8/8§6.1平面向量的概念一、內容和內容解析內容：平面向量的概念．內容解析：本節是高中數學人教A版必修2第六章第1節的內容．本節課內容包括向量的實際背景與概念、向量的幾何表示、相等向量與共線向量.本節從物理學中的位移、力這些既有大小又有方向的量出發，抽象出向量的概念，并重點說明了向量與數量的區別，然后介紹了向量的幾何表示、向量的長度、零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量等基本概念.由于向量所特有的數形二重性，使它成為中學數學知識的一個交匯點，成為聯系多項內容的媒介，在高中數學教學內容中有廣泛的應用.本節課是向量的入門課，概念較多，但難度不大，學生可借鑒對物理學中的位移、力、速度等的認識來學習.二、目標和目標解析目標：（1）了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示.（2）掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等定義.（3）通過用向量的語言描述客觀實際培養學生的數學抽象素養.目標解析：（1）通過對力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實際背景；初步認識現實生活中的向量和數量的本質區別；通過類比用帶箭頭的線段表示位移，理解用有向線段表示向量，進而理解向量的表示.（2）借助有向線段的長度和方向，理解向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等定義；能弄清平行向量、相等向量、共線向量的關系.（3）數學核心素養是數學教學的重要目標，但數學核心素養需要在每一堂課中尋找機會去落實．通過本節課的學習，教會學生用向量語言、方法表述和解決現實生活、數學和物理中的問題，培養提升學生的“直觀想象”和“邏輯推理”等數學素養.基于上述分析，本節課的教學重點定為：向量的概念，向量的幾何表示，相等向量和共線向量的概念.三、教學問題診斷分析1．教學問題一：學生已經學習過數量，但是形如確定位置的問題，只用數量是無法滿足需要的，這就使得學習新知識是自然的有必要的，同時可以引導學生類比“學習數量的過程”明確研究向量概念的基本方向，因此，復習回顧數量的相關知識是有必要的.2.教學問題二：學生在物理學科中已經知道重力，彈力，摩擦力，位移，速度等是既有大小又有方向的物理量即矢量，知道借助有向線段來作力的圖示，經歷并了解了實數的形成過程，針對實際生活中一些常見的量，能識別是否具有大小，方向.基于上述情況，本節課的教學難點定為：向量的概念和共線向量的概念.四、教學策略分析本節課的教學目標與教學問題為我們選擇教學策略提供了啟示.為了讓學生通過觀察、類比得到平面向量的相關概念，讓學生體會“向量集形與數于一身”的特征，應該為學生創造積極探究的平臺，引導學生的思考置疑.通過直觀形象→具體→抽象→再具體的反復過程，正向思考與逆向思考相結合，使學生逐步理解概念，克服思維的負遷移.在教學設計中，采取問題引導方式來組織課堂教學．問題的設置給學生留有充分的思考空間，讓學生圍繞問題主線，通過自主探究達到突出教學重點，突破教學難點.在教學過程中，讓學生體會用聯系的觀點、類比的方法研究向量，通過類比“數及其運算”而獲得研究的內容與方法的啟發,再一次體會研究一類新的數學問題的基本思路。因此，本節課的教學是實施數學具體內容的教學與核心素養教學有機結合的嘗試.五、教學過程與設計教學環節問題或任務師生活動設計意圖創設情境引入新知[問題1]南轅北轍——戰國時，有個北方人要到南方的楚國去.他從太行山腳下出發，乘著馬車一直往北走去.有人提醒他：“到楚國應該朝南走，你怎能往北呢?”他卻說：“不要緊，我有一匹好馬！”他能如愿到達楚國嗎？[問題2]老鼠以10m/s的速度向東跑，貓以50m/s的速度向西追，貓能否追上老鼠？[問題3]質量、力、速度這三個物理量有什么區別？教師1：提出問題1.學生1：不能．教師2：產生這個結果的原因是？學生2：方向錯誤．教師3：提出問題2.學生3：不能.教師4：提出問題3.學生4：質量只有大?。涣?、速度既有大小，又有方向.問題引入:提出問題．設置實際的生活情境，從學生熟悉的經驗和問題開始，激發學生學習欲望，同時為學習向量的概念做好鋪墊.探索新知形成概念（一）向量的實際背景與概念[問題4]在物理中，位移與路程是同一個概念嗎？為什么？【練習】下列量不是向量的是（）（1）質量（2）速度（3）位移（4）力（5）加速度（6）面積（7）年齡（8）身高（二）向量的幾何表示[問題5]一條有向線段由哪幾個基本要素所確定？[問題6]向量與有向線段有什么區別？（三）向量的相關概念[問題7]向量的?？