搜索是人工智能中的一個基本問題，并與推理密切相關，搜索策略的優劣，將直接影響到智能系統的性能與推理效率。

搜索的基本概念狀態空間的盲目搜索狀態空間的啟發式搜索與/或樹的盲目搜索與/或樹的啟發式搜索博弈樹的啟發式搜索第4章搜索策略4.1搜索的基本概念搜索的含義狀態空間法問題歸約法4.1.1搜索的含義概念：

依靠經驗，利用已有知識，根據問題的實際情況，不斷尋找可利用知識，從而構造一條代價最小的推理路線，使問題得以解決的過程搜索的類型

按是否使用啟發式信息：盲目搜索：按預定的控制策略進行搜索，在搜索過程中獲得的中間信息并不改變控制策略。啟發式搜索：在搜索中加入了與問題有關的啟發性信息，用于指導搜索朝著最有希望的方向前進，加速問題的求解過程并找到最優解。按問題的表示方式：狀態空間搜索：用狀態空間法來求解問題所進行的搜索與或樹搜索：用問題歸約法來求解問題時所進行的搜索4.1.2狀態空間法1.狀態空間表示方法狀態(State)：是表示問題求解過程中每一步問題狀況的數據結構，它可形式地表示為：

Sk={Sk0,Sk1,…}當對每一個分量都給以確定的值時，就得到了一個具體的狀態。操作(Operator)

也稱為算符，它是把問題從一種狀態變換為另一種狀態的手段。操作可以是一個機械步驟，一個運算，一條規則或一個過程。操作可理解為狀態集合上的一個函數，它描述了狀態之間的關系。狀態空間(Statespace)

用來描述一個問題的全部狀態以及這些狀態之間的相互關系。常用一個三元組表示為：(S,F,G)其中，S為問題的所有初始狀態的集合；F為操作的集合；G為目標狀態的集合。狀態空間也可用一個賦值的有向圖來表示，該有向圖稱為狀態空間圖。在狀態空間圖中，節點表示問題的狀態，有向邊表示操作。狀態空間法求解問題的基本過程：首先為問題選擇適當的“狀態”及“操作”的形式化描述方法；然后從某個初始狀態出發，每次使用一個“操作”，遞增地建立起操作序列，直到達到目標狀態為止；此時，由初始狀態到目標狀態所使用的算符序列就是該問題的一個解。

4.1.2狀態空間法2.狀態空間問題求解例4.1修道士(Missionaries)和野人(Cannibals)問題(簡稱M-C問題)。

設在河的一岸有三個野人、三個修道士和一條船，修道士想用這條船把所有的人運到河對岸，但受以下條件的約束：一是修道士和野人都會劃船，但每次船上至多可載兩個人；二是在河的任一岸，如果野人數目超過修道士數，修道士會被野人吃掉。如果野人會服從任何一次過河安排，請規劃一個確保修道士和野人都能過河，且沒有修道士被野人吃掉的安全過河計劃。

4.1.2狀態空間法3.狀態空間的例子解：首先選取描述問題狀態的方法。在這個問題中，需要考慮兩岸的修道士人數和野人數，還需要考慮船在左岸還是在右岸。從而可用一個三元組來表示狀態

S=(m,c,b)其中，m表示左岸的修道士人數，c表示左岸的野人數，b表示左岸的船數。右岸的狀態可由下式確定：右岸修道士數m'=3-m

右岸野人數c'=3-c

右岸船數b'=1-b

在這種表示方式下，m和c都可取0、1、2、3中之一，b可取0和1中之一。因此，共有4×4×2=32種狀態。4.1.2狀態空間法3.狀態空間的例子

這32種狀態并非全有意義，除去不合法狀態和修道士被野人吃掉的狀態，有意義的狀態只有16種：

S0=(3,3,1)S1=(3,2,1)S2=(3,1,1)S3=(2,2,1)S4=(1,1,1)S5=(0,3,1)S6=(0,2,1)S7=(0,1,1)S8=(3,2,0)S9=(3,1,0)S10=(3,0,0)S11=(2,2,0)S12=(1,1,0)S13=(0,2,0)S14=(0,1,0)S15=(0,0,0)有了這些狀態，還需要考慮可進行的操作。

操作是指用船把修道士或野人從河的左岸運到右岸。每個操作都應當滿足如下條件：

一是船至少有一個人（m或c）操作，離開岸邊的m和c的減少數目應該等于到達岸邊的m和c的增加數目；二是每次操作船上人數不得超過2個；三是操作應保證不產生非法狀態。因此，操作應由條件部分和動作部分：條件：只有當其條件具備時才能使用動作：刻劃了應用此操作所產生的結果。

