弧長和扇形面積（第1課時）荊門市鐘祥東方之星外國語學(xué)校彭元超一、教學(xué)內(nèi)容解析本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容為人教版義務(wù)教育教科書九年級數(shù)學(xué)上冊《弧長與扇形面積》第1課時，這是一節(jié)公式推導(dǎo)及應(yīng)用課.這個課題是在學(xué)生學(xué)習(xí)了“圓的認(rèn)識”，“點和圓、直線和圓的位置關(guān)系”，“正多邊形和圓”等知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行的.弧長與扇形面積公式是與圓有關(guān)的計算中的常用公式，應(yīng)用弧長和扇形面積公式可以計算一些與圓有關(guān)的圖形的周長和面積，也可以解決一些簡單的實際問題，學(xué)習(xí)這兩個公式也為圓錐側(cè)面積公式的推導(dǎo)打下了基礎(chǔ)．弧長公式是在圓周長公式的基礎(chǔ)上，借助部分與整體之間的聯(lián)系推導(dǎo)出來的．運用相同的研究方法，可以在圓面積公式的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出扇形面積公式，進(jìn)而通過弧長公式表示扇形面積．基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點是：弧長和扇形面積公式的推導(dǎo)及運用．二、教學(xué)目標(biāo)解析根據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，確定以下教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：了解扇形概念，理解的圓心角所對的弧長與扇形面積的計算公式并熟練運用公式解決問題.過程與方法：從圓的周長和面積公式入手，經(jīng)歷特殊到一般的過程，由整體到部分，探究從的圓心角所對的弧長，進(jìn)而類比探究扇形面積的計算公式，能利用弧長表示扇形面積；在弧長和扇形面積計算公式的探究過程中，感受轉(zhuǎn)化和類比的數(shù)學(xué)思想等．情感態(tài)度與價值觀：通過用弧長和扇形面積公式解決實際問題，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)來源于生活又服務(wù)于生活．三、學(xué)生學(xué)情診斷圓的周長和面積公式都是學(xué)生已經(jīng)掌握的內(nèi)容，學(xué)生能夠感知到弧長和扇形面積分別與圓周長面積有關(guān)，對于半圓,四分之一圓等特殊情形有一定的基礎(chǔ)，但是對于公式推導(dǎo)過程中對圓心角的作用不易理解，所以教學(xué)時先利用特殊情況進(jìn)行引導(dǎo)：先知道360o的圓心角所對的弧長即圓的周長，試求圓心角為180o和90o所對的弧長；然后求1o圓心角所對的弧長；再通過求2o，5o的圓心角所對的弧長，逐漸認(rèn)識弧長；最后探究圓心角所對的弧長，并通過圓心角與1o的圓心角的倍數(shù)關(guān)系得出弧長公式．扇形面積公式的推導(dǎo)過程也類似．基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)難點是：弧長和扇形面積公式的推導(dǎo)．四、教學(xué)策略分析根據(jù)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生學(xué)情診斷，聯(lián)系生活實際創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，采用啟發(fā)式與自主探究相結(jié)合的模式，應(yīng)用幾何畫板動態(tài)演示，結(jié)合學(xué)案引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)．五、教學(xué)過程設(shè)計(一)創(chuàng)設(shè)情境激發(fā)興趣以2016年里約奧運會男子200米決賽視頻引入課題．問題：每位運動員的起跑位置相同嗎？設(shè)計意圖：以學(xué)生熟悉的體育比賽情景引入課題，增強(qiáng)學(xué)生注意力，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知的熱情，感受數(shù)學(xué)源于生活．同時也為教材中“實驗與探究——設(shè)計跑道”的學(xué)習(xí)做鋪墊．(二)探究新知鞏固運用活動1弧長公式的探索與運用1．出示問題：（1）設(shè)圓的半徑為R，當(dāng)點B運動一周時的路徑也就是圓周長為多少？（2）圓周長可以看做圓心角是多少度所對的弧長？（3）你能求出圓心角是180o和90o所對的弧長嗎？（4）1°的圓心角所對的弧長是多少？2°，5°呢？（5）的圓心角所對的弧長是多少？（公式得出后板書弧長公式）（6）弧長由哪些量決定？