《第2章實數》（廣東省深圳市福苑學校）一、選擇題1．有下列說法：（1）無理數就是開方開不盡的數；（2）無理數是無限不循環小數；（3）無理數包括正無理數、零、負無理數；（4）無理數都可以用數軸上的點來表示．其中正確的說法的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．42．2的平方根是（）A．﹣ B．±0.7 C． D．3．能與數軸上的點一一對應的是（）A．整數 B．有理數 C．無理數 D．實數4．如果一個實數的平方根與它的立方根相等，則這個數是（）A．0 B．正實數 C．0和1 D．15．下列說法錯誤的是（）A．a2與（﹣a）2相等 B．與互為相反數C．與是互為相反數 D．﹣|a|與|﹣a|互為相反數6．下列說法正確的是（）A．是的一個平方根B．正數有兩個平方根，且這兩個平方根之和等于0C．72的平方根是7D．負數有一個平方根7．下列各數中，不是無理數的是（）A．B．C．2πD．…（兩個5之間依次多1個1）8．下列說法正確的是（）A．﹣的立方根是 B．16的立方根是C．﹣9的平方根是±3 D．的立方根是9．若規定誤差小于1，那么的估算值為（）A．3 B．7 C．8 D．7或810．若=﹣a，則實數a在數軸上的對應點一定在（）A．原點左側 B．原點右側C．原點或原點左側 D．原點或原點右側11．若，則a與b的關系是（）A．a=b=0 B．a=b C．a+b=0 D．12．若一個自然數的算術平方根是m，則此自然數的下一個自然數（即相鄰且更大的自然數）的算術平方根是（）A． B．m2+1 C．m+1 D．二、填空題13．在數軸上表示﹣的點離原點的距離是．14．一個正數n的兩個平方根為m+1和m﹣3，則m=，n=．15．若﹣是m的一個平方根，則m+20的算術平方根是．16．實數a、b在數軸上的位置如圖，則化簡=．三、解答題17．將下列各數填入相應的集合內．﹣7，，，0，，，，π，…①有理數集合{…}②無理數集合{…}③負實數集合{…}．18．化簡①+3﹣5②（﹣）③||+|﹣2|﹣|﹣1|19．求下列x的值．（1）3x3=﹣81；（2）x2﹣=0．20．一個正數x的平方根是2a﹣3與5﹣a，則x是多少？21．如圖：A，B兩點的坐標分別是（2，），（3，0）．（1）將△OAB向下平移個單位求所得的三角形的三個頂點的坐標；（2）求△OAB的面積．22．小明買了一箱蘋果，裝蘋果的紙箱的尺寸為50×40×30（長度單位為厘米），現小明要將這箱蘋果分裝在兩個大小一樣的正方體紙箱內，問這兩個正方體紙箱的棱長為多少厘米？（結果精確到1cm）23．已知a、b滿足+|b﹣|=0，解關于x的方程（a+2）x+b2=a﹣1．24．小芳想在墻壁上釘一個三角架（如圖），其中兩直角邊長度之比為3：2，斜邊長厘米，求兩直角邊的長度．25．已知，a、b互為倒數，c、d互為相反數，求的值．

《第2章實數》（廣東省深圳市福苑學校）參考答案與試題解析一、選擇題1．有下列說法：（1）無理數就是開方開不盡的數；（2）無理數是無限不循環小數；（3）無理數包括正無理數、零、負無理數；（4）無理數都可以用數軸上的點來表示．其中正確的說法的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點】無理數．【分析】根據無理數的定義以及實數的分類即可作出判斷．【解答】解：（1）π是無理數，而不是開方開不盡的數，則命題錯誤；（2）無理數就是無限不循環小數，則命題正確；（3）0是有理數，不是無理數，則命題錯誤；（4）正確；故選B．