第五章計算智能(1):神經計算、模糊計算

信息科學與生命科學相互交叉、相互滲透和相互促進是現代科學技術發展的一個顯著特點。生物信息學是兩者結合而形成的新的交叉科學。計算智能則是另一個有說服力的示例。計算智能涉及神經計算、模糊計算、進化計算和人工生命等領域，它的研究和發展正反映了當代科學技術多學科交叉與集成的重要發展趨勢。

人類所有發明幾乎都有它們的自然界配對物：原子能的和平利用和軍事應用與出現在星球上熱核爆炸相對應；各種電子脈沖系統則與人類神經系統的脈沖調制相似；蝙蝠的聲納和海豚的發聲起到一種神秘電話的作用，啟發人類發明了聲納傳感器和雷達；鳥類的飛行行為激發人類發明了飛機，實現空中飛行。科學家和工程師們應用數學和科學來模仿自然，擴展自然。人類智能已激勵出高級計算、學習方法和技術。

5.1概述

人類試圖通過人工方法模仿智能已有很長歷史了。從公元１世紀英雄亞歷山大里亞發明的氣動動物裝置開始，到馮·諾依曼的第一臺具有再生行為和方法的機器，再到維納的控制論，即關于動物和機器中控制與通信的研究，都是人類人工模仿智能典型例證。現代人工智能領域則力圖抓住智能本質。神經網絡歸納于人工智能可能不合適，而歸類于計算智能則更能說明問題的實質。進化計算、人工生命和模糊邏輯系統某些課題，也都歸類于計算智能。什么是計算智能、它與傳統的人工智能有何區別？

5.1概述

第一個對計算智能定義是由貝茲德克于1992年提出的。他認為，從嚴格的意義上講，計算智能取決于制造者提供的數值，而不依賴于知識；另一方面，人工智能則應用知識精品。他認為，人工神經網絡應當稱為計算神經網絡。模式識別（PR）、生物神經網絡（BNN）、人工神經網絡（ANN）、計算神經網絡（CNN）的關系：AArtficial表示人工的（非生物的），即人造的BBiological表示物理的+化學的+（？？）=生物的CCompuational表示數學+計算機

5.1概述

圖4.1ABC交互關系圖

圖4.1表示ABC及神經網絡（NN）、模式識別（PR）和智能（I）之間的關系。它是由貝茲德克于1994年提出來的。圖的中間部分共有9個節點，表示9個研究領域或科學。A、B、C三者對應于三個不同的系統復雜性級別，其復雜性自左至右及自底向上逐步提高。節點間的距離衡量領域間的差異，如CNN與CPR間的差異要比BNN與BPR間差異小得多，CI與AI的差異要比AI與BI的差異小得多。圖中，符號->意味著“適當的子集”。例如，對于中層有ANNAPR

AI，對于右列有CI

AI

BI等。在定義時，任何計算系統都是人工系統，但反命題不能成立。意味著“適當的子集”。例如，對于中層有：，對于右列有：等。在定義時，任何計算系統都是人工系統，但反命題不能成立。

5.1概述

表5-1-1

ABC及其相關領域的定義

計算智能是一種智力方式的低層認知，它與人工智能的區別只是認知層次從中層下降至低層而已。中層系統含有知識（精品），低層系統則沒有。

5.2神經計算

若一個系統只涉及數值（低層）數據，含有模式識別部分，不應用人工智能意義上的知識，而且能夠呈現出：（1）計算適應性；（2）計算容錯;（3）接近人的速度;（4）誤碼差率與人相近，則系統就是計算智能系統。若一個智能計算系統以非數值方式加上知識精品值，即成為人工智能系統。本節將首先介紹人工神經網絡（neuralnets）的由來、特性、結構、模型和算法，然后討論神經網絡的表示和推理。神經計算是以神經網絡為基礎的計算。

5.2神經計算

大量文獻從各種不同的角度來解釋生理神經網絡是如何工作的。1細胞觀點來解釋神經元;2神經傳遞器和神經突觸及其附近的活動細節;3集中研究神經元在處理和傳遞信息時是如何連接和跟蹤傳遞路徑的。4從現代工程觀點得出不同的物體具有不同的傳輸路線和頻率調制的思想。大多數想了解和復制神經網絡功能的研究人員，只能把注意力集中到神經元的少數幾個特性上。

