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回歸教材重難點04萬有引力與航天

本考點以衛星、飛船等生活實踐問題和學習探索問題為命題情境，多為基礎性的題目，一般為中等難度。命題情境突出現代科技的應用，試題與航天技術的聯系非常密切，也經常考查萬有引力和重力的關系以及天體的繞行，有時也有與牛頓運動定律、機械能守恒定律、動量定理、運動學公式等力學規律結合起來綜合考查。

備考策略：復習時一定要抓住重點模型，尤其是注意開普勒定律以及萬有引力定律的應用，熟練掌握研究天體運動的兩條基本思路；對于衛星天體的繞行及變軌問題也是復習的重點。復習過程多關注我國航空航天技術發展的最新成果，重點培養考生的模型建構能力、推理論證能力、運算能力和估算能力，掌握比例法分析問題的技巧。

知識點一天體質量和密度的估算

1．解決天體(衛星)運動問題的基本思路

(1)天體運動的向心力來源于天體之間的萬有引力，即

G

eq\f(Mm,r2)

＝man＝m

eq\f(v2,r)

＝mω2r＝m

eq\f(4π2r,T2)

(2)在中心天體表面或附近運動時，萬有引力近似等于重力，即G

eq\f(Mm,R2)

＝mg(g表示天體表面的重力加速度)．

2．天體質量和密度的計算

(1)利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R.

由于G

eq\f(Mm,R2)

＝mg，故天體質量M＝

eq\f(gR2,G)

，

天體密度ρ＝

eq\f(M,V)

＝

eq\f(M,\f(4,3)πR3)

＝

eq\f(3g,4πGR)

.

(2)通過觀察衛星繞天體做勻速圓周運動的周期T和軌道半徑r.

①由萬有引力等于向心力，即G

eq\f(Mm,r2)

＝m

eq\f(4π2,T2)

r，得出中心天體質量M＝

eq\f(4π2r3,GT2)

；

②若已知天體半徑R，則天體的平均密度

ρ＝

eq\f(M,V)

＝

eq\f(M,\f(4,3)πR3)

＝

eq\f(3πr3,GT2R3)

；

③若天體的衛星在天體表面附近環繞天體運動，可認為其軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝

eq\f(3π,GT2)

.可見，只要測出衛星環繞天體表面運動的周期T，就可估算出中心天體的密度．

3.(1)利用圓周運動模型，只能估算中心天體質量，而不能估算環繞天體質量．

(2)區別天體半徑R和衛星軌道半徑r：只有在天體表面附近的衛星才有r≈R；計算天體密度時，V＝

eq\f(4,3)

πR3中的R只能是中心天體的半徑．

知識點二衛星運行參量的比較與運算

1．衛星的各物理量隨軌道半徑變化的規律

2．衛星運動中的機械能

(1)只在萬有引力作用下衛星繞中心天體做勻速圓周運動和沿橢圓軌道運動，機械能均守恒，這里的機械能包括衛星的動能、衛星(與中心天體)的引力勢能．

(2)質量相同的衛星，圓軌道半徑越大，動能越小，勢能越大，機械能越大．

3．極地衛星、近地衛星和同步衛星

(1)極地衛星運行時每圈都經過南北兩極，由于地球自轉，極地衛星可以實現全球覆蓋．

(2)近地衛星是在地球表面附近環繞地球做勻速圓周運動的衛星，其運行的軌道半徑可近似認為等于地球的半徑，其運行線速度約為7.9km/s.

(3)同步衛星

①軌道平面一定：軌道平面和赤道平面重合．

②周期一定：與地球自轉周期相同，即T＝24h＝86400s.

③角速度一定：與地球自轉的角速度相同．

④高度一定：衛星離地面高度h＝3.6×104km.

