第三章綜合指標

第一節總量指標第二節相對指標第三節平均指標第四節變異指標

第一節總量指標一、總量指標的概念與作用（一）總量指標的概念總量指標又稱絕對指標或數量指標，是反映現象在一定時間、地點和條件下所達到的規模或水平的指標。（二）總量指標的作用1、反映現象總體的基本情況，是人們認識現象總體的起點。2、是制定政策、編制計劃和實施管理的重要依據。3、是計算相對指標和平均指標的基礎。二、總量指標的分類1、按反映總體內容不同，分為總體單位總量和總體單位總量。2、按反映總體所處時間狀況不同，分為時期指標（流量）和時點指標（存量）。三、時期指標與時點指標的關系

（一）時期指標與時點指標的區別1、時期指標的值具有可加性，而時點指標的值則不具有可加性。2、時期指標值的大小與時間間隔的長短有直接關系，而時點指標值的大小與時間間隔的長短則沒有直接關系。3、時期指標值是通過連續調查取得的，而時點指標值則是通過一次性調查取得的。（二）時期指標與時點指標的聯系1、二者都屬于總量指標。2、二者通常是相互影響的。

第二節相對指標

一、相對指標的意義二、相對指標的表示方法三、相對指標的種類四、計算和應用相對指標的原則一、相對指標的意義

（一）相對指標的概念相對指標又稱相對數，是指兩個有聯系的統計指標對比所得之比值或比率。（二）相對指標的作用1、說明現象發展變化的結構、比例、速度、強度、普遍程度以及相互聯系。2、深入說明總量指標不能說明的問題。二、相對指標的表示方法相對指標一般都用無名數表示，有些特殊的相對數則用有名數表示。三、相對指標的種類及其計算

（一）結構相對指標結構相對指標是指總體各部分數值與總體數值對比所得之比率。一般用百分數表示。計算公式為：（二）比例相對指標比例相對數是指總體中各部分的數值相互對比所得之比率。（三）比較相對指標

比較相對數是指某現象的某一指標在同一時間、不同空間上的數值對比所得之比率。（四）動態相對指標動態相對數是指某現象的某一指標在同一空間、不同時間上的數值對比所得之比率。（五）強度相對指標強度相對數是指兩個性質不同、但又有一定聯系的總量指標的值對比所得之比值或比率。

強度相對指標的表現形式

A、正指標（取值越大越好的指標）。

B、逆指標（取值越小越好的指標）。強度相對數與平均數的區別

①強度相對數的分子與分母分別屬于兩個不同的總體，而平均數的分子與分母則屬于同一個總體。

②強度相對數的分子與分母一般可以互換，而平均數的分子與分母則絕對不可以互換。課堂作業指出下列指標哪些是平均數？哪些是強度相對數？職工人均工齡、職工人均產值、學生平均年齡、全國人均鋼產量、全國人均水消費量、人口出生率（死亡率）（六）計劃完成程度相對指標1、概念和基本公式計劃完成程度相對數，又稱為計劃完成百分數或計劃完成百分比，是指某現象的某一指標在同一時間、同一空間上的實際完成數與計劃完成數對比所得之比率。2、計劃完成百分數與計劃完成情況的對應關系表表3-1

計劃完成百分數（%）計劃完成情況正指標逆指標大于100小于100等于100超額完成計劃沒有完成計劃沒有完成計劃超額完成計劃剛好完成計劃3、計劃完成百分數的計算

A、計劃數為絕對數。

例3-1

某工業企業總產值資料如下表：表3-1

車間名稱總產值（萬元）計劃完成百分數（%）計劃數實際數（甲）（1）（2）（3）=（2）/（1）甲乙丙5011014080100140160.0090.91100.00合計300320106.67要求：計算各車間和全廠總產值的計劃完成百分數。B、計劃數為相對數時。