公式中的表示什么意義？師生活動：通過幾何畫板動態(tài)演示點B在半徑為R的圓上運動一周，引導(dǎo)學(xué)生思考并回答問題（1）和（2）；再通過動態(tài)演示，使學(xué)生能求出特殊的圓心角所對的弧長，完成問題（3）；學(xué)生討論得出1°的弧長是圓周長的，為，2°的弧長為1°的弧長的2°倍，為，5°的弧長為1°的弧長的5倍，為，從而解決問題（4）；對于問題（5），讓學(xué)生獨立思考得出的圓心角所對的弧長是1°的圓心角所對的弧長的倍，為；采用師生對話的方式，剖析確定弧長的因素以及公式中的意義，完成問題（6）的解答．設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圓心角的大小，讓學(xué)生經(jīng)歷弧長公式的推導(dǎo)過程，體驗從整體到部分，從特殊到一般的研究方法.通過剖析弧長公式，讓學(xué)生明確公式中意義，以及公式中和180是不帶單位的．2．試一試：（1）已知圓弧的半徑為3cm，圓心角為120o，則圓弧的長度為cm．（2）75o的圓心角所對弧長是cm，則此弧所在圓的半徑是cm．設(shè)計意圖：及時鞏固弧長公式，讓學(xué)生掌握公式中弧長、半徑和圓心角三者之間的換算關(guān)系，有效滲透方程思想．3．實際應(yīng)用：例1工人王師傅要制作一個如圖1所示的彎形管道，為了合理下料，就要先按中心線計算“展直長度”.請你幫王師傅算一下圖1所示彎形管道的展直長度L．師生活動：（1）學(xué)生分析題中條件和解題思路：管道由三個圖形組成，要求展直長度L，需要知道兩條線段長和弧長；其中線段長已知，要求弧長需要知道圓心角和半徑，而這些條件已經(jīng)給出了，由弧長公式即可求出，進(jìn)而可求展直長度L．（2）學(xué)生獨立完成解題過程，一名學(xué)生展示，師生共同交流．設(shè)計意圖：設(shè)計實際問題背景，培養(yǎng)學(xué)生從圖形中獲取相關(guān)信息的能力，引導(dǎo)學(xué)生分步分析，分步計算，讓學(xué)生能熟練運用弧長公式進(jìn)行計算，進(jìn)而體會數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)于生活．活動2扇形面積公式的探索與運用1．問題引入：草坪上的自動噴水裝置能旋轉(zhuǎn)220°，它的噴射半徑是20m，問它能噴灌的草坪面積有多大？師生活動：教師用幾何畫板動態(tài)演示，引出噴灌區(qū)域是一個扇形，由觀察圖形得出扇形概念．2．出示問題：（1）如何求扇形的面積呢？請你類比弧長公式的推導(dǎo)方法，探究扇形面積公式．師生活動：學(xué)生獨立思考后分小組討論，教師深入其中參與小組互動，引導(dǎo)學(xué)生類比研究弧長公式的方法推導(dǎo)扇形面積公式，探究后小組展示，教師點評．（公式得出后板書）（2）扇形面積由哪些量決定？公式中表示什么意義？設(shè)計意圖：讓學(xué)生自主探究扇形面積公式，經(jīng)歷知識的形成過程，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識和表達(dá)能力.通過剖析扇形面積公式，讓學(xué)生明確公式中的意義，以及公式中和360是不帶單位的．（3）你能運用扇形面積公式求出上述問題中噴灌草坪的面積嗎？設(shè)計意圖：讓學(xué)生應(yīng)用扇形面積公式解決實際問題，及時鞏固扇形面積公式．（4）若一個扇形的弧長為cm，半徑為6cm，你能求出這個扇形的面積嗎? 師生活動：學(xué)生獨立思考，運用弧長公式求出圓心角為120o后，再利用推導(dǎo)的扇形面積公式，求出扇形面積，并在全班交流解決問題的方法.教師適時追問：還有沒有其他解決方法呢？學(xué)生小組討論，合作探究得到扇形面積的第二個公式．設(shè)計意圖：通過對問題（4）的研究，鞏固弧長公式和扇形面積公式，適時設(shè)疑追問，激發(fā)學(xué)生探究欲望，引發(fā)學(xué)生思維碰撞，學(xué)生在相互交流中探索求扇形面積的第二個計算公式，有效培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和發(fā)散思維能力，體驗成功的快樂，同時為圓錐側(cè)面積公式的推導(dǎo)做鋪墊．3．實際應(yīng)用：圖2例2今年7月18日至20日，我市遭受強(qiáng)降雨襲擊，某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，通知維修人員到場檢測，維修員畫出水平放置的破裂管道的截面圖（如圖2），維修員量得這個輸水管道的截面半徑是0.6m，水面最深地方的高度是0.3m．請你求出這個破裂管道有水部分的面積（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）．圖2問題：（1）你能否在圖中標(biāo)出截面半徑0.6m和水高0.3m？（2）分析截面上有水部分圖形形狀，如何求它的面積？師生活動（1）通過問題引導(dǎo)學(xué)生分析題意，畫出相應(yīng)的圖形.