操作的表示：

用符號Pij表示從左岸到右岸的運人操作用符號Qij表示從右岸到左岸的操作其中：

i表示船上的修道士人數

j表示船上的野人數操作集本問題有10種操作可供選擇：

F={P01,P10,P11,P02,P20,Q01,Q10,Q11,Q02,Q20}

下面以P01和Q01為例來說明這些操作的條件和動作。操作符號條件動作

P01b=1,m=0或3,c≥1b=0,c=c-1Q01b=0,m=0或3，c≤2b=1,c=c+1

abc

例4.2猴子摘香蕉問題。在討論謂詞邏輯知識表示時，我們曾提到過這一問題，現在用狀態空間法來解決這一問題。

解：問題的狀態可用4元組（w,x,y,z）表示。其中：

w表示猴子的水平位置；

x表示箱子的水平位置；

y表示猴子是否在箱子上，當猴子在箱子上時，y取1，否則y取0；

z表示猴子是否拿到香蕉，當拿到香蕉時z取1，否則z取0。4.1.2狀態空間法3.狀態空間的例子所有可能的狀態為

S0:(a,b,0,0)初始狀態

S1:(b,b,0,0)S2:(c,c,0,0)S3:(c,c,1,0)S4:(c,c,1,1)目標狀態允許的操作為

Goto(u)：猴子走到位置u，即

(w,x,0,0)→(u,x,0,0)Pushbox(v):猴子推著箱子到水平位置v，即

(x,x,0,0)→(v,v,0,0)Climbbox:猴子爬上箱子，即

(x,x,0,0)→(x,x,1,0)Grasp；猴子拿到香蕉，即

(c,c,1,0)→(c,c,1,1)

這個問題的狀態空間圖如下圖所示。操作序列為：

{Goto(b),Pushbox(c),Climbbox,Grasp}猴子摘香蕉問題的解(a,b,0,0)(b,b,0,0)(c,c,0,0)(b,b,1,0)(c,c,1,0)(a,a,0,0)(c,c,1,1)初始狀態Goto(b)Goto(b)Pushbox(c)Grasp目標狀態猴子摘香蕉問題的狀態空間圖解序列為：{Goto(b),Pushbox(c),Climbbox,Grasp}Pushbox(c)ClimbboxClimbboxPushbox(c)Pushbox(a)Pushbox(a)回顧第二章-猴子摘香蕉問題(1/3)描述狀態的謂詞：AT(x,y)：x在y處ONBOX：猴子在箱子上HB：猴子得到香蕉個體域：x：{monkey,box,banana}Y：{a,b,c}問題的初始狀態AT(monkey,a)AT(box,b)?ONBOX，?HB問題的目標狀態AT(monkey,c)，AT(box,c)ONBOX，HBabc描述操作的謂詞Goto(u,v)：猴子從u處走到v處Pushbox(v,w)：猴子推著箱子從v處移到w處Climbbox：猴子爬上箱子Grasp：猴子摘取香蕉各操作的條件和動作Goto(u,v)條件：?ONBOX，AT(monkey,u)，動作：刪除表：AT(monkey,u)添加表：AT(monkey,v)Pushbox(v,w)條件：?ONBOX，AT(monkey,v)，AT(box,v)動作：刪除表：AT(monkey,v)，AT(box,v)添加表：AT(monkey,w)，AT(box,w)回顧第二章-猴子摘香蕉問題(2/3)Climbbox條件：?ONBOX，AT(monkey,w)，AT(box,w)動作：刪除表：?ONBOX添加表：ONBOXGrasp條件：ONBOX，AT(box,c)動作：刪除表：?HB添加表：HB回顧第二章-猴子摘香蕉問題(3/3)基本思想當一問題較復雜時，可通過分解或變換，將其轉化為一系列較簡單的子問題，然后通過對這些子問題的求解來實現對原問題的求解。

分解如果一個問題P可以歸約為一組子問題P1,P2,…,Pn，并且只有當所有子問題Pi都有解時原問題P才有解，任何一個子問題Pi無解都會導致原問題P無解，則稱此種歸約為問題的分解。即分解所得到的子問題的“與”與原問題P等價。等價變換如果一個問題P可以歸約為一組子問題P1,P2,…,Pn，并且子問題Pi中只要有一個有解則原問題P就有解，只有當所有子問題Pi都無解時原問題P才無解，稱此種歸約為問題的等價變換，簡稱變換。即變換所得到的子問題的“或”與原問題P等價。4.1.3問題歸約法1.問題的分解與等價變換PP1P2P3

與樹P1P2P3

或樹PPP1P2P3

P11P12P31P32P33

與/或樹(1)與樹分解(2)或樹等價變換(3)與/或樹4.1.3問題歸約法2.問題的與/或樹表示(4)端節點與終止節點在與/或樹中，沒有子節點的節點稱為端節點；本原問題所對應的節點稱為終止節點。可見，終止節點一定是端節點，但端節點卻不一定是終止節點。(5)可解節點與不可解節點在與/或樹中，滿足以下三個條件之一的節點為可解節點：

①任何終止節點都是可解節點。

②對“或”節點，當其子節點中至少有一個為可解節點時，則該或節點就是可解節點。

③對“與”節點，只有當其子節點全部為可解節點時，該與節點才是可解節點。同樣，可用類似的方法定義不可解節點：

①不為終止節點的端節點是不可解節點。②對“或”節點，若其全部子節點都為不可解節點，則該或節點是不可解節點。③對“與”節點，只要其子節點中有一個為不可解節點，則該與節點是不可解節點。Pt

tt

解樹(6)解樹由可解節點構成，并且由這些可解節點可以推出初始節點（它對應著原始問題）為可解節點的子樹為解樹。在解樹中一定包含初始節點。

例如，右圖給出的與或樹中，用紅線表示的子樹是一個解樹。在該圖中，節點P為原始問題節點，用t標出的節點是終止節點。根據可解節點的定義，很容易推出原始問題P為可解節點。問題歸約求解過程就實際上就是生成解樹，即證明原始節點是可解節點的過程。這一過程涉及到搜索的問題，對于與/或樹的搜索將在后面詳細討論。例4.4