5.2神經計算

5.2.1人工神經網絡研究的進展（P111）

5.2神經計算

5.2.2人工神經網絡的結構

神經網絡的結構是由基本處理單元及其互聯方法決定的。

1.神經元及其特性連接機制結構的基本處理單元與神經生理學類比往往稱為神經元,每個構造起網絡的神經元模型模擬一個生物神經元,該神經元單元由多個輸入xi,i=1,2,3…n和一個輸出y組成，中間狀態由輸入信號的權和表示，而輸出為：

式中，θj神經單元的偏值，Wji為連接權系數（對于激發狀態，Wji取正值，對于抑制狀態，Wji取負值），n為輸入信號數目，yj為神經元輸出，t為時間，f(_)為輸出變換函數，往往采用0和1這種二值函數或S形函數。

圖4.2神經元模型

5.2神經計算

5.2神經計算

5.2.2人工神經網絡的結構

2.人工神經網絡的基本特性和結構

人腦內含有極其龐大的神經元（有人估計約為一千幾百億個），它們互連組成神經網絡，并執行高級的問題求解智能活動。人工神經網絡由神經元模型構成，這種由許多神經元組成的信息處理網絡具有并行分布結構。每個神經元具有單一輸出，并且能夠與其他神經元連接；存在許多（多重）輸出連接方法，每種連接方法對應于一個連接權系數。嚴格地說，人工神經網絡是一種具有下列特性的有向圖：①對于每個節點i存在一個狀態變量；②從節點j至節點i，存在一個連接權系統數；③對于每個節點i，存在一個閾值；④對于每個節點i，定義一個變換函數；對于最一般的情況，此函數形式為：

5.2神經計算

5.2.2人工神經網絡的結構

2.人工神經網絡的基本特性和結構人工神經網絡的結構基本上分為兩類，即遞歸（反饋）網絡和前饋網絡，簡介如下：①遞歸網絡在遞歸網絡中，多個網絡互連以組織一個互連網絡，如圖5．4所示，有些神經元的輸出被反饋至同層或前層神經元。因此，信號能夠從正向和反向流通。Hopfield網絡、Elmman網絡和Jordan網絡是遞歸網絡有代表性的例子。遞歸網絡又叫反饋網絡。

5.2神經計算

5.2.2人工神經網絡的結構

2.人工神經網絡的基本特性和結構

在圖5．4中，vi表示節點的狀態，xi為節點的輸入（初始）值，xi’為收斂后的輸出值，I=1，2，…n。圖5．4遞歸（反饋）網絡

5.2神經計算

5.2.2人工神經網絡的結構

2.人工神經網絡的基本特性和結構

②前饋網絡P114

前饋網絡具有遞階分層結構，由一些同層神經元間不存在互連的層級組成。從輸入層至輸出層的信號通過單向連接流通；神經元從一層連接至下一層，不存在同層神經元間連接，如5.5所示。圖中，實線指明實際信號流通，虛線表示反向傳播。前饋網絡的例子有多層感知器、學習矢量量化網絡、小腦模型連接控制網絡和數據處理方法網絡。圖5.5

前饋（多層）網絡輸入層隱層輸出層

5.2神經計算

5.2.2人工神經網絡的結構

2.人工神經網絡的基本特性和結構（３）人工神經網絡的主要學習算法

神經網絡主要通過兩種學習算法進行訓練，即指導式（有師）學習算法和非指導式（無師）學習算法。此外，還存在第三種學習算法，即強化學習算法；可把它看做有師學習的一種特例。a.有師學習有師學習算法能夠根據期望的和實際的網絡輸出（對應于給定輸入）之間的差來調整神經元間連接的強度或權。因此，有師學習需要有老師或導師來提供期望或目標輸出信號。有師學習算法的例子有反向傳播算法等。

