高等數學由楊艷制作第四章一元積分學第四章習題課一、主要內容二、典型例題問題1:曲邊梯形的面積問題2:變速直線運動的路程存在定理廣義積分定積分定積分的性質定積分的計算法牛頓-萊布尼茨公式一、主要內容1.定積分定積分的定義定義作和被積函數被積表達式積分變量積分下限積分和積分上限定積分的幾何意義定理2(可積的充分條件Ⅰ)定理3(可積的充分條件Ⅱ)定積分的存在條件定理1(可積的必要條件)定積分的性質規定:性質1（線性性質）性質2（積分區間可加性）補充：不論的相對位置如何,上式總成立.性質3性質4（單調性）推論性質5（定積分中值定理）積分中值公式積分法原函數選擇u有效方法基本積分表第一換元法第二換元法直接積分法分部積分法不定積分幾種特殊類型函數的積分2.不定積分定義設函數F(x)、f(x)均定義在區間I上,F(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx

，則稱函數F(x)是已知函數f(x)在區間I上的一個若對都有原函數.原函數定理（原函數存在定理）連續函數一定存在原函數.即如果函數f(x)在區間I上連續，那么在區間I上必存在一個可導函數F(x)使得不定積分的定義定義函數f(x)的所有原函數的一般表達式稱為函數f(x)的不定積分，記作任意常數積分號被積函數被積表達式積分變量(2)(1)不定積分的性質性質1求不定積分運算與微分運算互為逆運算性質2性質3基本不定積分公式連續，則變上限積分函數在[a,b]上可導，且3.微積分基本定理、基本公式定理（微積分基本公式）換元積分法直接積分法由定義直接利用基本積分表與積分的性質求不定積分的方法.4.積分的計算定理（不定積分的第一類換元積分法）設則作變量代換后，有常見類型:定理(不定積分的第二類換元積分法)設f(x)連續，是單調的、可導的函數且，若，則常用代換:設函數f(x)在區間[a,b]上連續，函數滿足條件:則且定理（定積分的換元積分法）換元必換限

、換限必對應，配元不換限.分部積分法選擇u的有效方法:“反對冪三指”幾種特殊類型函數的積分（1）有理函數的積分定義兩個多項式的商表示的函數稱之.真分式化為部分分式之和的待定系數法四種類型分式的不定積分此兩積分都可積,后者有遞推公式①②

③④

（2）三角函數有理式的積分（3）簡單無理函數的積分討論類型：解決方法：作代換去掉根號．微元法理論依據名稱釋譯所求量的特點解題步驟定積分應用中的常用公式5.定積分的應用微元法第一步利用“化整為零,以常代變”求出微分表達式第二步利用“積零為整,無限累加”求出積分表達式這種分析方法成為微元分析法，簡稱微元法.整體量的精確值局部量的近似值定積分應用的常用公式(1)平面圖形的面積X型平面圖形Y型平面圖形極坐標情形如果曲邊梯形的曲邊為參數方程曲邊梯形的面積參數方程所表示的函數平行截面面積為已知的立體的體積(2)體積xyo(3)平面曲線的弧長A．曲線弧為B．曲線弧為C．曲線弧為(4)質心現有一均勻薄片,由曲線,

及直線x=a,a=b所圍成，且.薄片的面密度為常數，則其質心為(5)變力所作的功(6)液體靜壓力6.反常積分(1)無窮限的反常積分(2)無界函數的反常積分（a為瑕點）（b為瑕點）二、典型例題例1解原式例2解例3解例4解原式例5解(倒代換)例6解例7解例8解例9解例10解例11解例12解例13解例14證例15解(1)(2)例16解由