第2章控制系統的數學模型

自動控制系統的組成可以是電氣的，機械的，液壓的，氣動的等等，然而描述這些系統的數學模型卻可以是相同的。因此，通過數學模型來研究自動控制系統，就擺脫了各種類型系統的外部關系而抓住這些系統的共同運動規律，控制系統的數學模型是通過物理學，化學，生物學等定律來描述的，如機械系統的牛頓定律，電氣系統的克希霍夫定律等都是用來描述系統模型的基本定律。如果描述系統的數學模型是線性的微分方程，則該系統為線性系統，若方程中的系數是常數，則稱其為線性定常系統。數學模型可以是標量方程和向量的狀態方程。控制系統數學模型的概念1.定義：根據系統運動過程的物理、化學等規律，所寫出的描述系統運動規律、特性和輸出與輸入關系的數學表達式（描述系統輸入、輸出以及內部各變量之間關系的數學表達式）。2.建立數學模型的方法：系統建模有兩大類方法:一類是機理分析建模方法，稱為解析法，另一類是實驗建模方法，通常稱為系統辨識。

解析法（機理分析法）根據系統工作所依據的物理定律列寫運動方程。實驗法（系統辨識法）給系統施加某種測試信號，記錄輸出響應，并用適當的數學模型去逼近系統的輸入輸出特性。

3.數學模型的類型

1)靜態模型與動態模型

描述系統靜態（工作狀態不變或慢變過程）特性的模型，稱為靜態數學模型。

靜態數學模型一般是以代數方程表示的。

描述系統動態或瞬態特性的模型，稱為動態數學模型。動態數學模型中的變量依賴于時間，一般是微分方程等形式。

2)連續時間模型與離散時間模型

連續數學模型有微分方程、傳遞函數、狀態空間表達式等。

離散數學模型有差分方程、Z傳遞函數、離散狀態空間表達式等。

3)參數模型與非參數模型

從描述方式上看，數學模型分為參數模型和非參數模型兩大類。

參數模型是用數學表達式表示的數學模型，如傳遞函數、差分方程、狀態方程等。非參數模型是直接或間接從物理系統的試驗分析中得到的響應曲線表示的數學模型，如脈沖響應、階躍響應、頻率特性曲線等。

時域中常用的數學模型有微分方程、差分方程和狀態方程；復域中有傳遞函數和結構圖；頻域中有頻率特性。

數學模型雖然有不同的表示形式，但它們之間可以互相轉換，可以由一種形式的模型轉換為另一種形式的模型。本章中只研究微分方程、傳遞函數和結構圖等數學模型的建立及應用。2-1傅里葉變換與拉普拉斯變換2.2.1線性部件、線性系統微分方程的建立2-2控制系統的時域數學模型用解析法列寫微分方程的一般步驟：（1）根據系統的具體工作情況，確定系統或元部件的輸入、輸出變量；（2）從輸入端開始，按照信號的傳遞順序，依據各變量所遵循的定律，列寫出各部件的動態方程，一般為微分方程組；（3）消去中間變量，寫出輸入、輸出變量的微分方程；（4）將微分方程標準化，即將與輸入有關的各項方在等號右側，與輸出有關的各項放在等號左側，并按降冪排列。例2.1R-L-C無源網絡如圖所示，寫出輸入電壓ur輸出電壓uc之間的微分方程。解：根據克希霍夫定律可以寫出