梢詾?嗎？可以為1嗎？可以為負數嗎？[問題8]零向量的方向是什么？兩個單位向量的方向相同嗎？[問題9]向量由其模和方向所確定.對于兩個向量,就其模等與不等,方向同與不同而言,有哪幾種可能情形?【練習】判斷：1.如果|eq\o(AB,\s\up6(→))|>|eq\o(CD,\s\up6(→))|，那么eq\o(AB,\s\up6(→))>eq\o(CD,\s\up6(→)).()2.若都是單位向量，則.()3.若，且與的起點相同，則終點也相同.()4.零向量的大小為0，沒有方向.()（四）相等向量與共線向量[問題10]向量由其模和方向所確定.對于兩個向量，就其模等與不等，方向同與不同而言，有哪幾種可能情形？[問題11]若平行向量有相同的起點，那么它們是否一定有相同的終點？[問題12]不相等的兩個向量可能平行嗎？[問題13]如果兩個向量所在的直線互相平行,那么這兩個向量的方向有什么關系?【練習】判斷(1)平行向量方向一定相同.()(2)不相等向量一定不平行.()(3)與零向量相等的向量是零向量.()(4)若兩向量平行,則這兩向量的方向相同或相反.()(5)若兩個向量共線，則其方向必定相同或相反．()教師5：提出問題4．學生5：不是，位移既有大小，又有方向，路程只有大小.教師6：提出定義：向量與數量的定義：既有大小，又有方向的量叫做向量(物理學中稱為矢量);只有大小，沒有方向的量叫做數量(物理學中稱為標量).注意：數量只有大小，是一個代數量，可以進行代數運算、能比較大??；向量具有大小和方向這雙重要素，由于方向不能比較大小，故向量不能比較大小.教師7：完成練習題.學生6：（1）（6）（7）（8）教師8：（1）明確有向線段的概念：1.有向線段：具有方向的線段叫做有向線段.以A為起點、B為終點的有向線段記作eq\o(AB,\s\up6(→))，線段AB的長度叫做有向線段eq\o(AB,\s\up6(→))的長度記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|（2）提出問題5.學生7：起點、方向、長度.教師9：（1）明確向量的表示：2.向量的表示：(1)幾何表示：向量可以用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向.A(起點A(起點)B（終點）(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑體a，b，c，書寫時用).（2）提出問題6.學生8：向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關，只要大小相等和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量.有向線段有起點、方向與長度三個要素，若起點不同，盡管方向與長度相同，也是不同的有向線段.教師10：（1）明確向量的模：1.向量的模向量的大小，就是向量的長度（或模），記作或記作.（2）提出問題7.學生9：可以為0,1，不能為負數。教師11：（1）明確零向量、單位向量：2.零向量：長度為0的向量，記作.3.單位向量：長度等于1個單位的向量.（2）提出問題8.學生10：零向量的方向是任意的．兩個單位向量的方向不一定相同.教師12：提出問題9.學生11：有四種情形:模相等,方向相同;模相等,方向不相同;模不相等,方向相同;模不相等,方向不相同.教師13：完成練習學生12：（1）×，（2）×，（3）√，（4）×．教師14：提出問題10.學生13：模相等，方向相同；模相等，方向不相同；模不相等，方向相同；模不相等，方向不相同；教師15：（1）明確平行向量、相等向量、共線向量的概念：1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.記法：向量與平行，記作.規定：零向量與任意向量平行.2.相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.3.共線向量：由于任一組平行向量都可以平移到同一直線上，所以平行向量也叫做共線向量.（2）提出問題11.學生14：不一定，只有當兩個平行向量相等時，它們才有相同的終點.教師16：提出問題12.學生15：可能.事實上，考慮到零向量的特殊性，向量平行有如下三種情況：(1)兩個向量中，有一個為零向量，另一個為非零向量；(2)兩個向量均為非零向量，方向相同，但模不相等；(3)兩個向量均為非零向量，方向相反，模相等或不相等皆可.教師17：提出問題13.學生16：方向相同或相反.教師18：完成練習學生17：(1)×(2)×(3)√(4)√（5）×借助熟悉的物理背景，通過相關量的對比研究，讓學生深刻理解“向量既有大小，又有方向”的特征.