⑤速率一定：運動速度v＝3.07km/s(為恒量)．

⑥繞行方向一定：與地球自轉的方向一致．

知識點三衛星(航天器)的變軌問題

1．軌道的漸變

做勻速圓周運動的衛星的軌道半徑發生緩慢變化，由于半徑變化緩慢，衛星每一周的運動仍可以看做是勻速圓周運動．解決此類問題，首先要判斷這種變軌是離心還是向心，即軌道半徑r是增大還是減小，然后再判斷衛星的其他相關物理量如何變化．

2．軌道的突變

由于技術上的需要，有時要在適當的位置短時間啟動飛行器上的發動機，使飛行器軌道發生突變，使其進入預定的軌道．

(1)當衛星的速度突然增加時，G

eq\f(Mm,r2)

＜m

eq\f(v2,r)

，即萬有引力不足以提供向心力，衛星將做離心運動，脫離原來的圓軌道，軌道半徑變大，當衛星進入新的軌道穩定運行時由v＝

eq\r(\f(GM,r))

可知其運行速度比原軌道時減?。?/p>

(2)當衛星的速度突然減小時，G

eq\f(Mm,r2)

＞m

eq\f(v2,r)

，即萬有引力大于所需要的向心力，衛星將做近心運動，脫離原來的圓軌道，軌道半徑變小，當衛星進入新的軌道穩定運行時由v＝

eq\r(\f(GM,r))

可知其運行速度比原軌道時增大；衛星的發射和回收就是利用這一原理．

不論是軌道的漸變還是突變，都將涉及功和能量問題，對衛星做正功，衛星機械能增大，由低軌道進入高軌道；對衛星做負功，衛星機械能減小，由高軌道進入低軌道．

知識點四宇宙速度的理解與計算

1．第一宇宙速度v1＝7.9km/s，既是發射衛星的最小發射速度，也是衛星繞地球運行的最大環繞速度．

2．第一宇宙速度的求法：

(1)

eq\f(GMm,R2)

＝m

eq\f(v\o\al(2,1),R)

，所以v1＝

eq\r(\f(GM,R))

.

(2)mg＝

eq\f(mv\o\al(2,1),R)

，所以v1＝

eq\r(gR)

.

知識點五雙星系統模型

1．模型特點

(1)兩顆星彼此相距較近，且間距保持不變．

(2)兩顆星靠相互之間的萬有引力做勻速圓周運動．

(3)兩顆星繞同一圓心做圓周運動．

2．模型分析

(1)雙星運動的周期和角速度相等，各以一定的速率繞某一點轉動，才不至于因萬有引力作用而吸在一起．

(2)雙星做勻速圓周運動的向心力大小相等，方向相反．

(3)雙星繞共同的中心做圓周運動時總是位于旋轉中心的兩側，且三者在一條直線上．

(4)雙星軌道半徑之和等于它們之間的距離．

3.(1)解決雙星問題時，應注意區分星體間距與軌道半徑：萬有引力定律中的r為兩星體間距離，向心力公式中的r為所研究星球做圓周運動的軌道半徑．

(2)宇宙空間大量存在這樣的雙星系統，如地月系統就可視為一個雙星系統，只不過旋轉中心沒有出地殼而已，在不是很精確的計算中，可以認為月球繞著地球的中心旋轉

1．（2021·山東卷）從“玉兔”登月到“祝融”探火，我國星際探測事業實現了由地月系到行星際的跨越。已知火星質量約為月球的9倍，半徑約為月球的2倍，“祝融”火星車的質量約為“玉兔”月球車的2倍。在著陸前，“祝融”和“玉兔”都會經歷一個由著陸平臺支撐的懸停過程。懸停時，“祝融”與“玉兔”所受陸平臺的作用力大小之比為（）

A．9∶1 B．9∶2 C．36∶1 D．72∶1

【答案】B

【解析】

懸停時所受平臺的作用力等于萬有引力，根據:

可得:

故選B。

2．（2021·浙江卷）空間站在地球外層的稀薄大氣中繞行，因氣體阻力的影響，軌道高度會發生變化。空間站安裝有發動機，可對軌道進行修正。圖中給出了國際空間站在2020.02-2020.08期間離地高度隨時間變化的曲線，則空間站（）

A．繞地運行速度約為

B．繞地運行速度約為

C．在4月份繞行的任意兩小時內機械能可視為守恒

D．在5月份繞行的任意兩小時內機械能可視為守恒

【答案】D

【解析】

AB．衛星貼近地面做勻速圓周運動的線速度大小設為v1，此速度為第一宇宙速度，即v1=7.9km/s；地球半徑約為6400km，則空間站離地高度在418km~421km之間。由

