二元函數在某點處連續，偏導數存在的判定；多元數值函數的梯度；二元函數的極值；多元函數隱函數求偏導；二重積分的比較；交換二重積分累次積分次序；二重積分在直角坐標系下的計算三重積分的計算；求立體體積；重積分對稱性；2013-2014高等數學第二學期期末考試考點第一類曲線積分的計算；第二類曲線積分的計算；第一類曲面積分的計算；第二類曲面積分計算；高斯公式，向量函數的散度；斯托克斯公式；數項級數斂散性判斷（含絕對收斂和條件收斂）；冪級數的收斂半徑，收斂域及和函數；函數的冪級數展開；將函數展成以

為周期的傅里葉級數；周期2l的傅里葉級數的和函數。情況一：設

f(x)是周期為2的周期函數21.將函數展成以

為周期的傅里葉級數；情況二：設

f(x)是定義在[–,]上的函數情況三：設

f(x)是定義在[0,]上的函數(可展成正弦或余弦級數)情況一：設

f(x)是周期為2的周期函數

f(x)的傅里葉級數在收斂,且有

x

為間斷點其中為f(x)

的傅里葉系數

.

x

為連續點的傅里葉展開式為即：的間斷點連續的點以及滿足結論：例.

設的表達式為f(x)＝x,將f(x)展成傅里葉級數.是周期為2的周期函數,它在解:滿足收斂定理的條件.(-,

)的奇函數,因此根據收斂定理可得f(x)

的傅里葉展開式為:故f(x)

的傅里葉級數為:周期延拓收斂定理其它

x

間斷

x

為連續點注：有相同的傅里葉級數x

為間斷點

x

為連續點情況二：設

f(x)是定義在[–,]上的函數傅里葉展開式為：即：的間斷點以及中連續的點以及中滿足的使等號成立的端點例.

將函數展成傅里葉級數.并求解:

先求傅里葉系數根據收斂定理可得f(x)

的傅里葉展開式為:故f(x)

的傅里葉級數為:注：正弦級數和余弦級數

對奇函數f(x),其傅里葉級數為對偶函數f(x),其傅里葉級數為余弦級數,它的傅里葉系數為正弦級數,它的傅里葉系數為傅里葉級數f(x)在[0,]上展成傅里葉級數余弦級數奇延拓偶延拓正弦級數f(x)在[0,]上展成情況三：設

f(x)是定義在[0,]上的函數將則有作偶延拓,例.

將函數分別展成正弦級數與余弦級數.解:

先求余弦級數.根據收斂定理可得f(x)

的傅里葉展開式為:故f(x)的傅里葉級數為:將f(x)作奇延拓,再求正弦級數.根據收斂定理可得f(x)的傅里葉展開式為:故f(x)

的傅里葉級數為:注：一定要分清三個概念:傅里葉級數、和函數、傅里葉展開式若f(x)是奇偶函數，求傅里葉系數一定要利用定積分的對稱性結論簡化計算求s(x)是通過f(x)的表達式來求的將f(x)展成傅里葉級數,一定要注意x的取值范圍：

（1）要屬于f(x)的定義域（2）包含定義域中除端點外所有連續的點（3）包含滿足“等式”的間斷點和端點21.周期2l的傅里葉級數的和函數情況一：設

f(x)是周期為2l的周期函數

x

為間斷點

x

為連續點x

為間斷點

x

為連續點情況二：設

f(x)是定義在[–l,l]上的函數例：設

的傅里葉級數在答案:

B是以為周期的函數,在上則處收斂于二元函數在某點處連續，偏導數存在的判定1)函數或有的極限不存在.證明函數極限不存在:

以不同方式函數趨于不同值(常用的趨近方式為直線式)證明函數極限存在:

換元或夾逼準則先代后求:先求后代:利用定義:例如：分段函數分段點例如：初等函數定義區域的內點例如：上述兩種例子情況均可、函數式復雜2)某點處偏導數存在的判定:應該用法一和法三提示:

利用故f

在(0,0)連續;知在點(0,0)處連續性及偏導數存在性.例.討論法一:偏導存在性:法二:（A）連續,偏導數存在,例：二元函數在點(0,0)處（）（B）連續,偏導數不存在,（C）不連續,偏導數存在,（D）不連續,偏導數不存在,答案：C2.多元數值函數的梯度?三元函數在點?二元函數在點梯度為:梯度為:例.函數在點處的梯度解:則注意x,y,z

具有輪換對稱性(92考研)15.向量場的散度設散度:則例:設矢量場23.二元函數的極值（1）具體二元函數求極值（2）實際問題求二元函數的條件極值可以結合變力做功等第二類的曲線積分綜合考察（1）具體二元函數求極值第一步利用必要條件在定義域內找駐點.第二步利用充分條件判別駐點是否為極值點.時,具有極值定理

(充分條件)的某鄰域內具有一階和二階連續偏導數,且令則:1)當A<0時取極大值;A>0時取極小值.2)當3)當時,沒有極值.時,不能確定,需另行討論.若函數例.求

的極值。解：先求函數的駐點.解得函數為駐點為

在取極大值在取極小值（2012考研題）例.求

的極值。（2013考研題）答案:（2）實際問題求二元函數的條件極值(a)簡單問題用代入法轉化為無條件極值問題.(b)一般問題用拉格朗日乘數法求一元函數的無條件極值問題引入輔助函數一定要合理轉換目標函數:非負可平方、可取倒數等要注意解方程組的技巧：一般先得出自變量的關系再代入約束條件隱函數求導方法：方法1.利用復合函數求導法則方程兩邊直接關于自變量求導,要把因變量看成自變量的函數方法2.利用隱函數定理的求導公式4．多元函數隱函數求偏導注：兩種求導方法中方程所確立的隱函數中因變量的地位是不一樣的例.設解法1利用隱函數求導再