PAGEPAGE7空間中直線與直線之間的位置關系基礎鞏固一、選擇題1．異面直線是指()A．空間中兩條不相交的直線B．分別位于兩個不同平面內的兩條直線C．平面內的一條直線與平面外的一條直線D．不同在任何一個平面內的兩條直線[答案]D[解析]對于A，空間兩條不相交的直線有兩種可能，一是平行(共面)，另一個是異面．∴A應排除．對于B，分別位于兩個平面內的直線，既可能平行也可能相交也可異面，如右圖，就是相交的情況，∴B應排除．對于C，如右圖的a，b可看作是平面α內的一條直線a與平面α外的一條直線b，顯然它們是相交直線，∴C應排除．只有D符合定義．∴應選D．規律總結：解答這類立體幾何的命題的真假判定問題，一方面要熟練掌握立體幾何中的有關概念和公理、定理；另一方面要善于尋找特例，構造相關特例模型，能快速、有效地排除相關的選擇項．2．正方體ABCD－A1B1C1D1中，與對角線AC1A．3條 B．4條C．6條 D．8條[答案]C[解析]畫一個正方體，不難得出有6條．3．若a、b是異面直線，b、c是異面直線，則()A．a∥c B．a、c是異面直線C．a、c相交 D．a、c平行或相交或異面[答案]D[解析]a、b、c的位置關系有下面三種情況，如圖所示，由圖形分析可得答案為D．4．空間兩個角α、β的兩邊對應平行，若α＝60°，則β為()A．60° B．120°C．30° D．60°或120°[答案]D[解析]由等角定理知α、β相等或互補．所以β＝60°或120°.5．空間四邊形ABCD中，E、F分別為AC、BD中點，若CD＝2AB，EF⊥AB，則EF與CD所成的角為()A．30° B．45°C．60° D．90°[答案]A[解析]取AD的中點H，連FH、EH，在△EFH中∠EFH＝90°，HE＝2HF，從而∠FEH＝30°，故選A．6．下列命題中，正確的結論有()①如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等；②如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等；③如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補；④如果兩條直線同時平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行．A．1個 B．2個C．3個 D．4個[答案]B[解析]②④是正確的．二、填空題7．如圖所示，在三棱錐P－ABC的六條棱所在的直線中，異面直線共有________對．[答案]3[解析]AP與BC異面、BP與AC異面、PC與AB異面．8．如圖所示，六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F(1)A1F1與BD(2)C1F1與BE[答案]30°60°三、解答題9．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分別是棱CC1，BB1，DD1求證：∠BGC＝∠FD1E.[分析]利用平行公理證明兩角對應的邊平行，再利用等角定理證明兩角相等．[解析]因為E，F，G分別是正方體的棱CC1，BB1，DD1的中點，所以CE綊GD1，BF綊GD1.所以四邊形CED1G與四邊形BFD1G均為平行四邊形．所以GC∥D1E，GB∥D1F.因為∠BGC與∠FD1E的方向相同，所以∠BGC＝∠FD10．如圖，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝eq\r(2)，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E為DA的中點．求異面直線BE與CD所成角的余弦值．[分析]根據異面直線所成角的定義，我們可以選擇適當的點，分別引BE與DC的平行線，換句話說，平移BE(或CD)．設想平移CD，沿著DA的方向，使D移向E，則C移向AC的中點F，這樣BE與CD所成的角即為∠BEF或其補角，解△EFB即可獲解．[解析]取AC的中點F，連接BF、EF，在△ACD中，E、F分別是AD、AC的中點，∴EF∥CD，∴∠BEF即為所求的異面直線BE與CD所成的角(或其補角)．在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)，∴BE＝eq\f(\r(5),2).在Rt△AEF中，AF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)，AE＝eq\f(1,2)，∴EF＝eq\f(\r(2),2).在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝eq\f(1,2)，∴BF＝eq\f(\r(5),2).