電容上的電壓回路中電流（2-1）代入式2-1得（2-2）令將式（2-2）整理成標準形式為若令整理成另一種標準形式為例2.2設一彈簧、質量塊、阻尼器組成的系統如圖所示，當外力F(t)作用于系統時，系統將產生運動。試寫出外力F(t)與質量塊的位移y(t)之間的微分方程。kF(t)mfy(t)圖2.2解：若彈簧恢復力F2(t)和阻尼器阻力F1(t)與外力F(t)不能平衡，則質量塊將產生加速運動，其速度和位移發生變化。根據牛頓定理有:式中f—阻尼系數,k—彈性系數由以上所列方程中消去中間變量：kF(t)mfy(t)例2.3：試建立彈簧—阻尼器系統的微分方程。圖2.3例2.4圖中L、R分別為電樞回路的總電感和總電阻。假設勵磁電流恒定不變，試建立在作用下電動機轉軸的運動方程。解在電樞控制情況下，激磁不變。取ua為給定輸入量，為輸出量，Mc為擾動量。為便于建立方程，引入中間變量ea、ia和M。ea為電動機旋轉時電樞兩端的反電勢（V），ia為電樞電流（A），M為電動機旋轉時的電磁力矩（N·m）。列寫數學關系式如下（1）電動機電樞回路的電勢平衡方程為（2）電動機的反電勢方程為（3）電動機的電磁轉矩方程為（4）電動機軸上的動力學方程為消去中間變量Ea、ia和Mm，得

電感La較小，故電磁時間常數Ta可以忽略，則例2.5試建立如圖2.4所示系統的微分方程。解：根據克希霍夫電壓定律，可寫出下列方程組消去中間變量后得到控制系統微分方程的建立應注意：a.應注意信號傳遞的單向性，即前一個元件的輸出是后一個元件的輸入，一級一級地單向傳送；b.應注意前后連接兩個元件中，后級對前級的負載效應（例如：無源網絡輸入阻抗對前級的影響，齒輪系對電動機轉動慣量的影響）。2.2.2非線性系統微分方程的線性化

非線性元件微分方程的線性化方法有：切線法或小偏差法。適合于具有連續變化的非線性特性函數，其實質是在一個很小的范圍內，將非線性特性用一段直線來代替。設連續變化的非線性函數為y＝f（x），取某平衡狀態A為工作點，對應有y0＝f（x0）當x＝x0＋△x時有y＝y0＋△y，設函數y＝f（x）在（x0，y0）點連續可微，則將它在該點附近用臺勞級數展開為當x－x0很小時，略去高次冪項有：

令△y＝y－y0，△x＝x－x0，則△y＝k△x，略去增量符號，得y＝f（x）在工作點A附近的線性化方程為y＝kx。注意：1.非線性方程必為連續。原因：斷續的方程不能用臺勞級數展開，因此不能采用此方法。這類非線性稱為本質非線性。2.K值與工作點的位置有關,隨靜態工作點而變。3.考慮增量ΔX較小，實際運行情況是在某個平衡點附近，且變量只能在小范圍內變化。②兩個自變量：y=f(x1，x2)靜態工作點：y0=f(x10，x20)在y0=f(x10，x20)附近展開成泰勒級數，即函數變化與自變量變化成線性比例關系。例題2-14解:在h0處泰勒展開，取一次近似2-3控制系統的復域數學模型傳遞函數是在拉氏變換基礎上的復域中的數學模型。※傳遞函數不僅可以表征系統的動態特性，而且可以用來研究系統的結構或參數變化對系統性能的影響。2.3.1拉氏變換相關知識2.3.2傳遞函數的定義

線性定常系統在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，稱為該系統的傳遞函數。若線性定常系統的微分方程為在初始條件為零時，對上式進行拉氏變換，得描述該線性定常系統的傳遞函數為例2.7試求例2.1R-L-C無源網絡的傳遞函數。解：由前例可知，R-L-C無源網絡的微分方程為在零初始條件下，對上式兩端取拉氏變換并整理可得網絡傳遞函數為：2.3.3傳遞函數的性質1.傳遞函數表示系統傳遞輸入信號的能力，反映系統本身的動態特性，它只與系統的結構和參數有關，與輸入信號形式無關。

2.由于能源的限制和實際系統或元件總是具有慣性的緣故，其輸出量不可能無限制上升，因而有：傳遞函數是復變量s的有理分式函數，其分子多項式的次數m低于或等于分母多項式的次數n，即m≤n。且系數均為實數。

3.傳遞函數表征系統或元件本身的特性，而與輸入信號無關，但它不能反映系統或元件的物理結構。也就是說，對于許多物理性質截然不同的系統或元件，它們可以有相同形式的傳遞函數。

