初二動點問題如圖，在直角梯形ABCD中，AD〃BC,NB=90°,AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,動點P從a開始沿AD邊向D以1cm/s的速度運動；動點Q從點C開始沿CB邊向B以3cm/s的速度運動.P、Q分別從點A、C同時出發，當其中一點到達端點時，另外一點也隨之停止運動，設運動時間為ts.(1)當t為何值時，四邊形PQCD為平行四邊形？(2)當t為何值時，四邊形PQCD為等腰梯形？(3)當t為何值時，四邊形PQCD為直角梯形？/分析：(1)四邊形PQCD為平行四邊形時PD=CQ.(2)四邊形PQCD為等腰梯形時QC-PD=2CE.(3)四邊形PQCD為直角梯形時QC-PD=EC.所有的關系式都可用含有t的方程來表示，即此題只要解三個方程即可.解答：解：(1)二?四邊形PQCD平行為四邊形???PD=CQ二24-t=3t解得：t=6即當t=6時，四邊形PQCD平行為四邊形./(2)過D作DEXBC于E則四邊形ABED為矩形.??BE=AD=24cm??.EC=BC-BE=2cm???四邊形PQCD為等腰梯形.QC-PD=2CE即3t-(24-t)=4解得：t=7(s)即當t=7(s)時，四邊形PQCD為等腰梯形.(3)由題意知：QC-PD=EC時，四邊形PQCD為直角梯形即3t-(24-t)=2解得：t=6.5(s)即當t=6.5(s)時，四邊形PQCD為直角梯形.點評：此題主要考查了平行四邊形、等腰梯形，直角梯形的判定，難易程度適中.如圖，4ABC中，點O為AC邊上的一個動點，過點O作直線MN〃BC,設MN交NBCA的外角平分線CF于點F,交NACB內角平分線CE于E.(1)試說明EO=FO；(2)當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形并證明你的結論；(3)若AC邊上存在點O,使四邊形AECF是正方形，猜想^ABC的形狀并證明你的結論./分析：(1)根據CE平分NACB,MN〃BC,找到相等的角，即NOEC=NECB,再根據等邊對等角得OE=OC,同理OC=OF,可得EO=FO.(2)利用矩形的判定解答，即有一個內角是直角的平行四邊形是矩形.(3)利用已知條件及正方形的性質解答.解答：解：(1)：CE平分NACB,AZACE=ZBCE,「MN〃BC,AZOEC=ZECB,AZOEC=ZOCE,.??OE=OC,同理，OC=OF,AOE=OF.(2)當點O運動到AC中點處時，四邊形AECF是矩形.如圖AO=CO,EO=FO,.四邊形AECF為平行四邊形，VCE平分/ACB,AZACE=/ZACB,同理，NACF=/ZACG,AZECF=ZACE+ZACF=/(ZACB+ZACG)=/X180°=90°,??四邊形AECF是矩形.(3)AABC是直角三角形??四邊形AECF是正方形，，?AC，EN,故NAOM=90°,「MN〃BC,AZBCA=ZAOM,AZBCA=90°,.△ABC是直角三角形.點評：本題主要考查利用平行線的性質”等角對等邊”證明出結論(1),再利用結論(1)和矩形的判定證明結論(2),再對(3)進行判斷.解答時不僅要注意用到前一問題的結論，更要注意前一問題為下一問題提供思路，有相似的思考方法.是矩形的判定和正方形的性質等的綜合運用.如圖，直角梯形ABCD中，AD〃BC,NABC=90°,已知AD=AB=3,BC=4,動點P從B點出發，沿線段BC向點C作勻速運動；動點Q從點D出發，沿線段DA向點A作勻速運動.過Q點垂直于AD的射線交AC于點M,交BC于點N.P、Q兩點同時出發，速度都為每秒1個單位長度.當Q點運動到A點，P、Q兩點同時停止運動.設點Q運動的時間為t秒.(1)求NC,MC的長(用t的代數式表示)；(2)當t為何值時，四邊形PCDQ構成平行四邊形；(3)是否存在某一時刻，使射線QN恰好將4ABC的面積和周長同時平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由；(4)探究：t為何值時，4PMC為等腰三角形./分析：(1)依據題意易知四邊形ABNQ是矩形...NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ,BC、AD已知，DQ就是t,即解；?.?AB〃QN,，^CMNs^CAB,，CM：CA=CN：CB,(2)CB、CN已知，根據勾股定理可求CA=5,即可表示CM；四邊形PCDQ構成平行四邊形就是PC=DQ,列方程4-t=t即解；(3)可先根據QN平分4ABC的周長，得出MN+NC=AM+BN+AB,據此來求出t的值.