，

解得

空間站距離地面的最小高度約為h=418km＜R=6400km，則

所以空間站繞地運行速度

故AB錯誤；

C．在4月份軌道半徑出現明顯的變大，則可知，機械能不守恒，故C錯誤；

D．在5月份軌道半徑基本不變，故可視為機械能守恒，故D正確。

故選D。

3．（2021·廣東卷）2021年4月，我國自主研發的空間站“天和”核心艙成功發射并入軌運行，若核心艙繞地球的運行可視為勻速圓周運動，已知引力常量，由下列物理量能計算出地球質量的是（）

A．核心艙的質量和繞地半徑

B．核心艙的質量和繞地周期

C．核心艙的繞地角速度和繞地周期

D．核心艙的繞地線速度和繞地半徑

【答案】D

【解析】

根據核心艙做圓周運動的向心力由地球的萬有引力提供，可得

可得

可知已知核心艙的質量和繞地半徑、已知核心艙的質量和繞地周期以及已知核心艙的角速度和繞地周期，都不能求解地球的質量；若已知核心艙的繞地線速度和繞地半徑可求解地球的質量。

故選D。

4．（2021·河北卷）“祝融號”火星車登陸火星之前，“天問一號”探測器沿橢圓形的停泊軌道繞火星飛行，其周期為2個火星日，假設某飛船沿圓軌道繞火星飛行，其周期也為2個火星日，已知一個火星日的時長約為一個地球日，火星質量約為地球質量的0.1倍，則該飛船的軌道半徑與地球同步衛星的軌道半徑的比值約為（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

繞中心天體做圓周運動，根據萬有引力提供向心力，可得

則

，

由于一個火星日的時長約為一個地球日，火星質量約為地球質量的0.1倍，則飛船的軌道半徑

則

故選D。

5．（2021·浙江卷）嫦娥五號探測器是我國首個實施月面采樣返回的航天器，由軌道器、返回器、著陸器和上升器等多個部分組成。為等待月面采集的樣品，軌道器與返回器的組合體環月做圓周運動。已知引力常量G=6.67×10-11N?m2/kg2地球質量m=6.0×1024kg，月球質量m2=7.3×1022kg，月地距離r1=3.8×105km，月球半徑r2=1.7×103km。當軌道器與返回器的組合體在月球表面上方約200km處做環月勻速圓周運動時，其環繞速度約為（）

A．16m/s B．1.1×102m/s C．1.6×103m/s D．1.4×104m/s

【答案】C

【解析】

根據

可得

故選C。

6、（2021·河南省洛陽市三模）火星和地球之間的距離成周期性變化，為人類探測火星每隔一定時間會提供一次最佳窗口期。已知火星和地球的公轉軌道幾乎在同一平面內，公轉方向相同，火星的軌道半徑約是地球軌道半徑的1.5倍，則最佳窗口期大約每隔多長時間會出現一次（）

A.18個月 B.24個月 C.26個月 D.36個月

【答案】C

【解析】

設經過t時間地球從相距最近到再次相距最近，地球比火星多轉一圈

根據開普勒第三定律

解得

故選C。

7、（2021·河南省鄭州市二模）擔負著火星探測任務的“天問一號”的成功發射，標志著我國星際探測水平達到了一個新階段。若火星和地球繞太陽的運動均可視為勻速圓周運動，火星公轉軌道半徑與地球公轉軌道半徑之比為3：2，則火星與地球繞太陽運動的（）

A.線速度大小之比為： B.角速度大小之比為2：3

C.向心加速度大小之比為9：4 D.公轉周期之比為2：3

【答案】B

【解析】

行星繞太陽做勻速圓周運動所需的向心力由太陽對其的萬有引力提供得

則

，，，

又火星公轉軌道半徑與地球公轉軌道半徑之比為3：2，所以線速度大小之比為；角速度大小之比為；周期大小之比為；向心加速度大小之比為。

故B正確ACD錯誤。

故選B。

8、（2021·湖南省衡陽市二模）2020年11月24日，長征五號運載火箭搭載嫦娥五號探測器成功發射升空并將其送入預定軌道，11月28日，嫦娥五號進入環月軌道飛行，12月17日凌晨，嫦娥五號返回器攜帶月壤著陸地球。假設嫦娥五號環繞月球飛行時，在距月球表面高度為h處，繞月球做勻速圓周運動（不計周圍其他天體的影響），測出飛行周期T，已如萬有引力常量G和月球半徑R。則下列說法錯誤的是（）