5.2神經計算

5.2.2人工神經網絡的結構

2.人工神經網絡的基本特性和結構（3）人工神經網絡的主要學習算法b.無師學習無師學習算法不需要知道期望輸出。在訓練過程中，只要向神經網絡提供輸入模式，神經網絡就能夠自動地適應連接權，以便按相似特征把輸入模式分組聚集。無師學習算法的例子有自適應諧振理論等。c.強化學習如前所述，這種算法是有師學習算法的特例。它不需要教師給出目標輸出。強化學習算法采用一個“評論員”來評價與給定輸入相對應的神經網絡輸出的優度（質量因數）。強化學習算法的一個例子是遺傳算法。

5.2神經計算

5.2.3典型人工神經網絡模型

目前，在應用和研究中采用的神經網絡模型不下30種，其中較有代表性的有以下十幾種，這些網絡中的一部分在后面章節中將詳細進行介紹，這里按字母序簡述。

5.2神經計算

5.2.3典型人工神經網絡模型

目前，在應用和研究中采用的神經網絡模型不下30種，其中較有代表性的有以下十幾種，這些網絡中的一部分在后面章節中將詳細進行介紹，這里按字母序簡述。表4.2人工神經網絡的各種模型

5.2神經計算

1、基于神經網絡的知識表示基于神經網絡系統中知識的表示方法與傳統人工智能系統中所用的方法(如產生式、框架、語義網絡等）完全不同，傳統人工智能系統中所用的方法是知識的顯式表示，而神經網絡中的知識表示是一種隱式的表示方法。在這里，知識并不像在產生式系統中那樣獨立地表示每一條規則，而是將某一問題的若干知識在同一網絡中表示。例如，在有些神經網絡系統中，知識是用神網絡所對應有向權圖的鄰接矩陣及閾值向量表示的。如對圖4.6所示的異或邏輯的神經網絡來說，其鄰接矩陣為：

圖4.6異或邏輯的神經網絡表示

5.2神經計算

5.2.4人工神經網絡的結構

1、基于神經網絡的知識表示如果用產生式規則描述，則該網絡代表下述達4條規則：

下面討論一個用于醫療診斷的例子。假設系統的診斷模型只有六種癥狀、兩種疾病、三種治療方案。對網絡訓練樣本是選擇一批合適的病人并從病歷中采集如下信息：（1）癥狀：對每一癥狀只采集有、無及沒有記錄這三種信息。（2）疾病：對每一疾病也只采集有、無及沒有記錄這三種信息。（3）治療方案：對每一治療方案只采集是否采用這兩種信息。其中，對“有”、“無”、“沒有記錄”分別用+1，-1，0表示。這樣對每一個病人就可以構成一個訓練樣本。

5.2神經計算

1、基于神經網絡的知識表示

下面討論一個用于醫療診斷的例子。假設系統的診斷模型只有六種癥狀、兩種疾病、三種治療方案。對網絡訓練樣本是選擇一批合適的病人并從病歷中采集如下信息：（1）癥狀：對每一癥狀只采集有、無及沒有記錄這三種信息。（2）疾病：對每一疾病也只采集有、無及沒有記錄這三種信息。（3）治療方案：對每一治療方案只采集是否采用這兩種信息。其中，對“有”、“無”、“沒有記錄”分別用+1，-1，0表示。這樣對每一個病人就可以構成一個訓練樣本。

5.2神經計算

5.2.4人工神經網絡的結構

1、基于神經網絡的知識表示假設根據癥狀、疾病及治療方案間的因果關系以及通過訓練本對網絡的訓練得到了如圖４.７所示的神經網絡。基中，為癥狀；為疾病名；為治療方案；是附加層，這是由于學習算法的需要而增加的。在此網絡中，是輸入層；是輸出層；兩者之間以疾病名作為中間層。

圖4.7一個醫醫療診斷系統的神經網絡模型

5.2神經計算

5.2.4人工神經網絡的結構

1、基于神經網絡的知識表示

下面對圖4.7加以進一步說明：a.這是一個帶有正負權值wij的前向網絡，wij由可構成相應的學習矩陣。當i≥j時，wij=0；當i<j且節點i與節點ｊ之間不存在連接孤時，wij也為0；其余，wij為圖中連接弧上所標出的數據。這個學習矩陣可用來表示相應的神經網絡。b.神經元取值為+1，0，-1，特性函數為一離散型的閾值函數，其計算公式為：（4.5）（4.6）