然后根據得出的t的值，求出^MNC的面積，即可判斷出^MNC的面積是否為^ABC面積的一半，由此可得出是否存在符合條件的t值.(4)由于等腰三角形的兩腰不確定，因此分三種情況進行討論：①當MP=MC時，那么PC=2NC,據此可求出t的值.②當CM=CP時，可根據CM和CP的表達式以及題設的等量關系來求出t的值.③當MP=PC時，在直角三角形MNP中，先用t表示出三邊的長，然后根據勾股定理即可得出t的值.綜上所述可得出符合條件的t的值.解答：解：(1)：AQ=3-t.?.CN=4-(3-t)=1+t在RtAABC中，AC2=AB2+BC2=32+42AAC=5在RtAMNC中，cosZNCM=/=/,CM=/.(2)由于四邊形PCDQ構成平行四邊形APC=QD,即4-t=t解得t=2.(3)如果射線QN將4ABC的周長平分，則有：MN+NC=AM+BN+AB即：/(1+t)+1+t=/(3+4+5)解得：t=/(5分)而MN=/NC=/(1+t)ASAMNC=/(1+t)2=/(1+t)2當t=/時，SAMNC=(1+t)2=/W/X4X3???不存在某一時刻t,使射線QN恰好將^ABC的面積和周長同時平分./(4)①當MP=MC時(如圖1)貝U有：NP=NC即PC=2NC.4-t=2(1+t)解得：t=/②當CM=CP時(如圖2)則有：/(1+t)=4-t解得：t=/③當PM=PC時(如圖3)則有：在RtAMNP中，PM2=MN2+PN2而MN=/NC=/(1+t)PN=NC-PC=(1+t)-(4-t)=2t-3：.[/(1+t)]2+(2t-3)2=(4-t)2解得：t1=/,t2=-1(舍去).?.當t=/,t=/,t=/時，4PMC為等腰三角形點評：此題繁雜，難度中等，考查平行四邊形性質及等腰三角形性質.考查學生分類討論和數形結合的數學思想方法.如圖，在矩形ABCD中，BC=20cm,P,Q,M,N分別從A,B,C,D出發沿AD,BC,CB,DA方向在矩形的邊上同時運動，當有一個點先到達所在運動邊的另一個端點時，運動即停止.已知在相同時間內，若BQ=xcm(xW0),則AP=2xcm,CM=3xcm,DN=x2cm./(1)當x為何值時，以PQ,MN為兩邊，以矩形的邊(AD或BC)的一部分為第三邊構成一個三角形；(2)當x為何值時，以P,Q,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形；(3)以P,Q,M,N為頂點的四邊形能否為等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，請說明理由.分析：以PQ,MN為兩邊，以矩形的邊(AD或BC)的一部分為第三邊構成一個三角形的必須條件是點P、N重合且點Q、M不重合，此時AP+ND=AD即2x+x2=20cm,BQ+MCWBC即x+3xW20cm；或者點Q、M重合且點P、N不重合，此時AP+NDWAD即2x+x2W20cm,BQ+MC=BC即x+3x=20cm.所以可以根據這兩種情況來求解x的值.以P,Q,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形的話，因為由第一問可知點Q只能在點M的左側.當點P在點N的左側時，AP=MC,BQ=ND；當點P在點N的右側時，AN=MC,BQ=PD.所以可以根據這些條件列出方程關系式.如果以P,Q,M,N為頂點的四邊形為等腰梯形，則必須使得AP+NDWAD即2x+x2W20cm,BQ+MCWBC即x+3xW20cm,AP=ND即2x=x2,BQ=MC即x=3x,xW0.這些條件不能同時滿足，所以不能成為等腰梯形.解答：解：(1)當點P與點N重合或點Q與點M重合時，以PQ,MN為兩邊，以矩形的邊(AD或BC)的一部分為第三邊可能構成一個三角形.①當點P與點N重合時，由x2+2x=20,得x1=/-1,x2=-/-1(舍去).因為BQ+CM=x+3x=4(/-1)<20,此時點Q與點M不重合.所以x=/-1符合題意.②當點Q與點M重合時，由x+3x=20,得x=5.此時DN=x2=25>20,不符合題意.故點Q與點M不能重合.所以所求x的值為/-1.(2)由(1)知，點Q只能在點M的左側，①當點P在點N的左側時，由20-(x+3x)=20-(2x+x2),解得x1=0(舍去)，x2=2.當x=2時四邊形PQMN是平行四邊形.②當點P在點N的右側時，由20-(x+3x)=(2x+x2)-20,解得x1=-10(舍去)，x2=4.當x=4時四邊形NQMP是平行四邊形.所以當x=2或x=4時，以P,Q,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形.