A.嫦娥五號繞月球飛行的線速度為 B.月球的質量為

C.月球的第一宇宙速為 D.月球表面的重力加速度為

【答案】B

【解析】

A．嫦娥五號繞月球飛行的軌道半徑為（R+h），所以飛行的線速度為：

故A正確；

B．嫦娥五號繞月球做勻速圓周運動，由牛頓第二定律：

解得月球的質量為：

故B錯誤；

C．月球第一宇宙速度為繞月球表面運行的衛星的速度，由牛頓第二定律得：

解得月球的第一宇宙速度為

故C正確；

D．在月球表面，重力等于萬有引力：

月球表面的重力加速度為：

g月=

故D正確。

本題選擇錯誤的，故選B。

9、（2021·山東省濟南市壓軸卷）2019年10月5日，我國在太原衛星發射中心用長征四號丙運載火箭，成功將“高分十號”衛星發射升空．其地面像元分辨率最高可達亞米級，主要用于國土普查、土地確權、路網設計、農作物估產和防災減災等領域．“高分十號”衛星繞地球運轉的軌道半徑是、周期是，而地球繞太陽運轉的軌道半徑是、周期是．若將兩者的運轉均視為勻速圓周運動，則地球質量與太陽質量之比是

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

地球繞太陽公轉和“高分十號”衛星繞地球運轉，萬有引力提供向心力，則有：

中心體質量：

可得地球質量為：

同理，太陽質量為：

則地球質量與太陽質量之比為：

故A正確；

10、（2021·天津市紅橋區二檢）2019年5月17日，我國成功發射第45顆北斗導航衛星，該衛星屬于地球靜止軌道衛星（同步衛星）。該衛星（）

A.入軌后向心加速度大于地球表面赤道上物體隨地球自傳的向心加速度

B.入軌后的速度等于第一宇宙速度

C.該衛星的機械能小于同質量的近地衛星的機械能

D.該衛星可以定位在天津上空一定高度處

【答案】A

【解析】

A．同步衛星與地球表面赤道上物體具有相同角速度，根據可知，入軌后向心加速度大于地球表面赤道上物體隨地球自傳的向心加速度，故A正確；

B．第一宇宙速度是衛星的最小發射速度，最大的圓周運行速度，所有衛星的運行速度都不大于第一宇宙速度，故B錯誤；

C．從近地軌道進入同步軌道需要點火加速離心，所以該衛星的機械能大于同質量的近地衛星的機械能，故C錯誤；

D．地球靜止軌道衛星即同步衛星，只能定點在赤道正上方，不會位于天津正上方，故D錯誤；

故選A。

11、（2021·安徽省蕪湖市三檢）截至2020年11月，被譽為“中國天眼”的500米口徑球面射電望遠鏡（FAST）已取得一系列重大科學成果，發現脈沖星數量超過240顆。脈沖星就是旋轉的中子星，每自轉一周，就向外發射一次電磁脈沖信號，因此而得名。若觀測到某個中子星發射電磁脈沖信號的周期為，該中子星的半徑為，已知萬有引力常量為，中子星可視為勻質球體，由以上物理量可以求出（）

A.該中子星的質量

B.該中子星第一宇宙速度

C.該中子星赤道表面的重力加速度

D.該中子星赤道上的物體隨中子星轉動的向心加速度

【答案】D

【解析】

A．電磁脈沖信號的周期即為中子星的自轉周期，所以中子星的同步衛星的周期為，根據牛頓第二定律得

因為同步衛星的高度未知，所以中子星的質量無法求解。A錯誤；

BC．該中子星的近地衛星速度即為第一宇宙速度，有

因為中子星質量未