實驗物理誤差理論稿第一頁，共五十六頁，2022年，8月28日§

1.1 測量與誤差關系§

1.2 測量結果誤差估算及評定方法§

1.3 直接測量結果誤差估算及評定方法§

1.4 間接測量結果誤差估算及評定方法§

1.5

有效數字及其運算§

1.6 常用數據處理方法第一章

測量誤差及數據處理方法

第二頁，共五十六頁，2022年，8月28日

等精度測量測量按測量方法的不同可分按精度因素可分

直接測量間接測量非等精度測量

測量：用一定的測量工具或儀器，通過一定的方法，直接或間接地得到所需要的量值。一、

測量§

1.1基本概念：測量與誤差關系第三頁，共五十六頁，2022年，8月28日二、

誤差2、誤差來源

（1）

儀器誤差（instrumenterror)

（2）

環境誤差

(environmenterror)

（3）

測量方法誤差(measurementerrorof amethod)

（4）

人員誤差(itselfinerror)1、誤差的定義

測量誤差=測量值-真值N真是客觀存在的但無法測得，因為測量與誤差是形影不離的。反映的是測量值偏離真實值的大小和方向。注意有正、負之分。第四頁，共五十六頁，2022年，8月28日三、

誤差分類（系統誤差、隨機誤差、 粗大誤差）（1.）系統誤差(systemerror)（保持恒定或以可預 知方式變化）

特點：確定性，許多情況下系統誤差是不變的，不 可避免但可修正。

產生原因：儀器本身的缺陷、測量方法的不完備.第五頁，共五十六頁，2022年，8月28日正態分布函數的特點：1、誤差較小的數據比誤差大的數據出現的概率大；2、誤差很大的數據出現的概率大趨于零；3、誤差絕對值相等的數據出現的概率相等，測量次數增加，隨機誤差的算術平均值趨于零，所以用多次測量取平均的方法可以減小誤差。

隨機誤差的特點：

在測量次數不多的情況下沒有規律可循;隨機性

在測量次數多的情況下，具有統計規律。服從正態分布（2）隨機誤差（以不可預知方式變化）產生原因：環境的影響等。第六頁，共五十六頁，2022年，8月28日（3）粗大誤差（明顯超出規定條件下預期的誤差）

特點：可以避免，處理數據時應將其剔除。

產生原因：錯誤讀數、使用有缺陷的器具、使用 儀器方法不對等。第七頁，共五十六頁，2022年，8月28日

（1）絕對誤差：反映誤差本身大小。（2）相對誤差（百分誤差）：反映誤差嚴重程度。四、

測量結果表示結果表示：注意：絕對誤差大的，相對誤差不一定大。第八頁，共五十六頁，2022年，8月28日五、精密度、正確度與準確度（又稱精確度） 這三個名詞分別用來反映隨機誤差、系統誤差和綜合誤差的大小。正確度較高、精密度低精密度高、正確度低準確度高(a)(c)(b)第九頁，共五十六頁，2022年，8月28日§1.2測量結果誤差估算及評定方法

真值的獲得：

1、公認

2、未知 對N進行K次測量，得N1，N2……Nk．

用算術平均值：

作為真值的最佳估計。

評定其可靠性的方法有三種。第十頁，共五十六頁，2022年，8月28日1．算術平均偏差['deltE]

結果可表示為：第十一頁，共五十六頁，2022年，8月28日

（2）平均值的標準偏差（在同一條件下對某物理量進行多次測量）（1）測量列的實驗標準差(有限次測量和被測真值未知) 2．標準偏差['sigmE]