(3)過點Q,M分別作AD的垂線，垂足分別為點E,F.由于2x>x,所以點E一定在點P的左側.若以P,Q,M,N為頂點的四邊形是等腰梯形，則點F一定在點N的右側，且PE=NF,即2x-x=x2-3x.解得x1=0(舍去)，x2=4.由于當x=4時，以P,Q,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形，所以以P,Q,M,N為頂點的四邊形不能為等腰梯形.點評：本題考查到三角形、平行四邊形、等腰梯形等圖形的邊的特點.如圖，在梯形ABCD中，AD〃BC,NB=90°,AB=14cm,AD=15cm,BC=21cm,點M從點A開始，沿邊AD向點D運動，速度為1cm/s；點N從點C開始，沿邊CB向點B運動，速度為2cm/s、點M、N分別從點A、C出發，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為t秒./(1)當t為何值時，四邊形MNCD是平行四邊形？(2)當t為何值時，四邊形MNCD是等腰梯形？分析：(1)根據平行四邊形的性質，對邊相等，求得t值；(2)根據等腰梯形的性質，下底減去上底等于12,求解即可.解答：解：(1)：MD〃NC,當MD=NC,即15-t=2t,t=5時，四邊形MNCD是平行四邊形；(2)作DELBC,垂足為E,則UCE=21-15=6,當CN-MD=12時，即2t-(15-t)=12,t=9時，四邊形MNCD是等腰梯形點評：考查了等腰梯形和平行四邊形的性質，動點問題是中考的重點內容.如圖，在直角梯形ABCD中，AD〃BC,NC=90°,BC=16,DC=12,AD=21,動點P從點D出發，沿射線DA的方向以每秒2個單位長的速度運動，動點Q從點C出發，在線段CB上以每秒1個單位長的速度向點B運動，P、Q分別從點D、C同時出發，當點Q運動到點B時，點P隨之停止運動，設運動時間為t(s).(1)設4BPQ的面積為S,求S與t之間的函數關系；(2)當t為何值時，以B、P、Q三點為頂點的三角形是等腰三角形？/分析：(1)若過點P作PMXBC于M,則四邊形PDCM為矩形，得出PM=DC=12,由QB=16-t,可知：s=/PMXQB=96-6t；(2)本題應分三種情況進行討論，①若PQ=BQ,在RtAPQM中，由PQ2=PM2+MQ2,PQ=QB,將各數據代入，可將時間t求出；②若BP=BQ，在RtAPMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，將數據代入，可將時間t求出；③若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，將數據代入，可將時間t求出.解答：解：(1)過點P作PMXBC于M,則四邊形PDCM為矩形..??PM=DC=12,?.?QB=16-t,.s=/?QB?PM=/(16-t)X12=96-6t(0WtW/).(2)由圖可知，CM=PD=2t,CQ=t，若以B、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形，可以分三種情況/：①若PQ=BQ,在RtAPMQ中，PQ2=t2+122,由PQ2=BQ2得t2+122=(16-t)2,解得/；②若BP=BQ,在RtAPMB中，PB2=(16-2t)2+122,由PB2=BQ2得(16-21)2+122=(16-t)2,此方程無解，.BPWPQ.③若PB=PQ,由PB2=PQ2得t2+122=(16-2t)2+122得/,t2=16(不合題意，舍去).綜上所述，當/或/時，以B、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形.點評：本題主要考查梯形的性質及勾股定理.在解題(2)時，應注意分情況進行討論，防止在解題過程中出現漏解現象.直線y=-34x+6與坐標軸分別交于A、B兩點，動點P、Q同時從O點出發，同時到達A點，運動停止.點Q沿線段OA運動，速度為每秒1個單位長度，點P沿路線OnBnA運動.(1)直接寫出A、B兩點的坐標；(2)設點Q的運動時間為t(秒)，AOPQ的面積為S,求出S與t之間的函數關系式；(3)當S=485時，求出點P的坐標，并直接寫出以點O、P、Q為頂點的平行四邊形的第四個頂點M的坐標.分析：(1)分別令y=0，x=0,即可求出A、B的坐標；(2))因為OA=8,OB=6,利用勾股定理可得AB=10,進而可求出點Q由O到A的時間是8秒，點P的速度是2,從而可求出，當P在線段OB上運動(或0WtW3)時，OQ=t,OP=2t,S=t2,當P在線段BA上運動(或3<tW8