正多邊形的性質24.6.2正多邊形的性質學習目標1.理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角的概念.2.掌握正多邊形的性質并能加以應用.24.6.2正多邊形的性質問題1什么是正多邊形？

問題2如何作出正多邊形？

各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.

將一個圓n等分，就可以作出這個圓的內接或外切正n邊形.回顧復習24.6.2正多邊形的性質講授新課OABCD問題1以正方形為例，根據對稱軸的性質，你能得出什么結論？EFGH∵EF是邊AB、CD的垂直平分線，∴OA=OB，OD=OC.∵GH是邊AD、BC的垂直平分線，∴OA=OD；OB=OC.∴OA=OB=OC=OD.∴正方形ABCD有一個以點O為圓心的外接圓.正多邊形的性質24.6.2正多邊形的性質OABCDEFGH∵AC是∠DAB和∠DCB的平分線，BD是∠ABC和∠ADC的平分線，∴OE=OH=OF=OG.∴正方形ABCD還有一個以點O為圓心的內切圓.24.6.2正多邊形的性質

所有的正多邊形是不是都有一個外接圓和一個內切圓？想一想：任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓.24.6.2正多邊形的性質OABCDEFGHRr知識要點正多邊形每一條邊所對的圓心角，叫做正多邊形的中心角.正多邊形的每個中心角都等于.內切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距.外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.正多邊形的外接圓和內切圓的公共圓心，叫做正多邊形的中心.24.6.2正多邊形的性質

畫出下列各正多邊形的對稱軸，看看能發現什么結果？24.6.2正多邊形的性質要點精析：(1)正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形一共有n條對稱軸，每一條對稱軸都通過正多邊形的中心.(2)當邊數為偶數時，正多邊形具有：軸對稱性、中心

對稱性,它的中心就是對稱中心.(3)當邊數為奇數時，正多邊形具有：軸對稱性其中：對稱軸條數與邊數相等．24.6.2正多邊形的性質如圖，已知半徑為4的圓內接正六邊形ABCDEF：①它的中心角等于

度；②

OC

BC

(填＞、＜或＝）；③△OBC是

三角形；

④圓內接正六邊形的面積是

△OBC面積的

倍.⑤圓內接正n邊形面積公式：________________________.CDOBEFAP60=等邊6正多邊形的有關計算S正多邊形=周長×邊心距/224.6.2正多邊形的性質

求邊長為a的正六邊形的周長和面積.如圖，過正六邊形的中心O作OG⊥BC，垂足是G，連接OB，OC，設該正六邊形的周長和面積分別為C

和S.∵多邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BOC=60°，△BOC是等邊三角形.∴C=6BC=6a.在△BOC中，有解：例124.6.2正多邊形的性質例2一個上、下底面為全等正六邊形的禮盒，高為10cm，上、下底面正六邊形的邊長為12cm，如果用彩色膠帶按如圖所示方式包扎禮盒，所需膠帶長度至少為________________．24.6.2正多邊形的性質膠帶包括上、下面各3段，側面6段．上、下面中的每段膠帶長等于圖中的OC的2倍．利用中心角可求得∠COB＝30°，由正六邊形的邊長為12cm，易得BC＝6cm，所以OB＝12cm，由勾股定理得OC＝

cm，從而求得上、下面每段膠帶長為cm，進而求出所需膠帶的長度．分析：24.6.2正多邊形的性質例3

如圖，AG是正八邊形ABCDEFGH的一條對角線．（1）在剩余的頂點B、C、D、E、F、H中，連接兩個頂點，使連接的線段與AG平行，并說明理由；（2）兩邊延長AB、CD、EF、GH，使延長線分別交于點P、Q、M、N，若AB=2，求四邊形PQMN的面積．24.6.2正多邊形的性質（1）在剩余的頂點B、C、D、E、F、H中，連接兩個頂點，使連接的線段與AG平行，并說明理由；解：連接BF，CE，則有BF∥AG，CE∥AG．理由如下：∵ABCDEFGH是正八邊形，∴它的內角都為135°．又∵HA=HG，∴∠HAG=22.5°.∴∠GAB=135°-∠1=112.5°．∴∠GAB=135°-∠1=112.5°．∵正八邊形ABCDEFGH關于直線BF對稱，即∠BAG+∠ABF=180°，故BF∥AG．同理，可得CE∥BF，∴CE∥AG；24.6.2正多邊形的性質PNMQ（2）有題意可知∠PHA=∠PAH=45°，∴∠P=90°，同理可得∠Q=∠M=90°，∴四邊形PQMN是矩形．∵∠PHA=∠PAH=∠QBC=∠QCB=∠MDE=∠MED=45°，AH=BC=DE，∴△PAH≌△QCB≌△MDE，∴PA=QB=QC=MD．即PQ=QM，故四邊形PQMN是正方形．（2）兩邊延長AB、CD、EF、GH，使延長線分別交于點P、Q、M、N，若AB=2，求四邊形PQMN的面積．24.6.2正多邊形的性質在Rt△PAH中，∵∠PAH=45°，AB=2，PNMQ故S四邊形PQMN=24.6.2正多邊形的性質2.作邊心距，構造直角三角形.1.連半徑，得中心角；OABCDEFRMr·圓內接正多邊形的輔助線方法歸納O邊心距r邊長一半半徑RBM中心角一半24.6.2正多邊形的性質如圖,M,N分別是☉O內接正多邊形AB,BC上的點,且BM=CN.(1)圖①中∠MON=_______;圖②中∠MON=

;

圖③中∠MON=

;(2)試探究∠MON的度數與正n邊形的邊數n的關系.ABCDEABCD.ABCMNMNMNOOO90°72°120°圖①圖②圖③24.6.2正多邊形的性質正多邊形邊數內角中心角外角346n60°120°120°90°90°90°120°60°60°1.完成下面的表格：隨堂練習24.6.2正多邊形的性質正多邊形邊數半徑邊長邊心距周長面積34162.

填表：21284221224.6.2正多邊形的性質3.如圖，已知半徑為4的圓內接正六邊形ABCDEF：①它的中心角等于

度；②

OC

BC

(填＞、＜或＝）；③△OBC是

三角形；

④圓內接正六邊形的面積是

△OBC面積的

倍.CDOBEFAP60=等邊64.若正多邊形的邊心距與半徑的比為1∶2，則這個正多邊形的邊數是

.424.6.2正多邊形的性質5.如圖，正五邊形ABCDE內接于⊙O，則∠ADE的度數是（）A．60°B．45°C．36°

D．30°·ABCDEOC24.6.2正多邊形的性質6.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接正方形，若正方形的面積等于4，求⊙O的面積．解：∵正方形的面積等于4，則半徑為∴⊙O的面積為∴正方形的邊長AB=2.24.6.2正多邊形的性質ABCDEFP7.如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為，點P為六邊形內任一點，則點P到各邊距離之和是多少？∴點P到各邊距離之和=3BD=3×6=18．解：過P作AB的垂線，分別交AB、DE于H、K，連接BD，作CG⊥BD于G.HK∴P到AF與CD的距離之和，及P到EF、BC的距離之和，均為HK的長.∵六邊形ABCDEF是正六邊形∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=1