三階梵塔問題。要求把1號鋼針上的3個金片全部移到3號鋼針上，如下圖所示。

解：這個問題也可用狀態空間法來解，不過本例主要用它來說明如何用歸約法來解決問題。為了能夠解決這一問題，首先需要定義該問題的形式化表示方法。設用三元組(i,j,k)表示問題在任一時刻的狀態，用“→”表示狀態的轉換。上述三元組中

i代表金片C所在的鋼針號

j代表金片B所在的鋼針號

k代表金片A所在的鋼針號1231234.1.3問題歸約法2.問題的與/或樹表示利用問題歸約方法，原問題可分解為以下三個子問題：

(1)把金片A及B移到2號鋼針上的雙金片移動問題。即(1,1,1)→(1,2,2)(2)把金片C移到3號鋼針上的單金片移動問題。即(1,2,2)→(3,2,2)(3)把金片A及B移到3號鋼針的雙金片移動問題。即(3,2,2)→((3,3,3)其中，子問題(1)和(3)都是一個二階梵塔問題，它們都還可以再繼續進行分解；子問題(2)是本原問題，它已不需要再分解。三階梵塔問題的分解過程可用如下圖與/或樹來表示

(1,1,1)→(3,3,3)

(1,1,1)→(1,2,2)(1,2,2)→(3,2,2)(3,2,2)→(3,3,3)(1,1,1)→(1,1,3)(1,1,3)→(1,2,3)(1,2,3)→(1,2,2)(3,2,2)→(3,2,1)(3,2,1)→(3,3,1)(3,3,1)→(3,3,3)

在該與/或樹中，有7個終止節點，它們分別對應著7個本原問題。如果把這些本原問題從左至右排列起來，即得到了原始問題的解：

(1,1,1)→(1,3,3)(1,3,3)→(1,2,3)(1,2,3)→(1,2,2)(1,2,2)→(3,2,2)(3,2,2)→(3,2,1)(3,2,1)→(3,3,1)(3,3,1)→(3,3,3)

搜索的基本概念

狀態空間的盲目搜索狀態空間的啟發式搜索與/或樹的盲目搜索與/或樹的啟發式搜索博弈樹的啟發式搜索第4章搜索策略4.2狀態空間的盲目搜索廣度優先和深度優先搜索代價樹搜索基本思想

從初始節點S0開始逐層向下擴展，在第n層節點還沒有全部搜索完之前，不進入第n+1層節點的搜索。Open表中的節點總是按進入的先后排序，先進入的節點排在前面，后進入的節點排在后面。搜索算法

(1)把初始節點S0放入Open表中；

(2)如果Open表為空，則問題無解，失敗退出；

(3)把Open表的第一個節點取出放入Closed表，并記該節點為n；

(4)考察節點n是否為目標節點。若是，則得到問題的解，成功退出；

(5)若節點n不可擴展，則轉第(2)步；

(6)擴展節點n，將其子節點放入Open表的尾部，并為每一個子節點設置指向父節點的指針，然后轉第(2)步。

4.2.2廣度優先和深度優先搜索1.廣度優先搜索例4.5

八數碼難題。在3×3的方格棋盤上，分別放置了表有數字1、2、3、4、5、6、7、8的八張牌，初始狀態S0，目標狀態Sg，如下圖所示。可以使用的操作有空格左移，空格上移，空格右移，空格下移即只允許把位于空格左、上、右、下方的牌移入空格。要求應用廣度優先搜索策略尋找從初始狀態到目標狀態的解路徑。

831476512384765S0Sg2831476528314765231847652831476528316475

8321476528371465

2318476523184765281437652831457628316475283164758321476528371465832147658132476528374615283714651238476512378465123847652341876528143765283145762836417528316754S0123456789101112131415161718192021222324252627Sg算法描述

(1)把初始節點S0放入Open表中；

(2)如果Open表為空，則問題無解，失敗退出；

(3)把Open表的第一個節點取出放入Closed表，并記該節點為n；

(4)考察節點n是否為目標節點。若是，則得到問題的解，成功退出；

(5)若節點n不可擴展，則轉第(2)步；

(6)擴展節點n，將其子節點放入Open表的首部，并為每一個子節點設置指向父節點的指針，然后轉第(2)步。

4.2.2廣度優先和深度優先搜索2.深度優先搜索基本思想

從初始節點S0開始，在其子節點中選擇一個最新生成的節點進行考察，如果該子節點不是目標節點且可以擴展，則擴展該子節點，然后再在此子節點的子節點中選擇一個最新生成的節點進行考察，依此向下搜索，直到某個子節點既不是目標節點，又不能繼續擴展時，才選擇其兄弟節點進行考察。2831476528314765231847652831476528316475283164752831647528316754283167542816375428163754S01

2

3

4

5

6八數碼難題的深度優先搜索如右圖一種改進的深度優先算法是有界深度優先搜索算法，深度限制為dm例4.6

八數碼難題在代價樹中，可以用g(n)表示從初始節點S0到節點n的代價，用c(n1,n2)表示從父節點n1到其子節點n2的代價。這樣，對節點n2的代價有：g(n2)=g(n1)+c(n1,n2)。代價樹搜索的目的是為了找到最佳解，即找到一條代價最小的解路徑。