在等腰△EBF中，cos∠FEB＝eq\f(\f(1,2)EF,BE)＝eq\f(\f(\r(2),4),\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(10),10)，∴異面直線BE與CD所成角的余弦值為eq\f(\r(10),10).能力提升一、選擇題1．分別和兩條異面直線都相交的兩條直線的位置關系是()A．異面 B．相交C．平行 D．異面或相交[答案]D[解析]如圖所示，a、b是異面直線，AB、AC都與a、b相交，AB、AC相交；AB、DE都與a、b相交，AB、DE異面．2．已知a、b、c均是直線，則下列命題中，必成立的是()A．若a⊥b，b⊥c，則a⊥cB．若a與b相交，b與c相交，則a與c也相交C．若a∥b，b∥c，則a∥cD．若a與b異面，b與c異面，則a與c也是異面直線[答案]C[解析]由平行公理可知C正確，而其他可舉反例說明錯誤．3．空間四邊形的對角線互相垂直且相等，順次連接這個四邊形各邊中點，所組成的四邊形是()A．梯形 B．矩形C．平行四邊形 D．正方形[答案]D[解析]∵E、F、G、H分別為中點，如圖．∴FG綊EH綊eq\f(1,2)BD，HG綊EF綊eq\f(1,2)AC，又∵BD⊥AC且BD＝AC，∴FG⊥HG且FG＝HG，∴四邊形EFGH為正方形．4．點E、F分別是三棱錐P－ABC的棱AP、BC的中點，AB＝6，PC＝8，EF＝5，則異面直線AB與PC所成的角為()A．60° B．45°C．30° D．90°[答案]D[解析]如圖，取PB的中點G，連結EG、FG，則EG綊eq\f(1,2)AB，GF綊eq\f(1,2)PC，則∠EGF(或其補角)即為AB與PC所成的角，在△EFG中，EG＝eq\f(1,2)AB＝3，FG＝eq\f(1,2)PC＝4，EF＝5，所以∠EGF＝90°.二、填空題5．如圖正方體ABCD－A1B1C1D1中，與AD1異面且與AD1[答案]1[解析]與AD1異面的面對角線分別為：A1C1，B1C，BD，BA1，C1D，其中只有B1C和6．如圖所示，E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD各邊AB、BC、CD、DA的中點，若BD＝2，AC＝4，則四邊形EFGH的周長為________.[答案]6[解析]eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(EH綊\f(1,2)BD,FG綊\f(1,2)BD))?EH＝FG＝eq\f(1,2)BD＝1，同理EF＝GH＝eq\f(1,2)AC＝2，∴四邊形EFGH的周長為6.三、解答題7．如圖，在空間四邊形ABCD中，AD＝BC＝2，E、F分別是AB、CD的中點，若EF＝eq\r(3)，求異面直線AD、BC所成角的大小．[解析]如圖，取BD的中點M，連接EM、FM.因為E、F分別是AB、CD的中點，所以EM綊eq\f(1,2)AD，FM綊eq\f(1,2)BC，則∠EMF或其補角就是異面直線AD、BC所成的角．AD＝BC＝2，所以EM＝MF＝1，在等腰△MEF中，過點M，作MH⊥EF于H，在Rt△MHE中，EM＝1，EH＝eq\f(1,2)EF＝eq\f(\r(3),2)，則sin∠EMH＝eq\f(\r(3),2)，于是∠EMH＝60°，則∠EMF＝2∠FMH＝120°.所以異面直線AD、BC所成的角為∠EMF的補角，即異面直線AD、BC所成的角為60°.8．如圖，兩個三角形ABC和A′B′C′的對應頂點的連線AA′，BB′，CC′交于同一點O，且eq\f(AO,OA′)＝eq\f(BO,OB′)＝eq\f(CO,OC′)＝eq\f(2,3).(1)求證：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′；(2)求eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)的值．[分析]用平面幾何知識可以證明兩條直線平行；用等角定理可以證明兩個角相等，從而可以證明兩個三角形相似．[解析](1)證明：因為AA′與BB′交于點O，且eq\f(AO,OA′)＝eq\f(BO,OB′)＝eq\f(2,3)，所以AB∥A′B′.同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.(2)解：因為A′B′∥AB，AC∥A′C′，且AB和A′B′，AC和A′C′方向相反．所以∠BAC＝∠B′A′C′.同理∠ABC＝∠A′B′C′，所以△ABC∽△A′B′C′，且eq\f(AB,A′