（又稱均方根偏差，反映平均值代替真值的精密度）(1.2-2)(1.2-3)第十二頁，共五十六頁，2022年，8月28日

σ：標準偏差σ是一個描述測量結果離散程度的參量，反映了測量的精密度，只考慮隨機誤差。

理解：若隨機誤差服從正態分布，在距平均值σ

處，是概率密度曲線的拐點，曲線下總面積為1，σ越小，曲線越瘦，峰值越高，說明分布越集中，精密度越高；反之精密度越低。

特性一：第十三頁，共五十六頁，2022年，8月28日

置信概率（包含真值的概率）

測量結果的范圍68.3%95.4%99.7%

當系統誤差、粗大誤差已消除，隨機誤差服從正態分布，且σ已確定時K＝3K＝22K＝326特性二：第十四頁，共五十六頁，2022年，8月28日A類分量（用統計的方法計算）uＡB類分量（用其他方法計算）u合成不確定度測量結果表示為：相對不確定度：3．不確定度（反映平均值代替真值的準確度）

Δins為儀器的極限誤差；K為置信系數（物理實驗中約定為1）。第十五頁，共五十六頁，2022年，8月28日§1.3直接測量誤差估算及評定

一、單次測量誤差估算及評定

單次測量結果的誤差估算常以測量儀器誤差來評定。

儀器誤差：

△已標明（或可明確知道）的誤差

△未標明時，可取儀器及表盤上最小刻度的一半作誤差。

△電子類儀器

第十六頁，共五十六頁，2022年，8月28日舉例:

如用一個精度為0.5級，量程為10μA的電流表，單次測量某一電流值為2.00μA，試用不確定度表示測量結果。解：u=10μA×0．5％=0．05μA

I=（2．00±0．05）μA第十七頁，共五十六頁，2022年，8月28日二、多次測量結果的誤差估算及評定程序：

1、求平均值。

2、求或或u。

3、表示結果。例如用u，

則結果為：

第十八頁，共五十六頁，2022年，8月28日u的利弊算數平均偏差——計算方便但準確度低標準偏差——只考慮了隨機誤差，只反映了精密度u不確定度——既含隨機誤差又含系統誤差，且準確度高今后我們約定結果寫成：式中這種表示方法的置信概率大約為95%左右為加深理解，可參閱p20、p21（舊書p14）的例2、例3。第十九頁，共五十六頁，2022年，8月28日

(1.4-3)

絕對誤差(1.4-4)

相對誤差§1.4間接測量結果誤差的估算及評定

N=f(x,y,z)

一、

一般的誤差傳遞公式當間接測量的函數關系為和差形式（N=x+y-z),先計算絕對誤差較方便當間接測量的函數關系為積商形式（N=xy/z),先計算相對誤差較方便第二十頁，共五十六頁，2022年，8月28日

(1.4-6)

(1.4-7)二、

標準偏差的傳遞公式（方和根合成）（能夠更好地反映測量結果的離散程度）第二十一頁，共五十六頁，2022年，8月28日

三、不確定度的傳遞公式(1.4-8)

(1.4-9)不確定度相對不確定度當間接測量的函數關系為和差形式（N=x+y-z),用（1.4-8）較方便當間接測量的函數關系為積商，乘方，開方形式（N=x2y/z),用（1.4-9）較方便第二十二頁，共五十六頁，2022年，8月28日表1.4-1某些常用函數的不確定度傳遞公式

函數形式不確定傳遞公式第二十三頁，共五十六頁，2022年，8月28日[總結]間接測量結果用不確定度評定的基本步驟：

（1）計算各直接測量量的值和它們的不確定度；

（2）根據公式（1.4—8）或（1.4—9）計算間接測量量的不確定度（保留1位有效數字），或相對不確定度（保留1~2位有效數字）；

（3）求出間接測量量N，N的末位與不確定度所在位對齊；

（4）寫出結果。

注意單位不要漏寫第二十四頁，共五十六頁，2022年，8月28日例(p24):用一級千分尺（）測量某一圓柱體的直徑D和高度H，測量數據見表1.4-2,求體積V并用不確定度評定測量結果。

第二十五頁，共五十六頁，2022年，8月28日表1.4-2

測量次數D/mmH/mm

13.0044.096

23.0024.094

33.0064.092

43.0004.096

53.0064.096

63.0004.094

73.0064.094

83.0044.098

93.0004.094

103.0004.096第二十六頁，共五十六頁，2022年，8月28日解：（1）計算直接測量值D、H的不確定度(a)(b)A類不確定度—B類不確定度(c)(1.2-2)第二十七頁，共五十六頁，2022年，8月28日（3）寫出結果（d）估算UD和UH（2）求V和Uv第二十八頁，共五十六頁，2022年，8月28日§1.5有效數字及其運算

