PAGEPAGE8平面與平面垂直的性質【課時目標】1．理解平面與平面垂直的性質定理．2．能應用面面垂直的性質定理證明空間中線、面的垂直關系．3．理解線線垂直、線面垂直、面面垂直的內在聯系．1．平面與平面垂直的性質定理：兩個平面垂直，則一個平面內________于________的直線與另一個平面垂直．用符號表示為：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?________．2．兩個重要結論：(1)如果兩個平面互相垂直，那么經過第一個平面內的一點垂直于第二個平面的直線在________________________．圖形表示為：符號表示為：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β?________．(2)已知平面α⊥平面β，a?α，a⊥β，那么________(a與α的位置關系)．一、選擇題1．平面α⊥平面β，直線a∥α，則()A．a⊥βB．a∥βC．a與β相交D．以上都有可能2．平面α∩平面β＝l，平面γ⊥α，γ⊥β，則()A．l∥γ B．l?γC．l與γ斜交 D．l⊥γ3．若平面α與平面β不垂直，那么平面α內能與平面β垂直的直線有()A．0條B．1條C．2條D．無數條4．設α－l－β是直二面角，直線a?α，直線b?β，a，b與l都不垂直，那么()A．a與b可能垂直，但不可能平行B．a與b可能垂直，也可能平行C．a與b不可能垂直，但可能平行D．a與b不可能垂直，也不可能平行5．已知兩個平面互相垂直，那么下列說法中正確的個數是()①一個平面內的直線必垂直于另一個平面內的無數條直線②一個平面內垂直于這兩個平面交線的直線必垂直于另一個平面內的任意一條直線③過一個平面內一點垂直于另一個平面的直線，垂足必落在交線上④過一個平面內的任意一點作交線的垂線，則此直線必垂直于另一個平面A．4B．3C．26．如圖所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α、β所成的角分別為eq\f(π,4)和eq\f(π,6)．過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足分別為A′、B′，則AB∶A′B′等于()A．2∶1B．3∶1C．3∶2D．4二、填空題7．若α⊥β，α∩β＝l，點P∈α，PD/∈l，則下列命題中正確的為________．(只填序號)①過P垂直于l的平面垂直于β；②過P垂直于l的直線垂直于β；③過P垂直于α的直線平行于β；④過P垂直于β的直線在α內．8．α、β、γ是兩兩垂直的三個平面，它們交于點O，空間一點P到α、β、γ的距離分別是2cM、3cM、6cM，則點P到O的距離為________．9．在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則點C1三、解答題10．如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求證：BC⊥AB．11．如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，四邊形ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形．側面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)若G為AD邊的中點，求證：BG⊥平面PAD；(2)求證：AD⊥PB．能力提升12．如圖所示，四棱錐P—ABCD的底面是邊長為a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝eq\r(2)a，E為PA的中點．求證：平面EDB⊥平面ABCD．13．如圖所示，在多面體P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4eq\r(5)．(1)設M是PC上的一點，求證：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱錐P—ABCD的體積．1．面面垂直的性質定理是判斷線面垂直的又一重要定理，應用時應注意：(1)兩平面垂直；(2)直線必須在一個平面內；(3)直線垂直于交線．2．此定理另一應用：由一點向一個平面引垂線，確定垂足位置是求幾何體高的依據．2．3．4平面與平面垂直的性質答案知識梳理1．垂直交線a⊥β2．(1)第一個平面內a?α(2)a∥α作業設計1．D2．D[在γ面內取一點O，作OE⊥m，OF⊥n，由于β⊥γ，γ∩β＝m，所以OE⊥面β，所以OE⊥l，同理OF⊥l，OE∩OF＝O，所以l⊥γ．]3．A[若存在1條，則α⊥β，與已知矛盾．]4．C5．B6．A[如圖：由已知得AA′⊥面β，∠ABA′＝eq\f(π,6)，BB′⊥面α，∠BAB′＝eq\f(π,4)，設AB＝a，則BA′＝eq\f(\r(3),2)a，BB′＝eq\f(\r(2),2)a，在Rt△BA′B′中，A′B′＝eq\f(1,2)a，∴eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(2,1)．]7．①③④解析由性質定理知②錯誤．8．7cm解析P到O的距離恰好為以2cm,3cm,6cm為長、寬、高的長方體的對角線的長．9．直線AB上解析由AC⊥BC1，AC⊥AB，得AC⊥面ABC1，又AC?面ABC，∴面ABC1⊥面ABC．∴C1在面ABC上的射影H必在交線AB上．10．證明在平面PAB內，作AD⊥PB于D．∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB．∴AD⊥平面PBC．又BC?平面PBC，∴AD⊥BC．又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB．又AB?平面PAB，∴BC⊥AB．11．證明(1)連接PG，由題知△PAD為正三角形，G是AD的中點，∴PG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG．又∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴BG⊥AD．又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD．(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD．所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB．12．證明設AC∩BD＝O，連接EO，則EO∥PC．∵PC＝CD＝a，PD＝eq\r(2)a，∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD．∵平面PCD⊥平面ABCD，CD為交線，∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD．又EO?平面EDB，∴平面EDB⊥平面ABCD．13．(1)證明在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝4eq\r(5)，∴AD2＋BD2＝AB2．∴AD⊥BD．又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，BD?面ABCD，∴BD⊥面PAD，又BD?面BDM，∴面MBD⊥面PAD．(2)解過P作PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，即PO為四棱錐P—ABCD的高．又△PAD是邊長為4的等邊三角形，∴PO＝2eq\r(3)．在底面四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，∴四邊形ABCD為梯形．在Rt△