數學建模作業1.什么是數學模型？答：所謂數學模型,是指針對或參照現實世界中某類事物系統的主要特征、主要關系,經過簡化與抽象,用形式化的數學語言概括或近似地加以表述的一種數學結構.一般表現為數理邏輯的邏輯表達式、各種數學方程(如代數方程、微分方程、積分方程等)及反映量與量之間相互關系的圖形、表格等形式.它或者能解釋特定現象的現實狀態,或者能預測對象的未來狀態,或者能提供處理對象的最優決策與控制.好的數學模型應具備可靠性和可解性(也叫適用性)兩方面的特性:可靠性指在允許的誤差范圍內,能反映出該系統有關特性的內在聯系;可解性指易于數學處理與計算.數學模型方法將復雜的研究對象簡單化、抽象化,撇開對象的一些具體特征,減少其參數,只抽取其主要量、量的變化及量與量之間的相互關系,在“純粹”的形態上進行研究,突出主要矛盾,忽略次要矛盾,用數學語言刻畫出客觀對象量的規律性,簡潔明了地描述現實原形,揭示出其本質的規律,并在對模型修正、求解的基礎上使原問題得以解決.可以說,數學模型是對現實原形的一種理想化處理是一個科學的抽象過程,因而具有高度的抽象性與形式化特征.這一特征使其成為一種經典的數學方法,并隨著科學技術的數學化趨勢,超越數學范疇,廣泛地應用于自然PAGEPAGE6PAGEPAGE52013科學、工程技術和社會科學的一切領域.。數學模型是如何分類的？答：預報或預測、控制實際系統的基礎。答：模型假設是整個建模的起點，是模型建立的基礎，不同的人對同一事物的認程。.按兩個基本原則的順序進行反復的操作。表示對象間聯系。聯系原則構造出對象之間的聯系的具體方式或細節分割的復雜性在于不存在絕對的客觀分割的標準因為任何一個分割方式都帶有一定的主觀性，的復雜性。對其復雜性我們有必要作深入探討和研究。答：建模的一般方法：機理分析：根據對現實對象特性的認識，分析其因果關系，找出反映內部機理的規律，所建立的模型常有明確的物理或現實意義。測試分析方法：將研究對象視為一個“黑箱”系統，內部機理無法直接尋求，通準則在某一類模型中選出一個數據擬合得最好的模型。測試分析方法也叫做系統辯識。法來確定模型的參數，也是常用的建模方法。在實際過程中用那一種方法建模主要是根據我們對研究對象的了解程度和建模目的來決定建立數答：建模的具體步驟大致如下：1、實際問題通過抽象、簡化、假設，確定變量、參數；2、建立數學模型并數學、數值地求解、確定參數；3、用實際問題的實測數據等來檢驗該數學模型；二、多項式插值y=sinx0，π/4，π/2P2(x)，sin(π/8)的近似值，并估計截斷誤差。2013數學建模選修課第二次作業解：

0,x1

/40.785398,x2

/21，則yy0 1

/20.707107,y1222(x

)(xx)

