三角形問題中的數學思想方法數學思想和方法是數學基礎知識、基本技能的本質體現，是形成數學能力、數學意識的橋梁，是靈活應用數學知識、技能的靈魂.因此，在解三角形題過程中準確快捷的關鍵是正確運用數學思想方法.這里對三角形解題時常用的分類討論思想、整體思想、方程思想、轉化思想、數形結合思想等舉例予以說明，以供同學們學習參考應用.一、分類討論思想由于題目的約束較弱（條件趨一般）或圖形位置的變化常常使同一問題具有多種形態，因而有必要考查全面（所有不同情況）才能把握問題的實質.此種情況下應當進行適當分類，就每種情形研究討論結論的正確性.例1在等腰三角形中，一腰上的中線把它的周長分為15cm和6cm兩部分，求三角形各邊的長.分析:要注意等腰三角形有兩邊相等，一腰上的中線把它的腰分成的兩段相等.由于問題中未指明哪一段為15cm，哪一段為6cm，故需分類討論.解:設腰長為xcm，底邊為ycm，即AB=x，貝UAD=CD=—x，BC=y4-1TOC\o"1-5"\h\z⑴若x+2x=6時，則y+2x=15. I/I\o"CurrentDocument"1 BC由x+—x=6得乂=4.把x=4代入y+—x=15得y=13. 圖1因為4+4<13,所以不能構成三角形.\o"CurrentDocument"1 1⑵若x+—x=15時，則y+yx=6.1 1由x+yx=15得x=10.把x=10代入y+yx=15得y=1.10+1>10符合題意，所以三角形三邊分別為10cm、10cm、1cm.例2已知非直角三角形ABC中，NA=45°,高BD和CE所在直線交于H,求NBHC的度數.分析:三角形的形狀不同，高的交點的位置也就不同.高的交點可能在三角形內部，也可?…6”:。

能在三角形外部，故應分兩種情況加以討論.解:⑴當^ABC為銳角三角形時（圖2）?「BD、CE是4ABC的高，ZA=45°,.\ZADB=ZBEH=90°.在4ABD中，ZABD=180°-90°-45°=45°.,ZZBHC是4BHE的外角，.??NBHC=90°+45°=135°.⑵當4ABC為鈍角三角形時（圖3）「H是4ABC兩條高所在直線的交點ZA=45°,AZABD=180°-90°-45°=45°.在RtABEH中，ZBHC=180°-90°-45°=45°...ZBHC的度數是135°或45°.注意：涉及三角形高的問題，常常會因為高的位置而需要討論，否則就會漏解二、整體思想研究某些數學問題時，往往不是以問題的某個組成部分為著眼點，而是將待解決的問題看作一個整體，通過研究問題的整體形式，整體結構做整體處理后，達到解決問題的目的例3如圖4,求NA+NB+NC+ND+NE+NF+NG的度數.分析:觀察圖形可得，圖由一個四邊形和一個三角形構成，可根據四邊形和三角形的內角和定理求度數之和.解:因為NA+ZC+ZE=180°,又因為NB+ND+NF+NG=360°,所以NA+NB+NC+ND+NE+NF+NG=540°.剖析:例題中若直接求出每一角的度數再求其和顯然是做不到的.因此，設法整體求值是解題的關鍵.事實上，有些數學問題，如果從局部去考慮，拘泥于常規，則舉步維艱.如果從全局著手，突破常規，則會柳暗花明.三、方程思想求值時，當問題不能直接求出時，一般需要設未知數繼之建立方程用解方程的方法求出結果，這也是解題中常見的具有導向作用的一種思想.例4如圖5,在^ABC中，NB=NC,N1=N2,NBAD=40°.求NEDC.分析：利用三角形的外角性質，設法建立關于NEDC的方程. A解:設NEDC=x.因為N1是4DEC的外角，所以N1=x+NC. /42-…1