a.計劃數為比率（比值）時。例3-2

某單位某產品的一級品率計劃規定為40%，實際達到了45%，則其一級品率的計劃完成百分數為：

45%÷40%=112.50%例3-3某單位的職工人均產值計劃規定為50000元，實際達到了55000元，則其人均產值的計劃完成百分數為：

55000÷50000=110%

b.計劃數為差率時。

例3-4某單位的勞動生產率計劃比去年提高5%，實際提高了8%，則其計劃完成百分數為：

（1+8%）÷（1+5%）=102.86%

例3-5某單位某產品的單位成本計劃規定比去年降低10%，實際只降低8%，則其計劃完成百分數為：

（1-8%）÷（1-10%）=102.22%C、計劃數為平均數。例3-16

某單位2003年職工的平均工資計劃為15000元，實際達到了16600元，則其計劃完成百分數為：

16600÷15000=110.67%4、長期計劃執行情況的檢查

（1）長期計劃的含義

長期計劃是指計劃期限大于等于五年的計劃。中期計劃是指計劃期限大于一年小于五年的計劃。短期計劃是指計劃期限小于等于一年的計劃。（2）長期計劃的基本形式

A、水平計劃——指只規定計劃期最后一年應完成的任務的計劃。此法適用于在計劃期內逐年遞增或逐年遞減的現象。

B、累計計劃——指只規定計劃期內一共應完成的任務的計劃。此法適用于在計劃期內有升有降、且升降不定的現象。（3）檢查內容及方法

A、長期計劃執行進度的檢查。

例3-7某地“九五”計劃規定，整個“九五”期間應完成基本建設投資500億元，到1998年底累計已完成450億元，則：

時間過去百分比=3÷5=60%任務完成百分比=450÷500=90%因為90%大于60%，所以該地提前完成了“九五”基本建設投資的進度計劃。B、長期計劃執行結果的檢查

（A）水平法例3-8我國“九五”計劃規定，到“九五”計劃最后一年，某礦物質的年產量應達到7200萬噸，實際執行結果如下表：

表3-3時間第四年第五年一季度二季度三季度四季度一季度二季度三季度四季度產量（萬噸）17001720173017501800184018501920要求：計算我國該礦物質“九五”計劃完成百分數，并計算提前完成“九五”計劃的時間。（B）累計法例3-9某重點企業“九五”計劃規定應完成基建投資1500萬元，各年實際完成情況如下表：

表3-4

要求：計算該企業基建投資“九五”計劃完成百分數，并計算提前完成“九五”計劃的時間。時間19961997199819992000上半年下半年一季度二季度三季度四季度一季度二季度三季度四季度基建投資（萬元）300260110200609015012050100160140

解答：四、相對指標的應用原則

1、正確選擇對比的基數。2、保持分子與分母的可比性。3、多種相對指標綜合運用。4、與總量指標結合應用。

5、與定性分析結合運用。第三節平均指標

一、平均指標的意義二、算術平均數三、調和平均數四、幾何平均數五、眾數六、中位數一、平均指標的意義

（一）平均指標的概念

平均指標又稱平均數，是指某一數量標志在總體各單位上所達到的一般水平。（二）平均指標的特點將具體數值抽象化，用一個代表性的數字來代表總體的一般水平。（三）平均指標的作用

1、反映總體分布的集中趨勢。2、比較同類現象在同一時間、不同空間上的水平。3、比較同類現象在同一空間、不同時間上的水平。二、平均指標的種類

算術平均數計算平均數調和平均數一般平均數（數值平均數）幾何平均數（靜態平均數）眾數位置平均數平均數中位數

平均發展水平動態平均數平均增長水平（序時平均數）平均發展速度平均增長速度圖3-1三、算術平均數

（一）概念和基本公式

算術平均數是指總體標志總量與總體單位總量對比所得之比值。一般用符號表示。其基本公式為：

（二）計算方法

1、簡單算術平均法。

（1）適用對象。簡單算術平均法適用于求未分組資料的平均數。根據簡單算術平均法計算出來的平均數稱為簡單算術平均數。（2）計算公式

例3-10

某班組20名工人的周工資分別為：150、150、180、180、180、200、200、200、200、220、220、220、220、220、220、240、240、240、260、280元，則其平均工資為：2、加權算術平均法

（1）適用對象。加權算術平均法適用于對已分組的資料求平均數。根據加權算術平均法計算出來的平均數稱為加權算術平均數。

（2）計算公式。

①已知變量值X和頻數f時。例3-11某班組20名工人按周工資分組資料如下表：

表3-5按周工資分組（元）X工人人數（人）f

Xf150180200220240260280234631130054080013207202602801229344548749697442288348448625232401476120422051820980②已知變量值X和頻率時。例3-12

某班組若干名工人按周工資分組的資料如下表：

表3-6按周工資分組（元）

X各組人數占總人數比重（%）f/∑f

X﹡f/∑f15018020022024026028010152030155515274066361314∑100211課堂作業

某班學生按統計學考試成績分組資料如下表：

要求：計算該班學生的平均成績。按成績分組（分）人數（人）60以下60—7070—8080—9090以上4122572∑50課堂作業

某班學生按統計學考試成績分組資料如下表：

要求：計算該班學生的平均成績。按成績分（分）各組人數占總人數比重（%）60以下60—7070—8080—9090以上82450144∑100（三）關于加權算術平均數的幾點說明1、加權算術平均數同時受變量值和權數兩個因素的影響。2、權數從形式上講可以是頻數f，也可以是頻率f/∑f。3、對同一原始資料而言，用頻數f與用頻率f/∑f求出的平均數始終是相等的。4、權數對平均數的大小有權衡輕重的作用，即哪一個組的權數最大，計算出來的平均數就與該組的變量值最接近。