4.2.3代價樹搜索1.代價樹的廣度優先搜索代價樹的廣度優先搜索算法：

(1)把初始節點S0放入Open表中，置S0的代價g(S0)=0；

(2)如果Open表為空，則問題無解，失敗退出；

(3)把Open表的第一個節點取出放入Closed表，并記該節點為n；

(4)考察節點n是否為目標。若是，則找到了問題的解，成功退出；

(5)若節點n不可擴展，則轉第(2)步；

(6)擴展節點n，生成其子節點ni(i=1,2,…)，將這些子節點放入Open表中，并為每一個子節點設置指向父節點的指針。按如下公式：

g(ni)=g(n)+c(ni)i=1,2,...計算各子結點的代價，并根據各子結點的代價對Open表中的全部結點按由小到大的順序排序。然后轉第(2)步。例4.7

城市交通問題。設有5個城市，它們之間的交通線路如左圖所示，圖中的數字表示兩個城市之間的交通費用，即代價。用代價樹的廣度優先搜索，求從A市出發到E市，費用最小的交通路線。

ABCDE434523245AC1B1D1D2E1E2B2C2E3E43434235城市交通圖城市交通圖的代價樹解：代價樹如右圖所示。其中，紅線為最優解，其代價為84.2.3代價樹搜索2.代價樹的深度優先搜索代價樹的深度優先搜索算法：

(1)把初始節點S0放入Open表中，置S0的代價g(S0)=0；

(2)如果Open表為空，則問題無解，失敗退出；

(3)把Open表的第一個節點取出放入Closed表，并記該節點為n；

(4)考察節點n是否為目標節點。若是，則找到了問題的解，成功退出；

(5)若節點n不可擴展，則轉第(2)步；

(6)擴展節點n，生成其子節點ni(i=1,2,…)，將這些子節點按邊代價由小到大放入Open表的首部，并為每一個子節點設置指向父節點的指針。然后轉第(2)步。搜索的基本概念狀態空間的盲目搜索狀態空間的啟發式搜索與/或樹的盲目搜索與/或樹的啟發式搜索博弈樹的啟發式搜索第4章搜索策略4.3狀態空間的啟發式搜索啟發性信息和估價函數A算法A*算法A*算法應用舉例啟發性信息的概念

啟發性信息是指那種與具體問題求解過程有關的，并可指導搜索過程朝著最有希望方向前進的控制信息。啟發性信息的種類①有效地幫助確定擴展節點的信息；②有效的幫助決定哪些后繼節點應被生成的信息；③

能決定在擴展一個節點時哪些節點應從搜索樹上刪除的信息。

啟發性信息的作用啟發信息的啟發能力越強，擴展的無用結點越少。4.3.1啟發性信息和估價函數1.啟發性信息估價函數用來估計節點重要性的函數。估價函數f(n)被定義為從初始節點S0出發，約束經過節點n到達目標節點Sg的所有路徑中最小路徑代價的估計值。它的一般形式為：

f(n)=g(n)+h(n)其中，g(n)是從初始節點S0到節點n的實際代價；h(n)是從節點n到目標節點Sg的最優路徑的估計代價。

4.3.1啟發性信息和估價函數2.估價函數例4.8

八數碼難題。設問題的初始狀態S0和目標狀態Sg如下圖所示，且估價函數為

f(n)=d(n)+W(n)其中：d(n)表示節點n在搜索樹中的深度

W(n)表示節點n中“不在位”的數碼個數。請計算初始狀態S0的估價函數值f(S0)解：取g(n)=d(n)，h(n)=W(n)。它說明是用從S0到n的路徑上的單位代價表示實際代價，用結點n中“不在位”的數碼個數作為啟發信息。一般來說，某節點中的“不在位”的數碼個數越多，說明它離目標節點越遠。對初始節點S0，由于d(S0)=0，W(S0)=3，因此有

f(S0)=0+3=32

831476512384765S0Sg概念：在圖搜索算法中，如果能在搜索的每一步都利用估價函數f(n)=g(n)+h(n)對Open表中的節點進行排序，則該搜索算法為A算法。

由于估價函數中帶有問題自身的啟發性信息，因此，A算法也被稱為啟發式搜索算法。類型：可根據搜索過程中選擇擴展節點的范圍，將啟發式搜索算法分為全局擇優搜索算法和局部擇優搜索算法。全局擇優：從Open表的所有節點中選擇一個估價函數值最小的一個進行擴展。局部擇優：僅從剛生成的子節點中選擇一個估價函數值最小的一個進行擴展。4.3.2A算法全局擇優搜索A算法描述：

(1)把初始節點S0放入Open表中，f(S0)=g(S0)+h(S0)；

(2)如果Open表為空，則問題無解

，失敗退出；

(3)把Open表的第一個節點取出放入Closed表，并記該節點為n；

(4)考察節點n是否為目標節點。若是，則找到了問題的解，成功退出；

(5)若節點n不可擴展，則轉第(2)步；

(6)擴展節點n，生成其子節點ni(i=1,2,…)，計算每一個子節點的估價值f(ni)(i=1,2,…)，并為每一個子節點設置指向父節點的指針，然后將這些子節點放入Open表中；

(7)根據各節點的估價函數值，對Open表中的全部節點按從小到大的順序重新進行排序；

(8)轉第(2)步。

4.3.2A算法例4.9

八數碼難題。設問題的初始狀態S0和目標狀態Sg如圖所示，估價函數與例4.8相同。請用全局擇優搜索解決該問題。解：該問題的全局擇優搜索樹如下圖所示。在該圖中，每個節點旁邊的數字是該節點的估價函數值。例如，對節點S2，其估價函數值的計算為：f(S2)=d(S2)+W(S2)=1+3=4