一、什么叫有效數字

一般有效數字是由若干位準確數字和一位可疑數字（欠準數字）構成。

舉例：1.25 （3位有效數字） 1.250 （4位有效數字） 0.0125（3位有效數字） 1.0025（5位有效數字）第二十九頁，共五十六頁，2022年，8月28日

注意:（1）同一物體用不同精度的儀器測，有效數字的位數是不同的，精度越高，有效數字的位數越多（2）有效位數與十進制單位的變換無關（3）表示小數點位數的“0”不是有效數字；數字中間的“0”和數字尾部的“0”都是有效數字。數據尾部的“0”不能隨意舍掉，也不能隨意加上第三十頁，共五十六頁，2022年，8月28日

二、有效數字運算規則１、加減運算

尾數對齊——在小數點后所應保留的位數與諸量中小數點后位數最少的一個相同。如：11.4+2.56=14.0

75-10.356=65如：4000×9.0=3.6×1042.000÷0.10=20

２、乘除運算

位數對齊——結果有效數字的位數，一般與諸量中有效數字位數最少的一個相同。第三十一頁，共五十六頁，2022年，8月28日3、某些常見函數運算的有效位數

（1）對數函數尾數的位數取得與真數的位數相同(舊書有誤)；（2）指數函數的有效數字，可與指數的小數點后的位數（包括緊接在小數點后的零）相同；第三十二頁，共五十六頁，2022年，8月28日

（4）常數的有效位數可以認為是無限的，實際計 算中一般比運算中有效數字位數多取1位；（3）三角函數的取位隨角度的有效位數而定；第三十三頁，共五十六頁，2022年，8月28日2、最佳值或測量值末位與不確定度末位對齊。三、不確定度和測量結果的數字化整規則

1、不確定度的有效位數1~2位

本書約定不確定度只保留1位。

相對不確定度1~2位。

尾數采用四舍六入五湊偶

如：1.4=1，1.6=2，1.5=2，2.5=2

第三十四頁，共五十六頁，2022年，8月28日小結實驗中如何確定數據的有效位數？

在實驗中我們所得的測量結果都是可能含有誤差的數值，對這些數值不能任意取舍，應反映出測量值的準確度。所以在記錄數據、計算以及書寫測量結果時，應根據測量誤差或實驗結果的不確定度來定出究竟應取幾位有效位數。第三十五頁，共五十六頁，2022年，8月28日舉例：

1.直接測量量（原始數據）的讀數應反映儀器的準確度游標類器具（游標卡尺、分光計度盤、大氣壓計等）一般讀至游標最小分度的整數倍，即不需估讀。第三十六頁，共五十六頁，2022年，8月28日數顯儀表及有十進步式標度盤的儀表（電阻箱、電橋、電位差計、數字電壓表等）一般應直接讀取儀表的示值。第三十七頁，共五十六頁，2022年，8月28日指針式儀表及其它器具，讀數時估讀到儀器最小分度的1/2～1/10，或使估讀間隔不大于儀器基本誤差限的1/5～1/3。第三十八頁，共五十六頁，2022年，8月28日注意指針指在整刻度線上時讀數的有效位數。第三十九頁，共五十六頁，2022年，8月28日§1.6常用的數據處理方法一、列表法

列表法是將實驗上得到的數據按一定的規律列成表格。它的的優點是：能使物理量之間對應關系清晰明了，有助于發現實驗中的規律，也有易于發現實驗中的差錯，列表法又是其他數據處理的基礎應當熟練掌握。列表要求見書p30（舊書p24頁）第四十頁，共五十六頁，2022年，8月28日作圖法可形象、直觀地顯示出物理量之間的函數關系，也可用來求某些物理參數，因此它是一種重要的數據處理方法。作圖時要先整理出數據表格，并要用坐標紙作圖。1.選擇合適的坐標分度值，確定坐標紙的大小坐標分度值的選取應能基本反映測量值的準確度或精密度。根據表１數據U軸可選1mm對應于0.10V，I軸可選1mm對應于0.20mA，并可定坐標紙的大小（略大于坐標范圍、數據范圍）約為130mm×130mm。作圖步驟：實驗數據列表如下.