(x

)(xx

) (x

)(xx)1p(x)12

(xx221000 22100

)(x0

x2

y(x1

x)(x0

x2

y(x2

x)(x0

x)y21/0.405330f) )R(x) (xx)(xx)(xx) (x

)(xx

)(xx)2

0 1 2 6

0 1 2程序代碼：clearall;clc;x=[0pi/4pi/2];%%計算各個插值點的x的值y=sin(x);%%sin中一定要帶括號p=polyfit(x,y,2);%%構造二次插值多項式f=inline('sinx');%%sinxfprintf('運行結果為：\n\n')%%輸出語句disp('構造的二次插值多項式P2(x)為：')%%輸出語句f=poly2str(p,'x')%%將擬合后的多項式系數（雙精度數組）轉換為字符形式的函數poly2sym(p);%%將該向量轉換為多項式fprintf('sin(π/8)的近似值為：\n')m=polyval(p,pi/8)%%用于對已經擬合后的多項式系數，%%當給出某個點時求其函數值;計算插值多項式在pi/8處的值fprintf('sin(π/8)n=sin(pi/8)fprintf('Rn(x)為：\n')%%R=abs(n-m)運行結果：運行結果為：P2(x)f=-0.33575x^2+1.164x-2.8824e-016sin(π/8)的近似值為：m=0.4053sin(π/8)的真實值為：n=0.3827Rn(x)R=0.0226結果分析：poly2strpoly2sym轉換為多項式的函數，即無法計算，經查資料后修改得到結果如上。三、數值積分8.534米，然后等距離的測得縱向高度，自左向右分別為0.914,5.060,7.772,8.717,9.083,9.144,9.083,8.992,8.687,7.376,2.073面積。2013數學建模選修課第二次作業解：程序代碼：x=linspace(0,8.534,13)%08.53413y=[00.9145.0607.7728.7179.0839.1449.0838.9928.6877.3762.0730];x0=0:0.001:8.534;y1=interp1(x,y,x0);%%一維線性插值函數fprintf('梯形積分結果為：\n\n')%%輸出語句x=[x,fliplr([x(1),x,x(end)])];y=[y/2,fliplr([y(1)/2,-y/2,y(end)/2])];subplot(1,2,1);plot(x,y,'-r')%,x0,y1,'-r')S=trapz(y1)*0.001%%title('用梯形積分結果圖');xlabel('x');ylabel('y');y=[0.914,5.060,7.772,8.717,9.083,9.144,9.083,8.992,8.687,7.376,2.073];n=length(y)x=linspace(0,8.534,n);pp=spline(x,y);%%求樣條函數表達式fprintf('辛普森積分結果為：\n\n')%%輸出語句S2=quadl(@ppval,0,8.534,[],[],pp)%%高階法數值積分%%%繪制甲板的圖形subplot('position',[200,150,900,400])%%subplot('Position',[left bottom height])%figure的位置和大小，距離屏幕左邊200，底部150，寬900，高400，默認單位是像素xx=[x,fliplr([x(1),x,x(end)])];%%x1翻轉yy=[y/2,fliplr([y(1)/2,-y/2,y(end)/2])];%實現矩陣的左右翻轉subplot(1,2,2)plot(xx,yy)title('用辛普森積分結果圖xlabel('x');ylabel('y');運行結果：x=Columns1through110 0.7112 1.4223 2.1335 2.8447 3.5558 4.26704.9782 5.6893 6.4005 7.1117Columns12through7.8228 8.5340梯形積分結果為：S=54.6894n=7PAGEPAGE82013數學建模選修課第二次作業11辛普森積分結果為：S2=65.2824結果分析：知。結果是第一個的結果沒有第二個結果好。四、多項式擬合對于以下實驗數據x=(11.522.533.544.555.567891011)y=（44.688.49.289.59.79.861010.210.3210.3010.2410.1810.009.40）給出擬合多項式，計算x=6.5,12處的值，并繪制相應曲線圖。解：程序代碼：clearall;clc;x=[11.522.533.544.555.567891011];y=[44.688.49.289.59.79.861010.210.3210.3010.2410.1810.009.40];a=polyfit(x,y,5); %擬合出的五次函數的系數fprintf('運行結果為：\n\n')%%輸出語句disp('構造的二次插值多項式P2(x)為：')%%輸出語句f=poly2str(a,'x')%%（雙精度數組poly2sym(a);%%將該向量轉換為多項式fprintf('x=6.5的近似值為：\n')m=polyval(a,6.5)%%用于對已經擬合后的多項式系數，fprintf('x=12的近似值為：\n')n=polyval(a,12)%%用于對已經擬合后的多項式系數，xx=linspace(min(x),max(x)); %繪圖用到的點的橫坐標yy=polyval(a,xx);%擬合曲線的縱坐標%subplot(2,2,4);plot(x,y,'m.',xx,yy,'b'); %繪圖，原始數據+擬合曲線xlabel('x');ylabel('y');legend('原始數據','擬合曲線'); %圖示title('五次多項式擬合曲線');holdon;x=[6.512];y=[mn];plot(x,y,'gs')運行結果：92013數學建模選修課第二次作業運行結果為：P2(x)f=0.00038416x^5-0.01707x^4+0.28271x^3-2.2403x^2+8.6685x-3.1048x=6.5的近似值為：m=10.2120x=12的近似值為：n=8.458510PAGEPAGE11結果分析：x=6.5,12第二個圖。五、常微分方程數值解用預估校正Euler法，求解定解問題 yy22x, x y(0)1,求出步長為1的所有點的值，并繪制圖形。解：程序代碼：clc;clearf=inline('y^2-2*x/y');xx=0:1:10;x=xx;x(1)=0;y(1)=1;h=1;n=10;fprintf('每個節點的結果為：\n\n')%%輸出語句fori=1:1:n+1x(i+1)=x(i)+h;y(i+1)=y(i)+h*f(x(i),y(i));xx=x(i)yy=y(i)end;fprintf('最后的結果為：\n\n')%%輸出語句m=y(n)plot(x,y,'-mo') %繪圖，原始數據+擬合曲線2013數學建模選修課第二次作業xlabel('x');ylabel('y');title('預估校正Euler法解定解問題的曲線');運行結果：每個節點的結果為：xx=0yy=1