5.2神經計算

5.2.4人工神經網絡的結構

1、基于神經網絡的知識表示

其中，Xj表示節點j輸入的加權和；xj為節點j的輸出，為計算方便，式（4.5）中增加了w0jx0項，x0的值為常數1，w0j的值標在節點的圓圈中，它實際上是-θj，即w0j=-θj，θj是節點j的閾值。

c.圖中連接弧上標出的wij值是根據一組訓練樣本，通過某種學習算法（如BP算法）對網絡進行訓練得到的。這就是神經網絡系統所進行的知識獲取。d.由全體wij的值及各種癥狀、疾病、治療方案名所構成的集合形成了該疾病診治系統的知識庫。

5.2神經計算

5.2.4人工神經網絡的結構

2、基于神經網絡的推理基于神經網絡的推理是通過網絡計算實現的。把用戶提供的初始證據用作網絡的輸入，通過網絡計算最終得到輸出結果。例如，對上面給出的診治疾病的例子，若用戶提供的證據是X1=1（即病人X1有這個癥狀）,X2=X3=-1（即病人沒有X２,X３這兩個癥狀），當把它們輸入網絡后，就可算出X7=1,因為0+2×1+（-2）×（-1）+3×（-1）=1＞0由此可知，該病人患的疾病是X7。若給出進一步的證據，還可推出相應的治療方案。

5.2神經計算

5.2.4人工神經網絡的結構

2、基于神經網絡的推理本例中，如果病人的癥狀是X1=X3=1（即該病人有X1與X3這兩個癥狀），此時即使不指出是否有x2這個癥狀，也能推出該病人患的疾病是x7，因為無論病人是否還有其他癥狀，都不會使x7的輸入加權和為負值。由此可見，在用神經進行推理時，即使已知的信息不完全，照樣可以進行推理。一般來說，對每一個神經元xi的輸入加權和可分兩部分進行計算，一部分為已知輸入的加權和，另一部分為未知輸入的加權和，即當

時，未知部分將不會影響的判別符號，從而可以根據

的值來使用特性函數：

5.2神經計算

5.2.4人工神經網絡的結構

2、基于神經網絡的推理

由上例可以看出網絡推理的大致過程。一般來說，正向網絡推理的步聚如下：(1)把已知數據輸入網絡輸入層的各個節點。(2)利用特性函數分別計算網絡中各層的輸出。計算中，前一層的輸出作為后一層有關節點的輸入，逐層進行計算，直至計算出輸出層的輸出值為止。(3)用閾值函數對輸出層的輸出進行判定，從而得到輸出結果。

5.2神經計算

5.2.4人工神經網絡的結構

2、基于神經網絡的推理上述推理具有如下特征：a.同一層的處理單元（神經元）是完全并行的，但層間的信息傳遞是串行的。由于層中處理單元的數目要比網絡的層數多得多，因此它是一種并行推理。b.在網絡推理中不會出現傳統人工智能系統中推理的沖突問題。c.網絡推理只與輸入及網絡自身的參數有關，而這些參數又是通過使用學習算法對網絡進行訓練得到的，因此它是一種自適應推理。以上僅討論了基于神經網絡的正向推理。也可實現神經網絡的逆向及雙向推理，它們要比正向推理復雜一些。5.3模糊計算

禿子是個我們很熟悉的名詞，但應該怎樣定義它呢？按照經典集合的觀點具有n根頭發的人是禿子，那么有n+1根頭發的人就不是禿子，這顯然與事實不符。退一步說，如果我們承認頭發加減一根于此人是否是禿子無關，并且顯然沒有頭發的人是禿子，那么根據數學歸納法，我們可以得到結論：天下所有的人都是禿子。這是不是很荒謬呢？在人們的思維中還有著許多模糊的概念，例如年輕、很大、暖和等。對于此類模糊現象經典集合似乎無能為力，為此“模糊集合”（Fuzzysets）應運而生。1965年，美國的控制論專家L.A.Zadeh提出了模糊集合理論，一門以描述模糊現象擅長的理論誕生了。5.3模糊計算