5、各組頻率沒變，不論頻數是否變化，平均數始終都不變；各組頻率發生變化，不論頻數是否變化，平均數也發生變化。6、當各組權數（頻數或頻率）相等時，權數就失去了其應有的作用，此時，加權算術平均數就變成了簡單算術平均數，所以說簡單平均數是加權平均數在權數相等時的一個特例。7、根據組距數列計算平均數時，有一個假定條件，即假定各組變量值的平均數都等于其組中值。但是，由于各組變量值的平均數不一定都等于其組中值，因此，根據組距數列計算出來的平均數只是原來平均數的一個近似值。

（四）算術平均數的數學性質1、各變量值與其算術平均數離差的和等于0。即：

2、各變量值與其算術平均數離差平方的和為最小。即：｛｛性質1證明

證明：性質2證明證明：性質2證明證明：三、調和平均數

（一）概念和基本公式

調和平均數又稱倒數平均數，是指各變量值倒數的算術平均數的倒數。一般用符號表示。其基本公式為：（二）計算方法

1、簡單調和平均法。

（1）適用對象。簡單調和平均法適用于對未分組資料求平均數。根據簡單調和平均法計算出來的平均數稱為簡單調和平均數。

（2）計算公式。課堂作業

例3-13某種蔬菜在某個農貿市場早、中、晚的價格分別為（元/斤）：2.00、1.80、1.50，則：A、某人早、中、晚各買1斤時的平均價格是多少？B、某人早、中、晚各買1元時的平均價格是多少？2、加權調和平均法。

（1）適用對象。加權調和平均法適用于對已分組資料求平均數。根據加權調和平均法計算出來的平均數稱為加權調和平均數。

實際工作中，加權調和平均數是作為加權算術平均數的“變形”應用的。

（2）計算公式（3）應用。

例3-14

某班若干名學生按年齡分組的資料如下表：

表3-7按年齡分（歲）X總年齡（歲）MM/X1819202122361905202104421026102∑100050

例3-15某公司所屬甲、乙、丙三個企業的利潤率和利潤額資料如下表。要求計算甲、乙、丙三個企業的平均利潤率。

表3-8企業名稱利潤率（%）X利潤額（萬元）MM/X甲乙丙151816753961045002200650∑—5753350

例3-16某單位2003年新、老職工的有關工資資料如下表。要求計算該單位新、老職工的平均工資。

表3-9職工類別平均工資（元）

X工資總額（元）MM/X新職工老職工1300017000455000011050000350650∑—156000001000四、幾何平均數

（一）幾何平均數的概念幾何平均數是指N個比率連乘積的N次方根。一般用符號表示。

（二）幾何平均數的計算方法

1、簡單幾何平均法。

（1）適用對象。

簡單幾何平均法適用于對未分組的N個比率求平均數。根據簡單平均法計算出來的平均數稱為簡單幾何平均數。

（2）計算公式

例3-17某企業生產某產品要經過五道工序，已知各工序的合格率分別為98%、95%、98%、97%和95%，要求計算五道工序的平均合格率。2、加權幾何平均法。

（1）適用對象。

加權幾何平均法適用于對已分組的N個比率求平均數。根據加權幾何平均法計算出來的平均數稱為加權幾何平均數。

（2）計算公式

課堂作業某人在銀行存款若干，存期10年，第一年至第二年的年利率為3%，第三年至第五年的年利率為5%，第六年至第九年的年利率為6%，第十年的年利率為8%。問：十年間平均年利率是多少？五、眾數

（一）眾數的概念

眾數是指變量數列中出現次數最多的變量值。一般用符號表示。（二）眾數的前提條件1、變量值必須分組。2、變量值要有明顯的集中趨勢。（三）眾數的確定方法

1、由單項數列確定眾數。

眾數=頻數（頻率）最多組的變量值單眾數——只有一個組的頻數（頻率）為最多。復眾數——有兩個組的頻數（頻率）一樣為最多。例3-18某班50名學生按年齡分組的資料如下表。試確定其年齡的眾數。（20歲）表3-10按年齡分（歲）人數（人）1819