【點評】此題主要考查了無理數的定義，其中初中范圍內學習的無理數有：π，2π等；開方開不盡的數；以及像…，等有這樣規律的數．2．（﹣）2的平方根是（）A．﹣ B．±0.7 C． D．【考點】平方根．【專題】計算題．【分析】根據平方根的定義，求數a的平方根，也就是求一個數x，使得x2=a，則x就是a的平方根．【解答】解：∵（﹣）2=，又∵（±）2=，∴的平方根是±．故選B．【點評】本題考查了平方根的定義．注意一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根．3．能與數軸上的點一一對應的是（）A．整數 B．有理數 C．無理數 D．實數【考點】實數與數軸．【分析】根據實數與數軸上的點是一一對應關系，即可得出．【解答】解：根據實數與數軸上的點是一一對應關系．故選：D．【點評】本題考查了實數與數軸的對應關系，任意一個實數都可以用數軸上的點表示；反之，數軸上的任意一個點都表示一個實數．數軸上的任一點表示的數，不是有理數，就是無理數．4．如果一個實數的平方根與它的立方根相等，則這個數是（）A．0 B．正實數 C．0和1 D．1【考點】立方根；平方根．【專題】應用題．【分析】根據立方根和平方根的性質可知，只有0的立方根和它的平方根相等，解決問題．【解答】解：0的立方根和它的平方根相等都是0；1的立方根是1，平方根是±1，∴一個實數的平方根與它的立方根相等，則這個數是0．故選A．【點評】此題主要考查了立方根的性質：一個正數的立方根是正數，一個負數的立方根是負數，0的立方根式0．注意一個數的立方根與原數的性質符號相同，一個正數的平方根有兩個他們互為相反數．5．下列說法錯誤的是（）A．a2與（﹣a）2相等 B．與互為相反數C．與是互為相反數 D．﹣|a|與|﹣a|互為相反數【考點】實數的性質；相反數．【分析】根據互為相反數的平方相等，只有符號不同的兩個數互為相反數，可得答案．【解答】解：A、a2與（﹣a）2是互為相反數的平方相等是正確的，不符合題意；B、與是相等的數，故B錯誤，符合題意；C、被開方數互為相反數的立方根互為相反數，故C正確，不符合題意；D、﹣|a|與|﹣a|互為相反數，故D正確，不符合題意．故選：B．【點評】此題考查了實數的性質，相反數的定義，相反數的概念：只有符號不同的兩個數叫做互為相反數．6．下列說法正確的是（）A．是的一個平方根B．正數有兩個平方根，且這兩個平方根之和等于0C．72的平方根是7D．負數有一個平方根【考點】平方根．【分析】根據平方根的定義可得是的一個平方根，負數沒有平方根，49的平方根為±7，然后分別判定即可．【解答】解：A、是的一個平方根，所以A選項不正確；B、正數有兩個平方根，它們互為相反數，所以B選項正確；C、72的平方根為±7，所以C選項不正確；D、負數沒有平方根，所以D選項不正確．故選B【點評】本題考查了平方根的定義：如果一個數的平方等于a，那么這個數叫a的平方根，記作±（a≥0）．7．下列各數中，不是無理數的是（）A．B．C．2πD．…（兩個5之間依次多1個1）【考點】無理數．【分析】A、B、C、D根據無理數、有理數的定義來求解即可．【解答】解：A、是無理數，故選項錯誤；B、是小數，即分數，是有理數，故不是無理數，故選項正確；C、2π是無理數，故選項錯誤；D、（兩個5之間依次多1個1）是無理數，故選項錯誤．故選B．【點評】此題主要考查了無理數的定義，解題要注意帶根號的要開不盡方的才是無理數，還有無限不循環小數為無理數．如π，，…（2023秋?深圳校級期末）下列說法正確的是（）A．﹣的立方根是 B．16的立方根是C．﹣9的平方根是±3 D．的立方根是【考點】立方根；平方根．