又因為N1=N2,所以N2=x+NC.又因為N2是4ABD的外角，所以NADC=NB+NBAD.所以/B+NBAD=N2+x,即NB+40°=NC+2x.因為NB=NC,所以2x=40°,解得x=20°.剖析:方程是解決很多數學問題的重要工具，很多數學問題可以通過構造方程而獲解事實上，用設未知數的方法表示所求，可使計算過程書寫簡便，也易于表明角與角之間的關系.四、轉化思想用簡單、已學過的知識解決復雜、未知的知識，把復雜的問題轉化為簡單的問題，將陌生的問題轉化為熟悉的問題來解.這種解題思想叫轉化思想.例5如圖6,求五角星各頂角之和.分析:因為NA、NB、NC、ND、NE較分散，本例中又不知其度數，因此，應設法將它們集中起來，將問題轉化為三角形來處理.根據三角形外角性質和內角和定理可以求解.解:因為N1=NC+NE,N2=NB+ND,又因為N1+N2+NA=180°,所以NA+NB+NC+ND+NE=180°.點撥:此題還可以連接CD求解.當我們求多個角之和不能直接計算時，應考慮轉化為三角形求解.五、數形結合思想例6如圖7,在^ABC中，已知AD是角平分線，NB=60°,NC=45°,求NADB和NADC的度數.分析:在4ABD中，NADB是一個內角，它等于180°—NB—NBAD,故求出NBAD即可求出NADB的度數，這由已知條件不難求得;同理可求出NADC的度數.解:在4ABC中，VZB=60°,NC=45°,NB+NC+NBAC=180°,AZBAC=180°—ZB—ZC=180°—60°—45°=75°.1XVAD是角平分線，AZBAD=ZDAC=-NBAC=37.5°.在^ABD中，NADB=180°—NB—NBAD=180°—60°—37.5°=82.5°.同理NADC=180°—NC—NDAC=180°—45°—37.5°=97.5°.點撥:幾何與代數是患難兄弟，密不可分.在求解幾何題中，通常數與形要結合起來才能打開思路，進行運算.否則，一頭舞水，撲朔迷離，茫然不知所措.數學思想方法在三角形中的應用一、方程思想方法：例1、已知：等腰三角形的周長是24cm，腰長是底邊長的2倍，求腰長.分析：根據等腰三角形的周長=腰長+腰長+底邊長和腰長是底邊長的2倍，可設一腰長的長為xcm，可列方程為％+2%+2%=24,解之即可.解：(1)設底邊長％cm，則腰長為2%cm%+2%+2%=24%=4.8；?腰長=2%=2*4.8=9.6(cm)點撥：用設未知數，找相等關系，列方程來解，體現了幾何問題用代數方法解和方程思想.二、分類討論的思想方法：例2、已知斜三角形ABC中，NA=45°，高BD和CE所在直線交于H，求NBHC的度數.分析：三角形的形狀不同，高的交點的位置也就不同，斜三角形包括銳角三角形和鈍角三角形，故應分兩種情況討論.解：,「△ABC為斜三角形,/.△ABC可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形，當4ABC為銳角三角形時(如圖1),?「BD、CE是4ABC的高，NA=45°,.\ZADB=ZBEH=90°,/.NABD=90°-45°=45°,AZBHC=ZABH+ZBEH=45°+90°=135°.當^ABC為鈍角三角形時(如圖2),H為4ABC的兩條高所在直線的交點，NA=45°,/.NABD=90°-45°=45°,在Rt△EBH中，NBHC=90°-ZABD=90°-45°=45°.綜上所述，NBHC的度數是135°或45°.點撥：當問題出現的結果不唯一時，我們就需要分不同的情況來解決，這就是分類的思想.此類問題的出現，往往會被同學們忽視，或考慮不全面，希望大家在平時就要養成分類解析的習慣.本題易犯的錯誤是只考慮銳角三角形的情況，而造成解答不全面的錯誤三、轉化的數學思想方法：例3、如圖3,已知五角星形的頂點分別為A、B、C、D、E,請你求出NA+NB+NC+分析:直接求這五個角的度數和顯然比較難，又考慮到此圖中提供的角應與三角形有關，我們應該想辦法將這幾個角轉化成三角形的內角，然后利用三角形的內角和定理求解解法一：「Nl是4CEM的外角，?//1=/。+/￡,VZ2是4BDN的外角，???N1=NB+ND.在4AMN中，由三角形內角和定理，得ZA+Z1+Z2=180°,AZA+ZB+ZC+ZD+ZE=180°.解法二：如圖4,連結CD,在4BOE和4COD中，N5=N6,VZ3+Z4+Z6=ZB+ZE+Z5=180°,AZ3+Z4=ZB+ZE.在4ACD中，NA+NACE+NADC=180°,AZA+ZAC