以經典集合為基礎的數學只能描述精確現象，這是因為一個元素隸屬于經典集合只能有兩種情況，即：是或否。然而經典集合的這種隸屬原則顯然是有很大局限性的。所以經典集合對于上述的禿子的定義無能為力。由此我們要描述模糊現象就不得不承認隸屬于集合的情況時多值的，即不能僅用是或否來表達。L.A.Zadeh教授在他的第一篇論文“模糊集合”中引入了“隸屬函數”的概念，來描述差異的中間過渡，這是精確性對模糊性的一種逼近。

隸屬函數就是用一個[0，1]閉區間的函數，它被用來刻畫一個元素隸屬于一個模糊集合的程度，函數值越大，隸屬程度也越大。在模糊集合中，對于上述禿子的定義，我們不能說某個人絕對是禿子或絕對不是，取而代之的是此人是禿子的程度有多大。這顯然更加符合人們的直觀概念。

5.3模糊計算美國西佛羅里達大學的詹姆斯教授曾舉過一個鮮明的例子。假如你不幸在沙漠迷了路，而且幾天沒喝過水，這時你見到兩瓶水，其中一瓶貼有標簽：“純凈水概率是0.91”，另一瓶標著“純凈水的程度是0.91”。你選哪一瓶呢？相信會是后者。因為后者的水雖然不太干凈，但肯定沒毒，這里的0.91表現的是水的純凈程度而非“是不是純凈水”，而前者則表明有9％的可能不是純凈水。再比如“人到中年”，就是一個模糊事件，人們對“中年”的理解并不是精確的一個歲數。

從上邊的例子，可以看到模糊邏輯不是二者邏輯——非此即彼的推理，它也不是傳統意義的多值邏輯，而是在承認事物隸屬真值中間過渡性的同時，還認為事物在形態和類屬方面具有亦此亦彼性、模棱兩可性——模糊性。正因如此，模糊計算可以處理不精確的模糊輸入信息，可以有效降低感官靈敏度和精確度的要求，而且所需要存儲空間少，能夠抓住信息處理的主要矛盾，保證信息處理的實時性、多功能性和滿意性。

5.3模糊計算

美國加州大學L.A.Zadeh博士于1965年發表了關于模糊集的論文，首次提出了表達事物模糊性的重要概念——隸屬函數。這篇論文把元素對集的隸屬度從原來的非0即1推廣到可以取區間【0，1】的任何值，這樣用隸屬度定量地描述論域中元素符合論域概念的程度，就實現了對普通集合的擴展，從而可以用隸屬函數表示模糊集。模糊集理論構成了模糊計算系統的基礎，人們在此基礎上把人工智能中關于知識表示和推理的方法引入進來，或者說把模糊集理論用到知識工程中去就形成了模糊邏輯和模糊推理;為了克服這些模糊系統知識獲取的不足及學習能力低下的缺點，又把神經計算加入到這些模糊系統中，形成了模糊神經系統。這些研究都成為人工智能研究的熱點，因為它們表現出了許多領域專家才具有的能力。同時，這些模糊系統在計算形式上一般都以數值計算為主，也通常被人們歸為軟計算、智能計算的范疇。

模糊計算在應用上可是一點都不含糊，其應用范圍非常廣泛，它在家電產品中的應用已被人們所接受，例如，模糊洗衣機、模糊冰箱、模糊相機等。另外，在專家系統、智能控制等許多系統中，模糊計算也都大顯身手。究其原因，就在于它的工作方式與人類的認知過程是極為相似的。5.3模糊計算

20世紀初的數理邏輯把邏輯的基礎歸于集合論，因此，有了一種新的集合論，就有了一種相應的邏輯。經典的邏輯是二值的，既非真即假；以模糊集合為基礎建立的模糊邏輯是多值的。傳統的二值邏輯在計算機科學種得到了很好的應用，然而計算機如果只能處理確定的二值邏輯,那么它所表達出來的行為必然是呆板的。例如讓計算機識別一個人的相貌，計算機會記住此人身體上的每一個細節，下次此人剪了頭發再讓機器來識別，對不起，機器就會翻臉不認人了。以模糊集合為基礎的機器的識別方法就會很好地避免此類事情的發生。首先當某人與機器見面時，計算機先建立一個模糊集合，下次見面時，計算機又建立一個模糊集合，然后兩個模糊集合進行比較，從而對此人進行識別。這樣的識別率顯然高于前者。5.3模糊計算5.3.1模糊集合、模糊邏輯及其運算