【分析】A、根據立方根的定義即可判定；B、根據立方根的定義即可判定；C、根據平方根的定義即可判定；D、根據立方根的定義即可判定．【解答】解：A、﹣的立方根是﹣，故選項錯誤；B、16的立方根是，故選項正確；C、﹣9沒有平方根，故選項錯誤；D、的立方根是，故選項錯誤．故選B．【點評】主要考查了平方根和立方根的性質以及成立的條件．立方根的性質：①正數的立方根是正數，②負數的立方根是負數，③0的立方根是0．9．若規定誤差小于1，那么的估算值為（）A．3 B．7 C．8 D．7或8【考點】估算無理數的大?。痉治觥繎日业剿蟮臒o理數在哪兩個和它接近的整數之間，然后判斷出所求的無理數的范圍，由此即可求解．【解答】解：∵49＜60＜64，∴7＜＜8．故選D．【點評】此題主要考查了無理數的估算，現實生活中經常需要估算，估算應是我們具備的數學能力，“夾逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．10．若=﹣a，則實數a在數軸上的對應點一定在（）A．原點左側 B．原點右側C．原點或原點左側 D．原點或原點右側【考點】實數與數軸．【分析】根據二次根式的性質，知﹣a≥0，即a≤0，根據數軸表示數的方法即可求解．【解答】解：∵=﹣a，∴a≤0，故實數a在數軸上的對應點一定在原點或原點左側．故選C．【點評】此題主要考查了二次根式的性質：≥0，然后利用熟知數軸的這是即可解答．11．若，則a與b的關系是（）A．a=b=0 B．a=b C．a+b=0 D．【考點】立方根．【分析】根據立方根的和為0，可得被開數互為相反數，可得答案．【解答】解：若，則a與b的關系是a+b=0，故選：C．【點評】本題考查了立方根，注意立方根互為相反數被開方數互為相反數．12．若一個自然數的算術平方根是m，則此自然數的下一個自然數（即相鄰且更大的自然數）的算術平方根是（）A． B．m2+1 C．m+1 D．【考點】實數．【分析】先求出這個數，然后加1求出下一個自然數，再根據算術平方根的定義寫出即可．【解答】解：∵自然數的算術平方根為m，∴自然數是m2，∴下一個自然數是m2+1，它的算術平方根是．故選A．【點評】本題考查了算術平方根，表示出下一個自然數是解題的關鍵．二、填空題13．在數軸上表示﹣的點離原點的距離是．【考點】實數與數軸．【分析】本題利用實數與數軸的關系即可解答．【解答】解：數軸上表示﹣的點離原點的距離是|﹣|即；故答案為．【點評】此題主要考查了數軸的點到原點的距離與點所表示的數的對應關系，在數軸上一個負數到原點的距離是這個數的絕對值．14．一個正數n的兩個平方根為m+1和m﹣3，則m=1，n=4．【考點】平方根．【專題】計算題．【分析】根據正數的平方根有2個，且互為相反數列出關于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，進而求出n的值．【解答】解：根據題意得：m+1+m﹣3=0，解得：m=1，即兩個平方根為2和﹣2，則n=4．故答案為：1；4【點評】此題考查了平方根，熟練掌握平方根的定義是解本題的關鍵．15．若﹣是m的一個平方根，則m+20的算術平方根是5．【考點】算術平方根；平方根．【專題】計算題．【分析】根據平方根定義求出m的值，即可得到結果．【解答】解：根據題意得：m=5，∴m+20=25，則25的算術平方根為5．故答案為：5．【點評】此題考查了算術平方根，以及平方根，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵．16．實數a、b在數軸上的位置如圖，則化簡=﹣2a．【考點】二次根式的性質與化簡；實數與數軸．