定量定理及守恒定律第一頁，共二十六頁，2022年，8月28日一沖量——力對時間的累積矢量沖量：元沖量：說明：1沖量是矢量：2獨立性：多個力對同一物體產生的沖量，等于每一個力單獨對物體產生的沖量的矢量和大小方向：沿著平均作用力方向運算法則：矢量合成法則可投影在坐標系中討論第二頁，共二十六頁，2022年，8月28日二動量定理理解：1沖量是動量改變的原因和量度。2動量定理具有矢量性。可在坐標系中表示即：質點所受合外力的沖量等于質點動量的改變量**.動量定理與狀態相聯系解題時比牛律更方便！！3適用慣性參考系1單個質點第三頁，共二十六頁，2022年，8月28日2質點系的動量定理:對i質點運用動量定理：對所有質點求和可得：一對內力的沖量能抵消嗎？？答案是肯定的！f1nfn1m1mifi1f1iFiF1mnFnfnifin質點系動量定理:

作用于系統的合外力的沖量等于系統動量的增量第四頁，共二十六頁，2022年，8月28日討論：A.適用條件：慣性系

B.內力對質點組總動量改變量沒有貢獻，但對其中某一質點的動量改變有貢獻。C.質點系的動量定理同樣具有矢量的獨立性

第五頁，共二十六頁，2022年，8月28日１、成立的條件：

Ａ系統根本不受外力或合外力為零。Ｂ系統內力很大，外力可以忽略不計。（如爆炸碰撞打擊等）C系統在某一方向所受合外力為零，系統在該方向動量守恒（總動量不一定守恒）。***D.質點系的動量守恒定理：當質點系所受合外力為零時，質點系的總動量守恒。關于系統動量守恒的幾點說明：第六頁，共二十六頁，2022年，8月28日2動量守恒定律是關于自然界一切過程的一條最基本的定律。它適用于A宏觀粒子系統B電磁場C微觀粒子系統

過程、系統、條件

·用任何守恒定律解題，注意分析:3更普遍的動量守恒定律并不依賴牛頓定律。4只適用于慣性系。第七頁，共二十六頁，2022年，8月28日三動量定理的應用1.可運用動量定理求解的問題特征

不考慮中間過程或中間過程很繁雜，而物體系狀態量易求，或由物體系的狀態量就可以求解的問題。2.動量定理應用的常用近似方法

A.平均沖力：由于碰撞問題中作用力的時間一般很短暫，因而，在沒有特別注明情況下，一般將碰撞過程中隨時間變化的沖力視為平均力，即平均沖力。B.忽略較小外力。一般情況下，沖力的大小比物體的重力、摩擦力等外力大一到二個數量級，因而，它們常可被忽略。第八頁，共二十六頁，2022年，8月28日例1:質量為m的質點，經時間t、以不變的速率v越過一水平光滑軌道60o的彎角.求：軌道作用于質點的平均沖力的大小。解：平均沖力可視為恒力,由動量定理有

因30omv2v130oij平均沖力根據對稱性,易知平均力方向即沿j方向第九頁，共二十六頁，2022年，8月28日

**

特別注意動量定理的矢量性!若無對稱性,一般的可如圖建立坐標系，將速度投影大小:，方向：j(y軸正方向)。代入上式得30omv2v130oij第十頁，共二十六頁，2022年，8月28日解:合外力:練習：一質量為m的質點在xoy平面上運動，其位置矢量為：式中a、b、是正值常數，且a>b。求：t=0到t=/(2)時間內所受合力的沖量及質點動量的改變量

∴合力的沖量為：討論:若用動量定理來求呢?提示顯然,用定理更簡單!第十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日例2如圖，用傳送帶A輸送煤粉，料斗口在A上方高h=0.8m處煤粉自料斗口自由落在傳送帶A上。設料斗口連續卸煤的流量為qm=40kg/s,傳送帶A以v=3m/s勻速向右運動。求：卸煤的過程中，煤粉對傳送帶A的平均作用力（不計相對傳送帶靜止的煤粉質量，取g=10m/s2）

