc.???PM=ME=EN=PN.???四邊形PMEN是菱形