學習有向線段的含義，明確如何用有向線段表示向量，同時理解好“有向線段與向量的區別”，進一步明確“向量與起點無關”.在學習向量的表示之后，借助有向線段，進一步學習“向量的模、零向量、單位向量”等相關概念.通過探究讓學生理解平面向量的概念、平行向量、相等向量的概念，培養數學抽象的核心素養.典例探究落實鞏固1.平面向量的相關概念例1.給出下列命題：①若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則A，B，C，D四點是平行四邊形的四個頂點；②在中，一定有eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))；③若，，則.其中所有正確命題的序號為________．2.平面向量的表示例2.在如圖所示的坐標紙上(每個小方格的邊長均為1)，用直尺和圓規畫出下列向量．(1)eq\o(OA,\s\up6(→))，使|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝4eq\r(2)，點A在點O北偏東45°方向；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))，使|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4，點B在點A正東方向；(3)eq\o(BC,\s\up6(→))，使|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝6，點C在點B北偏東30°方向．3.相等向量與共線向量例3.如圖，四邊形為邊長為3的正方形，把各邊三等分后，共有16個交點，從中選取兩個交點作為向量，則與平行且長度為的向量個數有________個．教師19：例題1中，正確的命題有哪些？學生18：②③．教師20：能否分析一下各個命題？學生19：eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，A，B，C，D四點可能在同一條直線上，故①不正確；在中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))平行且方向相同，故eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，故②正確；，則，且與的方向相同；，則，且與的方向相同，則與長度相等且方向相同，故，故③正確．教師20：哪位同學能上臺展示一下你的答案？學生19：教師21：請同學分析一下例3.學生20：如圖所示，滿足與eq\o(AC,\s\up6(→))平行且長度為2eq\r(2)的向量有eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(FA,\s\up6(→))，eq\o(EC,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))，eq\o(GH,\s\up6(→))，eq\o(HG,\s\up6(→))，eq\o(IJ,\s\up6(→))，eq\o(JI,\s\up6(→))共8個．教師21：與同向且長度為的向量有幾個？學生20：與同向且長度為的向量占與平行且長度為的向量中的一半，共4個.例題講解：通過練習鞏固本節所學知識，通過學生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數學思想，增強學生的應用意識。課堂小結升華認知[問題14]通過這節課，你學到了什么知識？在解決問題時，用到了哪些數學思想？[課后練習]1．在△ABC中，AB＝AC，D，E分別是AB，AC的中點，則()A.與共線B.與共線 B.eq\o(DE,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))共線C.與相等D.與相等 D.eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))相等2．如圖所示，梯形ABCD為等腰梯形，則兩腰上的向量eq\o(AB,\s\up12(→))與eq\o(DC,\s\up12(→))的關系是()A.eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(DC,\s\up12(→))B．|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝|eq\o(DC,\s\up12(→))|C.eq\o(AB,