然后分析有水部分的形狀為弓形，確定弓形面積的計算方法．進(jìn)而通過已知求出相應(yīng)線段和圓心角即可解決本題．（2）學(xué)生獨立完成解題過程，一名學(xué)生板書，師生共同點評學(xué)生的解題過程．圖3例2變式題：如圖3，若水面繼續(xù)上漲，水面高度為0.9m，如何求截面上有水部分的面積？（設(shè)為作業(yè)中“必做題”）圖3設(shè)計意圖：結(jié)合具體例子介紹弓形的面積，滲透建模思想，加深學(xué)生對扇形面積公式的認(rèn)識，同時小結(jié)不規(guī)則圖形面積的解法：若圖形為不規(guī)則圖形，要把它轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形來解決．(三)自我診斷回顧小結(jié)問題：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生對本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行自我小結(jié)，通過小結(jié)，使學(xué)生梳理本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，把握本節(jié)課的核心：弧長和扇形面積，并體會部分與整體之間的聯(lián)系和類比，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．(四)布置作業(yè)分層訓(xùn)練1．必做題：教材P113第3題，P115第2題，例2變式題2．選做題：現(xiàn)在你知道200米六、目標(biāo)檢測設(shè)計如圖4，把Rt△ABC的斜邊放在直線上，按順時針方向轉(zhuǎn)動兩次，到Rt△A′′B′′C′′的位置，則點A′′在直線上．若BC=1，∠A=30°．（1）點A經(jīng)過的路線有多長？（2）點A經(jīng)過的路線與直線l所圍成的面積是多少？圖4設(shè)計意圖：考查學(xué)生對弧長公式和扇形面積公式的掌握情況.圖4附板書設(shè)計：弧長和扇形面積1．弧長公式：．2．扇形面積公式：學(xué)生板演 教學(xué)反思：本節(jié)課的主要內(nèi)容是在小學(xué)階段學(xué)過的圓周長和面積公式的基礎(chǔ)上，采用由特殊到一般的方法探索弧長及扇形面積公式，利用小組合作的方式讓學(xué)生更好的理解弧長和扇形的面積的形成過程，讓學(xué)生充分經(jīng)歷知識的形成過程，滲透數(shù)學(xué)思想方法.1.創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣從學(xué)生熟悉的情境引入（200米決賽），用不同道次的起跑位置不同，引入弧長的計算問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知的熱情，將學(xué)生的注意力吸引至課堂，使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實問題密不可分，同時也為實驗探究課——設(shè)計跑道的學(xué)習(xí)做鋪墊．另外，我對教材中的兩個例題設(shè)計實際生活情景，對調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情有著積極的作用2．設(shè)計活動，關(guān)注知識形成過程在探究弧長公式時，先讓學(xué)生從熟悉的半圓，四分之一圓開始，經(jīng)歷計算，觀察，發(fā)現(xiàn)，猜想進(jìn)而說理的過程，自主歸納出弧長公式，在“操作觀察—猜想探索—說理驗證”的過程中，學(xué)生通過填表、合作探究，始終參與知識的產(chǎn)生發(fā)展形成應(yīng)用的過程．在探究扇形面積公式時，利用實際問題引入，借助幾何畫板動態(tài)演示扇形，引出扇形定義，繼而提出問題：要求噴灌草坪的面積就是要求扇形的面積，如何求扇形面積？再引導(dǎo)學(xué)生類比弧長計算公式的推導(dǎo)方法，通過獨立思考、小組互助、全班交流等活動，最終推導(dǎo)出扇形面積公式，從而解決實際問題．3．巧妙設(shè)疑，引發(fā)學(xué)生思維碰撞設(shè)計問題“一個扇形的弧長為cm，半徑為6cm，求這個扇形的面積”，學(xué)生在探索交流解決問題的方法時，產(chǎn)生兩種觀點：一是先運用弧長公式求出圓心角的度數(shù)，再運用扇形面積公式求出扇形面積；二是通過對比弧長公式和扇形面積公式發(fā)現(xiàn)更加簡潔的計算方法，即用弧長和半徑表示扇形面積.學(xué)生的思維碰撞迸發(fā)出火花，將課堂推向高潮，產(chǎn)生積極的體驗，獲得成功的快樂．4．及時鞏固，注重學(xué)生雙基訓(xùn)練在教學(xué)過程中，我采用了邊探索邊練習(xí)鞏固的方式，意想在知識的應(yīng)用中強(qiáng)化思考問題的方法．本節(jié)課我設(shè)置兩個例題和部分練習(xí)，