首先，我們介紹模糊集合與模糊邏輯的若干定義。設U為某些對象的集合，稱為論域，可以是連續的或離散的；u表示U的元素，記住U=｛u｝；例：U=｛1，2，3，4，5｝。定義4.1模糊集合（fuzzysets）論域U到[0,1]區間的任一映射μF，即μF：U→[0,1]，都確定U的一個模糊子集F；μF稱為F的隸屬函數（membershipfunction）或隸屬度（gradeofmembership）。也就是說，μF表示u屬于模糊子集F的程度或等級。在論域U中，可把模糊子集表示為元素u與其隸屬函數μF（u）的序偶集合，記為：

F={(u,μF(u)）|u∈U)}

若U為連續，則模糊集F可記作：

F=∫U

μF(u)/u

若U為離散，則模糊集F可記為：

F=μF（u1）/u1+μF（u2）/u2+….+μF（un）/un

5.3模糊計算5.3.1模糊集合、模糊邏輯及其運算U=｛1，2，3，4，5｝。“比較小”=1.0/1+1.0/2+0.5/3+0.2/4+0.1/5

=（1.0，1.0，0.5，0.2，0.1）“大”=0/1+0/2+0.4/3+0.5/4+1.0/5

=（0，0，0.4，0.5，1.0）5.3模糊計算5.3.1模糊集合、模糊邏輯及其運算

設論域U=V={1，2，3，4，5}上定義模糊子集的隸屬度函數：A-{臟}=[]5.3模糊計算5.3.1模糊集合、模糊邏輯及其運算

定義4.2(模糊支集、交叉點及模糊單點)如果模糊集是論域U中所有滿足μF（u）>0的元素u構成的集合，則稱該集合為模糊集F的支集。當u滿足μF=1.0，則稱此模糊集為模糊單點。

定義4.3(模糊集的運算)

設A和B為論域U中的兩個模糊集，其隸屬函數分別為uA和uB，則對于所有，存在下列運算：

（1）A與B的并（邏輯或）記為，其隸屬函數定義為：

（2）A與B的交（邏輯與）記為，其隸屬函數定義為：

(3)A的補（邏輯非）記為，其傳遞函數定義為：

5.3模糊計算5.3.1模糊集合、模糊邏輯及其運算

定義4.4（直積（笛卡兒乘積，代數積））若分別為論域中的模糊集合，則這些集合的直積是乘積空間中一個模糊集合，其隸屬函數為：

定義4.5(模糊關系)若U，V是兩個非空模糊集合，則其直積中的一個模糊子集R稱為從U到V的模糊關系，可表示為：

5.3模糊計算5.3.1模糊集合、模糊邏輯及其運算定義4.6（復合關系）若R和S分別為U×V和V×W中的模糊關系，則R和S的復合R。S是一個從U到W的模糊關系，記為

其隸屬函數為：

式中的*號可為三角范式內的任意一種算子，包括模糊交、代數積、有界積和直積等。

5.3模糊計算5.3.1模糊集合、模糊邏輯及其運算定義4.7（正態模糊集、凸模糊集和模糊數）以實數R為論域的模糊集F，若其隸屬函數滿足：

則F為正態模糊集；若對于任意實數x，a<x<b，有

則F為凸模糊集；若F既是正態的又是凸的，則稱F為一模糊數。5.3模糊計算5.3.1模糊集合、模糊邏輯及其運算定義4.8(語言變量)一個語言變量可定義為多元組（x,T(x),U,G,M）。其中，x為變量名；T(x)為x的詞集，即語言值名稱的集合；U為論域；G是產生語言值名稱的語法規則；M是與各語言值含義有關的語法規則。語言變量的每個語言值對應一個定義在論域U中的模糊數。語言變量基本詞集把模糊概念與精確值聯系起來，實現對定性概念的定量化以及定量數據的定性模糊化。例如，某浴室鍋爐把水的溫度作為一個語言變量，其詞集T（溫度）可為：