202122201—02703—09

2810—3714—411202—13101∑50例3-19某班50名學生按年齡分組的資料如下表。試確定其年齡的眾數。表3-11按年齡分（歲）人數（人）1819

20212227

20

201∑502、由組距數列確定眾數。步驟：

①確定眾數組。

眾數組=頻數（頻率）最多的組②按下列公式求眾數的近似值。（下限公式）

（上限公式）例3-20某班50名學生期末統計學考試成績如下表：

表3-12按成績分組（分）X人數（人）f60以下5560—7065

70—807580—908590以上95401—041205—16

2517—4172∑—50要求：計算該班學生考試成績的算術平均數、眾數和中位數。

解答：六、中位數

（一）中位數的概念

中位數又稱為分割值，是指將變量值按大小順序排列以后，位于數列中間位置的變量值。一般用符號表示。

（二）中位數的前提條件變量值必須按大小順序排列。（三）中位數的確定方法1、由未分組資料確定。

（1）N為奇數時。（2）N為偶數時。

例3-21某黨小組11名學生的年齡分別是21、22、18、23、22、19、19、19、20、21和21歲。試求其年齡的中位數。（21歲）18、19、19、19、20、21、21、21、22、22、23

例3-22某黨小組10名學生的黨課成績分別為95、85、88、90、92、95、91、92、90和96分。試求其黨課成績的中位數（91.5分）

85、88、90、90、91、92、92、95、95、96

2、由已分組資料確定。

（1）由單項數列確定。例3-23資料見表3-10。要求確定該班學生年齡的中位數。（20歲）2、由組距數列確定中位數。步驟：①確定中位數組。

中位數組=（1+∑f)/2位置的變量值所在的組②由下列公式求中位數的近似值。七、各種平均數之間的關系

（一）算術平均數、調和平均數和幾何平均數的關系根據同一資料計算出來的算術平均數、調和平均數和幾何平均數之間存在以下關系：

（二）正態分布時算術平均數、眾數和中位數的關系1、對稱分布時（圖3-4）。2、右偏（正偏）分布（圖3-5）時。3、左偏（負偏）分布（圖3-6）時。算術平均數、眾數和中位數的關系對稱分布圖3-2

均值=

中位數=

眾數右偏（正偏）分布圖3-3眾數

＜中位數

＜均值左偏（負偏）分布圖3-4均值

＜中位數

＜眾數按成績（分）人（人）60以下60—7070—8080—9090以上11126111∑50按成績（分）人（人）60以下60—7070—8080—9090以上1526144∑50按成績（分）人（人）60以下60—7070—8080—9090以上4142651∑50例3-24計算1、2、3、4、5五個數的算術平均數、調和平均數和幾何平均數，并比較其大小。

第四節變異指標

一、標志變異指標的意義二、標志變異指標的種類三、方差的重要數學性質四、計算和應用平均指標的原則一、標志變異指標的意義

（一）標志變異指標的概念標志變異指標又稱標志變動度，是反映某一數量標志在總體各單位上差異程度的一種統計分析指標。（二）標志變異指標的意義1、反映總體分布的離中趨勢。2、說明平均數代表性的大小。3、反映生產經營活動過程的均勻性、均衡性和產品質量的穩定性。二、標志變異指標的種類

1、全距。

（1）全距的概念。

全距又稱極差，是指變量值中最大變量值與最小變量值之差。全距一般用符號R表示。（2）全距的計算公式。2、平均差。

（1）平均差的概念。平均差是指各變量值與其算術平均數離差絕對值的算術平均數。一般用符號D表示。（2）平均差的計算方法

①簡單算術平均法。

A、適用條件。

簡單算術平均法適用于對未分組資料求平均差。

B、計算公式。例3-25求1、2、3、4、5五個數的平均差。②加權算術平均法。

A、適用條件。加權算術平均法適用于求已分組資料的平均差。

B、計算公式。例3-26某班組20名工人按周工資分組資料如下表：按周工資分組（元）X工人人數（人）f

Xf150180200220240260280234631130054080013207202602801229344548749697442288348448625232401476120422051820980求工人周工資的平均差。3、標準差。

（1）標準差的概念。標準差又稱均方差，是指各變量值與其算術平均數離差平方的算術平均數的平方根。一般用符號表示。（標準差的平方稱為方差，用表示。）（2）標準差的計算方法。

①簡單算術平均法。

A、適用對象。簡單算術平均法適用于求未分組資料的標準差B、計算公式。例3-27

求1、2、3、4、5五個數的標準差。②加權算術平均法。

A、適用對象。

加權算術平均法適用于求已分組資料的標準差。

B、計算公式。

例3-28資料見表3-1。求該班組工人周工資的標準差。4、離散系數。