2831476512384765S0Sg2831476528314765231

847652831476528316475S0

8321476528371465

23184765231847651238476512378465123

847654455564644SgS1S2八數碼難題的全局擇優搜索樹該問題的解為：

S0→S1→S2→S3→SgS36

4.3.3A*算法

A*算法是對A算法的估價函數f(n)=g(n)+h(n)加上某些限制后得到的一種啟發式搜索算法假設f*(n)是從初始節點出發，約束經過節點n達到目標節點的最小代價，估價函數f(n)是對f*(n)的估計值。且

f*(n)=g*(n)+h*(n)A*算法對A算法（全局擇優的啟發式搜索算法）中的g(n)和h(n)分別提出如下限制：第一，g(n)是對最小代價g*(n)的估計，且g(n)>0；第二，h(n)是最小代價h*(n)的下界，即對任意節點n均有h(n)≤h*(n)。即滿足上述兩條限制的A算法稱為A*算法。

4.3.3A*算法1.A*算法的可納性(1)可納性的含義：對任一狀態空間圖，當從初始節點到目標節點有路經存在時，如果搜索算法總能在有限步驟內找到一條從初始節點到目標節點的最佳路徑，并在此路徑上結束，則稱該搜索算法是可采納的。A*算法可納性的證明以下分三步（定理4.1、定理4.2、定理4.3，即引理）進行證明。定理4.1對有限圖，如果從初始節點S0到目標節點Sg有路徑存在，則算法A*一定成功結束。

證明：首先證明算法必然會結束。由于搜索圖為有限圖，如果算法能找到解，則成功結束；如果算法找不到解，則必然會由于Open表變空而結束。因此，A*算法必然會結束。然后證明算法一定會成功結束。由于至少存在一條有初始節點到目標節點的路徑，設此路徑為S0=n0,n1,…,nk=Sg算法開始時，節點n0在Open表中，而且路徑中任一節點ni離開Open表后，其后繼節點ni+1必然進入Open表，這樣，在Open表變為空之前，目標節點必然出現在Open表中。因此，算法一定會成功結束。引理4.1

對無限圖，如果從初始節點S0到目標節點Sg有路徑存在，則算法A*算法不終止的話，則從Open表中選出的節點必將具有任意大的f值。證明：設d*(n)是A*生成的從初始節點S0到節點n的最短路經長度，由于搜索圖中每條邊的代價都是一個正數，令這些正數中的最小的一個數是e，則有

g*(n)≥d*(n)×e因為g*(n)是最佳路徑的代價，故有

g(n)≥g*(n)≥d*(n)×e又因為h(n)≥0，故有

f(n)=g(n)+h(n)≥g(n)≥d*(n)×e

如果A*算法不終止的話，從Open表中選出的節點必將具有任意大的d*(n)值，因此，也將具有任意大的f值。

4.3.3A*算法1.A*算法的可納性(2)引理4.2

在A*算法終止前的任何時刻，Open表中總存在節點n’，它是從初始節點S0到目標節點的最佳路徑上的一個節點，且滿足f(n’)≤f*(S0)。

證明：設從初始節點S0到目標節點t的一條最佳路徑序列為

S0=n0,n1,…,nk=Sg算法開始時，節點S0在Open表中，當節點S0離開Open表進入Closed表時，節點n1進入Open表。因此，A*沒有結束以前，在Open表中必存在最佳路徑上的節點。設這些節點中排在最前面的節點為n'，則有

f(n')=g(n')+h(n')由于n'在最佳路徑上，故有g(n')=g*(n')，從而

f(n')=g*(n')+h(n')又由于A*算法滿足h(n')≤h*(n')，故有

f(n')≤g*(n')+h*(n')=f*(n')因為在最佳路徑上的所有節點的f*值都應相等，因此有

f(n')≤f*(S0)4.3.3A*算法1.A*算法的可納性(3)定理4.2

對無限圖，若從初始節點S0到目標節點t有路徑存在，則A*算法必然會結束。證明：（反證法）假設A*不結束，由引理4.1知Open表中的節點有任意大的f值，這與引理4.2的結論相矛盾，因此，A*算法只能成功結束。推論4.1

Open表中任一具有f(n)<f*(S0)的節點n，最終都被A*算法選作為擴展的節點。

(證明略)

下面給出A*算法的可納性4.3.3A*算法1.A*算法的可納性(4)4.3.3A*算法1.A*算法的可納性(5)定理4.3

A*算法是可采納的，即若存在從初始節點S0到目標節點Sg的路徑，則A*算法必能結束在最佳路徑上。證明：證明過程分以下兩步進行：

先證明A*算法一定能夠終止在某個目標節點上。由定理4.1和定理4.2可知，無論是對有限圖還是無限圖，A*算法都能夠找到某個目標節點而結束。

再證明A*算法只能終止在最佳路徑上。（反證法）假設A*算法未能終止在最佳路徑上，而是終止在某個目標節點t處，則有

f(t)=g(t)>f*(S0)但由引理4.2可知，在A*算法結束前，必有最佳路徑上的一個節點n'在Open表中，且有

f(n’)≤f*(S0)<f(t)這時，A*算法一定會選擇n'來擴展，而不可能選擇t，從而也不會去測試目標節點t，這就與假設A*算法終止在目標節點t相矛盾。因此，A*算法只能終止在最佳路徑上。推論4.2