【分析】利用數軸得出a+b＜0，b﹣a＞0，進而化簡各式得出即可．【解答】解：如圖所示：a+b＜0，b﹣a＞0，故=﹣a﹣b+（b﹣a）=﹣2a．故答案為：﹣2a．【點評】此題主要考查了二次根式的性質與化簡，正確化簡各式是解題關鍵．三、解答題17．將下列各數填入相應的集合內．﹣7，，，0，，，，π，…①有理數集合{…}②無理數集合{…}③負實數集合{…}．【考點】實數．【分析】根據實數的分類：實數分為有理數、無理數．或者實數分為正實數、0、負實數．進行填空．【解答】解：=5，=2．①有理數集合{﹣7，，，0，}②無理數集合{，，π，…}③負實數集合{﹣7}．故答案是：﹣7，，，0，；，，π，…；﹣7．【點評】本題考查了實數的分類．注意0既不是正實數，也不是負實數．18．化簡①+3﹣5②（﹣）③||+|﹣2|﹣|﹣1|【考點】二次根式的混合運算．【專題】計算題．【分析】①直接合并即可；②利用二次根式的乘法法則運算；③先去絕對值，然后合并即可．【解答】解：①原式=﹣；②原式=1﹣6=﹣5；③原式=﹣+2﹣+﹣1=1．【點評】本題考查了二次根式的混合運算：先把各二次根式化簡為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可．19．求下列x的值．（1）3x3=﹣81；（2）x2﹣=0．【考點】立方根；平方根．【分析】（1）先將原式變形為x3=a的形式，然后利用立方根的定義求解即可；（2）先將原式變形為x2=a的形式，然后利用平方根的性質求解即可．【解答】解：（1）系數化為1得：x3=﹣27，∴x=﹣3；（2）移項得：∴，．【點評】本題主要考查的是平方根和立方根，掌握平方根和立方根的定義和性質是解題的關鍵．20．一個正數x的平方根是2a﹣3與5﹣a，則x是多少？【考點】平方根．【分析】根據一個正數的平方根互為相反數，可得a的值，再根據平方，可得被開方數．【解答】解：（2a﹣3）+（5﹣a）=0，a=﹣2，2a﹣3=﹣7，（2a﹣3）2=（﹣7）2=49．【點評】本題考查了平方根，根據平方根互為相反數，求出平方根，再求出被開方數．21．如圖：A，B兩點的坐標分別是（2，），（3，0）．（1）將△OAB向下平移個單位求所得的三角形的三個頂點的坐標；（2）求△OAB的面積．【考點】二次根式的應用；坐標與圖形變化-平移．【分析】（1）將△OAB向下平移個單位，此時點A在x軸上；將△OAB各點的橫坐標不變，縱坐標減去即可得到平移后的各點的坐標；（2）△OAB的面積=OB×點A的縱坐標÷2，把相關數值代入即可求解．【解答】解：（1）∴所得的三角形的三個頂點的坐標為A′（2，0），O′（0，﹣），B′（3，﹣）；（2）△OAB的面積=×3×=．【點評】此題考查了二次根式的應用及平移變化的知識，用到的知識點為：三角形的面積等于底與高積的一半；上下平移只改變點的縱坐標，上加下減．22．小明買了一箱蘋果，裝蘋果的紙箱的尺寸為50×40×30（長度單位為厘米），現小明要將這箱蘋果分裝在兩個大小一樣的正方體紙箱內，問這兩個正方體紙箱的棱長為多少厘米？（結果精確到1cm）【考點】立方根；近似數和有效數字．【分析】由題意知兩個正方形的體積和長方體的體積相等，設正方體的棱長為x，根據正方體的體積公式和立方根的定義即可列出關系式求出x．【解答】解：設正方體的棱長為x，由題意知，2x3=50×40×30，解得x≈31，故這兩個正方體紙箱的棱長31厘米．【點評】本題主要考查立方根和近似數和有效數字等知識點，解題關鍵是根據正方體的體積公式列出方程求出棱長．23．已知a、b滿足+|b﹣|=0，解關于x的方程（a+2）x+b2=a﹣1