表1：伏安法測電阻實驗數據二、作圖法第四十一頁，共五十六頁，2022年，8月28日2.標明坐標軸：

用粗實線畫坐標軸，用箭頭標軸方向，標坐標軸的名稱或符號、單位,再按順序標出坐標軸整分格上的量值。I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.004.連成圖線：

用直尺、曲線板等把點連成直線、光滑曲線。一般不強求直線或曲線通過每個實驗點，應使圖線兩邊的實驗點與圖線最為接近且分布大體均勻。。3.標實驗點：實驗點可用“”、“”、“”等符號標出（同一坐標系下不同曲線用不同的符號）。第四十二頁，共五十六頁，2022年，8月28日5.標出圖線特征：在圖上空白位置標明實驗條件或從圖上得出的某些參數。如利用所繪直線可給出被測電阻R大小：從所繪直線上讀取兩點A、B的坐標就可求出R值。I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00電阻伏安特性曲線6.標出圖名：

在圖線下方或空白位置寫出圖線的名稱及某些必要的說明。A(1.00,2.76)B(7.00,18.58)由圖上A、B兩點可得被測電阻R為：至此一張圖才算完成第四十三頁，共五十六頁，2022年，8月28日不當圖例展示：nλ(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲線圖圖1曲線太粗，不均勻，不光滑。應該用直尺、曲線板等工具把實驗點連成光滑、均勻的細實線。第四十四頁，共五十六頁，2022年，8月28日nλ(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲線圖改正為：第四十五頁，共五十六頁，2022年，8月28日圖2I(mA)U(V)02.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.001.003.00電學元件伏安特性曲線橫軸坐標分度選取不當。橫軸以3cm

代表1V，使作圖和讀圖都很困難。實際在選擇坐標分度值時，應既滿足有效數字的要求又便于作圖和讀圖，一般以1mm代表的量值是10的整數次冪或是其2倍或5倍。第四十六頁，共五十六頁，2022年，8月28日I(mA)U(V)o1.002.003.004.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.00電學元件伏安特性曲線改正為：第四十七頁，共五十六頁，2022年，8月28日定容氣體壓強～溫度曲線1.20001.60000.80000.4000圖3P(×105Pa)t(℃)60.00140.00100.00o120.0080.0040.0020.00圖紙使用不當。實際作圖時，坐標原點的讀數可以不從零開始。第四十八頁，共五十六頁，2022年，8月28日定容氣體壓強～溫度曲線1.00001.15001.20001.10001.0500

P(×105Pa)50.0090.0070.0020.0080.0060.0040.0030.00t(℃)改正為：第四十九頁，共五十六頁，2022年，8月28日三、逐差法逐差法是對等間距測量的有序數據，進行逐項或相等間隔相減得到結果。它計算簡便，并可充分利用數據，及時發現差錯，總結規律，是物理實驗中常用的一種數據處理方法。使用條件：（1）自變量x是等間距變化（2）被測物理量之間函數形式可以寫成x的多項式：分類：逐差法逐項逐差（用于驗證被測量之間是否存在多項式函數關系）分組逐差（用于求多項式的系數）第五十頁，共五十六頁，2022年，8月28日應用舉例（拉伸法測彈簧的倔強系數）設實驗中，等間隔地在彈簧下加砝碼（如每次加一克），共加9次，分別記下對應的彈簧下端點的位置L0L1L2‥‥‥L9

，則可用逐差法進行以下處理（1）驗證函數形式是線性關系看⊿L1⊿L2‥‥‥⊿L9是否基本相等.當⊿Li基本相等時,就驗證了外力與彈簧的伸長量之間的函數關系是線性的，即F=k⊿L用此法可檢查測量結果是否正確，但注意的是必須用逐項逐差（1.6—1）把所得的數據逐項