在A*算法中，對任何被擴展的節點n，都有f(n)≤f*(S0)。

證明：令n是由A*選作擴展的任一節點，因此n不會是目標節點，且搜索沒有結束。由引理4.2可知，在Open表中有滿足

f(n')≤f*(S0)的節點n'。若n=n'，則有f(n)≤f*(S0)；否則，選擇n擴展，必有

f(n)≤f(n')所以有

f(n)≤f*(S0)4.3.3A*算法1.A*算法的可納性(6)

A*算法的搜索效率很大程度上取決于估價函數h(n)。一般來說，在滿足h(n)≤h*(n)的前提下，h(n)的值越大越好。h(n)的值越大，說明它攜帶的啟發性信息越多，A*算法搜索時擴展的節點就越少，搜索效率就越高。下面通過一個定理來描述這一特性。定理4.4

設有兩個A*算法A1*和A2*，它們有

A1*:f1(n)=g1(n)+h1(n)A2*:f2(n)=g2(n)+h2(n)如果A2*比A1*有更多的啟發性信息，即對所有非目標節點均有

h2(n)>h1(n)則在搜索過程中，被A2*擴展的節點也必然被A1*擴展，即A1*擴展的節點不會比A2*擴展的節點少，亦即A2*擴展的節點集是A1*擴展的節點集的子集。

4.3.3A*算法2.A*算法的最優性(1)

4.3.3A*算法2.A*算法的最優性(2)證明：（用數學歸納法）

(1)

對深度d(n)=0的節點，即n為初始節點S0，如n為目標節點，則A1*和A2*都不擴展n；如果n不是目標節點，則A1*和A2*都要擴展n。

(2)假設對A2*中d(n)=k的任意節點n結論成立，即A1*也擴展了這些節點。

(3)證明A2*中d(n)=k+1的任意節點n，也要由A1*擴展。（用反證法）假設A2搜索樹上有一個滿足d(n)=k+1的節點n，A2*擴展了該節點，但A1*沒有擴展它。根據第(2)條的假設，知道A1*擴展了節點n的父節點。因此，n必定在A1*的Open表中。既然節點n沒有被A1*擴展，則有

f1(n)≥f*(S0)即g1(n)+h1(n)≥f*(S0)。但由于d=k時，A2*擴展的節點A1*也一定擴展，故有

g1(n)≤g2(n)因此有h1(n)≥f*(S0)-g2(n)

另一方面，由于A2*擴展了n，因此有

f2(n)≤f*(0)即g2(n)+h2(n)≤f*(S0)，亦即h2(n)≤f*(S0)-g2(n)，所以有h1(n)≥h2(n)

這與我們最初假設的h1(n)<h2(n)矛盾，因此反證法的假設不成立。在A*算法中，每當擴展一個節點n時，都需要檢查其子節點是否已在Open表或Closed表中。對已在Open表中的子節點，需要決定是否調整指向其父節點的指針；對已在Closed表中的子節點，除需要決定是否調整其指向父節點的指針外，還需要決定是否調整其子節點的后繼節點的父指針。如果能夠保證，每當擴展一個節點時就已經找到了通往這個節點的最佳路徑，就沒有必要再去作上述檢查為滿足這一要求，我們需要對啟發函數h(n)增加單調性限制。定義4.1

如果啟發函數滿足以下兩個條件:(1)h(Sg)=0;(2)對任意節點ni及其任一子節點nj，都有

0≤h(ni)-h(nj)≤c(ni,nj)其中c(ni,nj)是ni到其子節點nj的邊代價，則稱h(n)滿足單調限制。4.3.3A*算法3.h(n)的單調限制(1)定理4.5

如果h滿足單調條件，則當A*算法擴展節點n時，該節點就已經找到了通往它的最佳路徑，即g(n)=g*(n)。證明：設A*正要擴展節點n，而節點序列

S0=n0,n1,…,nk=n是由初始節點S0到節點n的最佳路徑。其中，ni是這個序列中最后一個位于Closed表中的節點，則上述節點序列中的ni+1節點必定在Open表中，則有

g*(ni)+h(ni)≤g*(ni)+c(ni,ni+1)+h(ni+1)由于節點ni和ni+1都在最佳路徑上，故有g*(ni+1)=g*(ni)+c(ni,ni+1)所以g*(ni)+h(ni)≤g*(ni+1)+h(ni+1)一直推導下去可得g*(ni+1)+h(ni+1)≤g*(nk)+h(nk)由于節點ni+1在最佳路徑上，故有f(ni+1)≤g*(n)+h(n)因為這時A*擴展節點n而不擴展節點ni+1，則有

f(n)=g(n)+h(n)≤f(ni+1)≤g*(n)+h(n)即g(n)≤g*(n)但是g*(n)是最小代價值，應當有

g(n)≥g*(n)所以有g(n)=g*(n)4.3.3A*算法3.h(n)的單調限制(2)定理4.6

如果h(n)滿足單調限制，則A*算法擴展的節點序列的f值是非遞減的，即f(ni)≤f(ni+1)。

證明：假設節點ni+1在節點ni之后立即擴展，由單調限制條件可知

h(ni)-h(ni+1)≤c(ni,ni+1)即f(ni)-g(ni)-f(ni+1)+g(ni+1)≤c(ni,ni+1)亦即f(ni)-g(ni)-f(ni+1)+g(ni)+c(ni,ni+1)≤c(ni,ni+1)所以f(ni)-f(ni+1)≤0即f(ni)≤f(ni+1)