解：煤粉下落h時的速度

取在時間dt內落下的煤粉dm=qmdt為研究對象應用動量理，有：hAvv0yx變質量問題第十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日平均沖力：大小:|F|=200N，方向與x軸正方向成53.1o.煤粉對傳送帶A的平均作用力與此力大小相等而方向相反。

此類題型:(質量變化且無窮),其運動狀態易知關鍵是選取質量微元為研究對象寫出常規的動量定理形式．第十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日m練習：一質量均勻分布的柔軟的細繩鉛直地懸掛著，繩的下端剛好觸到水平桌面上。如果把繩的上端放開，繩將落向桌面。試證明：在繩下落的過程中，任意時刻作用于桌面的壓力，等于已落到桌面上的繩重量的三倍。

證:設繩的線密度為,下落長度為h時,繩的速度為取時間t~t+dt內落下的繩dm=.dt為研究對象Fdmdmg由作用力與反作用關系，得繩子對地面的沖力為最后得:N=mg+=3mg即:作用于桌面的壓力是重量的三倍。第十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日例3：一柔軟鏈條長為l，單位長度的質量為，鏈條放在有一小孔的桌上，鏈條一端由小孔稍伸下，其余部分堆在小孔周圍．由于某種擾動,鏈條因自身重量開始下落.m1m2Oyy求：鏈條下落速度v與y之間的關系．設各處摩擦均不計，且認為鏈條軟得可以自由伸開．仍是變質量問題但總質量有限,若運動狀態不易知道，則選取整個系統為研究對象寫出動量定理的微分形式．第十五頁，共二十六頁，2022年，8月28日解

以豎直懸掛的鏈條和桌面上的鏈條為一系統，建立坐標系由質點系動量定理的微分式得則m1m2Oyy兩邊同乘以則第十六頁，共二十六頁，2022年，8月28日練習:一長為l,密度均勻的柔軟鏈條,其單位長度的質量為,將其卷成一堆放在地面上,如圖所示.若用手握住鏈條的一端,以加速度a從靜止勻加速上提.當鏈條端點離地面的高度為x時,求手提力的大小.解：以鏈條為系統,向上為X正向,地面為原點建立坐標系t時刻,系統總動量OX系統受合外力第十七頁，共二十六頁，2022年，8月28日動量守恒定律例4：如圖，質量為M的物體有一個四分之一滑槽，靜止在光滑水平面上，質量為m的滑塊自其頂部由靜止開始下滑。求：當m滑至滑槽底部時，M移動的距離。解：選擇M、m為物體系，由于物體系在水平方向不受外力作用，因而動量守恒兩邊同時對時間積分：令于是：注意，vx、s是相對于地面的水平速度和位移，相對于滑槽的水平位移為：第十八頁，共二十六頁，2022年，8月28日第十九頁，共二十六頁，2022年，8月28日而討論：A.對中間過程是變力的運動過程，用牛頓定律求解，往往很繁雜，此時，應考慮用動量定理或動量守恒求解。B.求解過程中，并沒有考慮m與M之間是否存在摩擦力，因而，即便存在摩擦力，上述結果同樣成立。C.此題一個重要技巧用到(1)式，即兩物體水平位移成比例。這在許多問題中經常用到。類似的還有速度、加速度成比例。第二十頁，共二十六頁，2022年，8月28日練習（高中題目）如圖所示，一輛質量為M的平頂小車靜止在光滑的水平軌道上，今有一質量為m的小物體以水平速度o滑向車頂。設物體與車頂之間的摩擦系數為，求:(1)從物體滑上車頂到相對車頂靜止需多少時間？(2)要物體不滑下車頂，車長至少應為多少？

M0m解(M+m):水平方向不受外力，故動量守恒：mo=(M+m)

式中是相對靜止時的速度。(1)對物體m應用動量定理，有-mg.t=m-mo解得第二十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日(2)要物體不滑下車頂，車長至少應為多少？M0mm相對地面的加速度：a=-gm相對地面運動的距離：S1=(2-02)/2a

M相對地面的加速度：a0=mg/MM相對地面運動的距離：S2=2/2a0=mo/=(M+m)故車的最小長度為第二十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日另解：由于一對內力(摩擦力)的功與參考系無關,可取車為參考系來計算摩擦力的功,由系統動能定理得要物體不滑下車頂,車的最小