T（溫度）＝{超高，很高，較高，適中，較低，很低，過低}5.3模糊計算

5.3.1模糊集合、模糊邏輯及其運算

此外，還有模糊集的運算、直積、模糊關系、復合關系、正態模糊集、凸模糊集和模糊數等定義，請參考教材page120。常規集合的運算特性對于模糊集合也同樣成立。5.3模糊計算5.3.2模糊邏輯推理

模糊邏輯推理是建立在模糊邏輯基礎上的，它是一種不確定性推理方法，是在二值邏輯三段論基礎上發展起來的。這種推理方法以模糊判斷為前提，動用模糊語言規則，推導出一個近似的模糊判斷結論。模糊邏輯推理方法尚在繼續研究與發展中，并已提出眾多方法，在此僅介紹Zadeh的推理方法。在模糊邏輯和近似推理中，有兩種重要的模糊推理規則：廣義取式(肯定前提)假言推理法（generalizedmodusponens，簡稱GMP）廣義拒式(否定結論)假言推理法(generalizedmodustonens，簡稱GMT)，分別簡稱為廣義前向推理法和廣義后向推理法。5.3模糊計算5.3.2模糊邏輯推理GMP推理規則可表示為：前提1：x為A′前提2：若x為A，則y為B結論：y為B′

上述兩式中的A，A′,B和B′為模糊集合，x和y為語言變量。

當A=A′且B=B′時，GMP就退化為“肯定前提的假言推理”，它與正向數據驅動推理有密切關系，在模糊邏輯控制中非常有用。當時，GMT退化為“否定結論的假言推理”，它與反向目標驅動推理有密切關系，在專家系統（尤其是醫療診斷）中非常有用。自從Zadeh在近似推理中引人復合推理規則以來，已提出數十種具有模糊變更的隱函數，它們基本上可以分為三類，即模糊合取、模糊析取和模糊蘊涵。以合取、析取和蘊涵等定義為基礎，利用三角范式和三角協范式，能夠生產模糊推理中常用的模糊蘊涵關系。

GMT推理規則可表示為：前提1：y為B前提2：若x為A，則y為B結論：x為A′5.3模糊計算5.3.2模糊邏輯推理定義4.10（三角范式）三角范式*是從［0，1］×［0，1］到［0，1］的兩位函數，即*：，它包括交、代數積、有界積和強積。對于所有，有：

交：代數積：

有界積：強積：

5.3模糊計算5.3.2模糊邏輯推理

定義4.11（三角協范式）三角協范式V是從［0，1］×［0，1］到［0，1］的兩位函數，即：，它包括并、代數和、有界和和強和以及不相交和。對于所有，有：并：

代數和：x+y=x+y-xy有界和：

強和：

不相交和：三角范式用于定義近似推理中的合取，三角協范式則用于定義近似推理中的析取。5.3模糊計算5.3.2模糊邏輯推理一個模糊控制規則：If

x為A

THEN

y為B用模糊隱函數表示為其中，A和B分別為論域U和V中的模糊集合，其隸屬函數分別為和。以此假設為基礎，可以給出下列三個定義。定義4.12（模糊合取）對于所有，模糊合取為式中，*為三角范式的一個算子。定義4.13（模糊析取）對于所有，模糊析取為式中，是三角范式的一個算子。5.3模糊計算5.3.2模糊邏輯推理定義5.14（模糊蘊涵）由所表示的模糊蘊涵是定義在U×X上的一個特殊的模糊關系，其關系及隸屬函數為（參考教材page123）

（１）模糊合取

（２）模糊析取

（３）基本蘊涵

（４）命題演算

（５）GMP推理

（６）GMT推理5.3模糊計算5.3.3模糊判決方法通過模糊推理得到的結果是一個模糊集合或者隸屬函數，但在實際使用中，特別是在模糊邏輯控制中，必須用一個確定的值才能去控制伺服機構。在推理得到的模糊集合中取一個相對最能代表這個模糊集合的單值的過程就稱為解模糊或模糊判決（defuzzification）。模糊判決可以采用不同的方法，用不同的方法所得到的結果也是不同的。理論上用重心法比較合理，但是計算比較復雜，因而在實時性要求較高的系統不采用這種方法。最簡單的方法是最大隸屬度方法，這種方法取所有的模糊集合或者隸屬函數中隸屬度最大的那個值作為輸出，