以上兩個定理都是在h(n)滿足單調性限制的前提下才成立的。如果h(n)不滿足單調性限制，則它們不一定成立。在h(n)滿足單調性限制下的A*算法常被稱為改進的A*算法。4.3.3A*算法3.h(n)的單調限制(2)例4.10

八數碼難題。

2831476528314765231847652831476528316475

2318476523184765123847651237846512384765S0f=6g*=1h*=3f=6f=6

g*=2h*=2f=6f=4g*=3h*=1f=4g*=4h*=0f=4f=6Sg八數碼難題h(n)=P(n)的搜索樹f(n)=d(n)+P(n)d(n)深度P(n)與目標距離f*=g*+h*f=44.3.4A*算法應用舉例h*=4f=4例4.11修道士和野人問題。解：用m表示左岸的修道士人數，c表示左岸的野人數，b表示左岸的船數，用三元組(m,c,b)表示問題的狀態。對A*算法，首先需要確定估價函數。設g(n)=d(n)，h(n)=m+c-2b，則有

f(n)=g(n)+h(n)=d(n)+m+c-2b其中，d(n)為節點的深度。通過分析可知h(n)≤h*(n)，滿足A*算法的限制條件。

M-C問題的搜索過程如下圖所示。4.3.4A*算法應用舉例(3,3,1)h=4f=4(3,2,0)(3,1,0)(2,2,0)(3,2,1)(2,1,0)(3,0,0)(2,2,1)(3,1,1)(0,2,0)(1,1,0)(0,3,1)(0,1,0)(0,2,1)(0,0,0)h=5f=6h=3f=5h=3f=6h=3f=6h=2f=6h=2f=7h=1f=7h=1f=8h=0f=8傳教士和野人問題的搜索圖h(n)=m+c-2bh=4f=5h=4f=5h=2f=6h=2f=7本章要點搜索的基本概念狀態空間的盲目搜索狀態空間的啟發式搜索與/或樹的盲目搜索與/或樹的啟發式搜索博弈樹的啟發式搜索與/或樹的搜索過程實際上是一個不斷尋找解樹的過程。其一般搜索過程如下：

(1)把原始問題作為初始節點S0，并把它作為當前節點；

(2)應用分解或等價變換操作對當前節點進行擴展；

(3)為每個子節點設置指向父節點的指針；

(4)選擇合適的子節點作為當前節點，反復執行第(2)步和第(3)步，在此期間需要多次調用可解標記過程或不可解標記過程，直到初始節點被標記為可解節點或不可解節點為止。上述搜索過程將形成一顆與/或樹，這種由搜索過程所形成的與/或樹稱為搜索樹。

4.4.1與/或樹的一般搜索

與/或樹的廣度優先搜索與狀態空間的廣度優先搜索的主要差別是，需要在搜索過程中需要多次調用可解標識過程或不可解標識過程。其搜索算法如下：

(1)把初始節點S0放入Open表中；

(2)把Open表的第一個節點取出放入Closed表，并記該節點為n；

(3)如果節點n可擴展，則做下列工作：①擴展節點n，將其子節點放入Open表的尾部，并為每一個子節點設置指向父節點的指針；4.4.1與/或樹的廣度優先和深度優先搜索1.廣度優先搜索②考察這些子節點中有否終止節點。若有，則標記這些終止節點為可解節點，并用可解標記過程對其父節點及先輩節點中的可解解節點進行標記。如果初始解節點S0能夠被標記為可解節點，就得到了解樹，搜索成功，退出搜索過程；如果不能確定S0為可解節點，則從Open表中刪去具有可解先輩的節點。③轉第(2)步。

(4)如果節點n不可擴展，則作下列工作：①標記節點n為不可解節點；②應用不可解標記過程對節點n的先輩中不可解解的節點進行標記。如果初始解節點S0也被標記為不可解節點，則搜索失敗，表明原始問題無解，退出搜索過程；如果不能確定S0為不可解節點，則從Open表中刪去具有不可解先輩的節點。

③轉第(2)步。例4.13設有下圖所示的與/或樹，節點按標注順序進行擴展，其中表有t1、t2、t3的節點是終止節點，A、B、C為不可解的端節點。

123A4t15

t2Bt3C與/或樹的廣度優先搜索搜索過程為：

(1)先擴展1號節點，生成2號節點和3號節點。

(2)擴展2號節點，生成A節點和4號節點。

(3)擴展3號節點，生成t1節點和5號節點。由于t1為終止節點，則標記它為可解節點，并應用可解標記過程，不能確定3號節點是否可節。

(6)擴展5號節點，生成t3節點和C節點。由于t3為終止節點，則標記它為可解節點，并應用可解標記過程，可標記1號節點為可解節點。

(7)搜索成功，得到由1、2、3、4、5號節點即t1、t2、t3節點構成的解樹。

(4)擴展節點A，由于A是端節點，因此不可擴展。調用不可解標記過程…。

(5)擴展4號節點，生成t2節點和B節點。由于t2為終止節點，則標記它為可解節點，并應用可解標記過程，可標記2號節點為可解，但不能標記1號節點為可解。

與/或樹的深度優先搜索和與/或樹的廣度優先搜索過程基本相同，其主要區別在于Open表中節點的排列順序不同。在擴展節點時，與/或樹的深度優先搜索過程總是把剛生成的節點放在Open表的首部。與/或樹的深度優先搜索也可以帶有深度限制dm，其搜索算法如下：

(1)把初始節點S0放入Open表中；

(2)把Open表第一個節點取出放入Closed表，并記該節點為n；

(3)如果節點n的深度等于dm，則轉第(5)步的第①點；

(4)如果節點n可擴展，則做下列工作：①擴展節點n，將其子節點放入Open表的首部，并為每一個子節點設置指向父節點的指針；4.4.1與/或樹的廣度優先和深度優先搜索2.深度優先搜索②考察這些子節點中是否有終止節點。若有，則標記這些終止節點為可解節點，并用可解標記過程對其父節點及先輩節點中的可解解節點進行標記。如果初始解節點S0能夠被標記為可解節點，就得到了解樹，搜索成功，退出搜索過程；如果不能確定S0為可解節點，則從Open表中刪去具有可解先輩的節點。③轉第(2)步。

(5)如果節點n不可擴展，則作下列工作：①標記節點n為不可解節點；②應用不可解標記過程對節點n的先輩中不可解解的節點進行標記。如果初始解節點S0也被標記為不可解節點，則搜索失敗，表明原始問題無解，退出搜索過程；如果不能確定S0為不可解節點，則從Open表中刪去具有不可解先輩的節點。③轉第(2)步。對上例，若按有界深度優先，且設dm=4，則其節點擴展順序為：1，3，5，2，4。

123A4t15

t2Bt3C與/或樹的有界深度優先搜索搜索過程為：

(1)先擴展1號節點，生成2號節點和3號節點。

(2)擴展3號節點，生成t1節點和5號節點。由于t1為終止節點，則標記它為可解節點，并應用可解標記過程，不能確定3號節點是否可解。

(6)搜索成功，得到由1、3、5、2、4號節點即t1、t2、t3節點構成的解樹。

(4)擴展2號節點，生成A節點和4號節點。

(5)擴展4號節點，生成t2節點和B節點。由于t2為終止節點，則標記它為可解節點，并應用可解標記過程，可標記2號節點為可解，再往上又可標記1號節點為可解。

(3)擴展5號節點，生成t3節點和C節點。由于t3為終止節點，則標記它為可解節點，并應用可解標記過程，可標記3號節點為可解節點，但不能標記1號為可解。本章要點搜索的基本概念狀態空間的盲目搜索狀態空間的啟發式搜索與/或樹的盲目搜索與/或樹的啟發式搜索博弈樹的啟發式搜索與/或樹的啟發式搜索過程實際上是一種利用搜索過程所得到的啟發性信息尋找最優解樹的過程。算法的每一步都試圖找到一個最有希望成為最優解樹的子樹。最優解樹是指代價最小的那棵解樹。它涉及到解樹的代價與希望樹。4.5與/或樹的啟發式搜索解樹的代價可按如下規則計算：

(1)若n為終止節點，則其代價b(n)=0；

(2)若n為或節點，且子節點為n1,n2,…,nk，則n的代價為：其中，c(n,ni)是節點n到其子節點ni的邊代價。

(3)若n為與節點，且子節點為n1,n2,…,nk，則n的代價可用和代價法或最大代價法。若用和代價法，則其計算公式為：若用最大代價法，則其計算公式為：

(4)若n是端節點，但又不是終止節點，則n不可擴展，其代價定義為h(n)=∝。

(5)根節點的代價即為解樹的代價。4.4.1解樹的代價與希望樹1.解樹的代價4635例4.13

設下圖是一棵與/或樹，它包括兩可解樹，左邊的解樹由S0、A、t1、C及t2組成；右邊的解樹由S0、B、t2、D及t4組成。在此與或樹中，t1、t2、t3、t4為終止節點；E、F是端節點；邊上的數字是該邊的代價。請計算解樹的代價。解：先計算左邊的解樹按和代價：h(S0)=2+4+6+2=14按最大代價：h(S0)=(2+6)+2=10再計算右邊的解樹按和代價：h(S0)=1+5+3+2=11按最大代價：h(S0)=(1+5)+2=8

S022ABt1Ct2D21t3Et4F

與/或樹的代價希望樹是指搜索過程中最有可能成為最優解樹的那棵樹。

與/或樹的啟發式搜索過程就是不斷地選擇、修正希望樹的過程，在該過程中，希望樹是不斷變化的。定義4.2

希望解樹

(1)初始節點S0在希望樹T(2)如果n是具有子節點n1,n2,…,nk的或節點，則n的某個子節點ni在希望樹T中的充分必要條件是

(3)如果n是與節點，則n的全部子節點都在希望樹T中。

4.4.1解樹的代價與希望樹2.希望樹與/或樹的啟發式搜索過程如下：

(1)把初始節點S0放入Open表中，計算h(S0)；

(2)計算希望樹T；

(3)依次在Open表中取出T的端節點放入Closed表，并記該節點為n；

(4)如果節點n為終止節點，則做下列工作：①標記節點n為可解節點；②在T上應用可解標記過程，對n的先輩節點中的所有可解解節點進行標記；

③如果初始解節點S0能夠被標記為可