4.傳遞函數的定義只適用于線性定常系統。5.傳遞函數與微分方程有直接聯系。6.傳遞函數的拉氏反變換即為系統的脈沖響應，因此傳遞函數能反映系統的運動特性。

所以有

脈沖響應是系統在單位脈沖輸入時的輸出響應。因為單位脈沖函數的拉氏變換式為1，常把傳遞函數分解為一次因式的乘積式中：K稱為傳遞函數的增益或傳遞系數（放大系數）。zj(j=1.2.…m)為分子多項式的根，稱為傳遞函數的零點。Pi(1.2.…n)為分母多項式的根，稱為傳遞函數的極點。傳遞函數的分母多項式就是相應微分方程式的特征多項式，令該分母多項式等于零，就可得到相應微分方程的特征方程。2.3.4常用控制元件的傳遞函數學習要求：閱讀教材，理解原理，看懂例題2.3.5典型環節的傳遞函數比例環節的輸出量能夠既不失真又不延遲地反映輸入量的變化。比例環節的傳遞函數為比例環節又稱放大環節。其數學方程為1.比例環節r(t)c(t)c(t)/r(t)2.慣性環節（非周期環節）輸入、輸出間的微分方程為注：1）慣性環節的輸出量不能立即跟隨輸入量的變化，存在時間上延遲，T愈大慣性愈大，延遲時間也愈長，時間常數T表征了該環節的慣性。

2）在單位階躍輸入時慣性環節的輸出量是按指數函數變化的。當t=3T～4T時，輸出才能接近其穩態值。0tr(t)/c(t)3.積分環節積分環節的微分方程是積分環節的輸出量是與其輸入量的積分成比例的。由積分環節的微分方程求得其單位階躍響應為c(t)=Kt單位階躍響應的斜率為K，如右圖所示。式中K=1/T---積分環節的放大系數，T---積分時間常數。tr(t)0c(t)c(t)/r(t)4.微分環節理想微分環節的微分方程為T為微分時間常數。理想微分環節的單位階躍響應為這是一個強度為T的理想脈沖。在實際物理系統中得不到這種理想微分環節。5.振蕩環節振蕩環節的微分方程是當輸入為單位階躍函數時，可用拉氏反變換求得環節的輸出響應，如右圖所示。c(t)10t式中T--時間常數，--阻尼比，對振蕩環節有0≤<16.純滯后環節數學表達式為

式中為純滯后時間。當輸入信號為下圖(a)所示的單位階躍函數時，其響應曲線如下圖(b)所示。r(t)1t0(a)tc(t)10(b)軋鋼機延遲環節的例子2.3.6控制系統的傳遞函數解：根據電路的基本定理可以得到如下的關系式例2.8設下圖所示電路中，輸入電壓為ur,輸出電壓為u0，試寫出其傳遞函數。uru0C1i2R1i1iR2C2在零初始條件下，對上式進行拉氏變換，得消去中間變量，得到輸入、輸出的微分方程式由此得出該電路的傳遞函數為

在上述計算過程中，如果先對所列寫的微分方程組作拉氏變換，再消去中間變量，可簡化計算。在零初始條件下，對方程組取拉氏變換，得到消去中間變量可得)(1)()()()()()]()([)()]()([1)(22021012011sIscsIRsUsIsIsIsUsUscsIsUsURsIrr+=+=-=-=2.4控制系統的結構圖

控制系統的結構圖是描述系統各組成元部件之間信號傳遞關系的數學圖形，它表示系統中各變量所進行的數學運算和輸入、輸出之間的因果關系。2.4.1結構圖的組成

把各環節或元件的傳遞函數填在系統原理方塊圖的方塊中，并把相應的輸入、輸出信號分別以拉氏變換來表示，就可以得到傳遞函數方塊圖。（信號之間的數學物理關系，系統的動態結構）

信號線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，且信號只能單向傳輸。

方框：即一個元件或環節的傳遞函數方塊圖，該方塊可以對信號進行數學變換，其變換關系為

Xc(s)=G(s)Xr(s)G(s)xr(s)xc(s)方塊單元

信號比較點：表示兩個或多個信號在此代數相加。信號比較點的運算關系為xr2xr1(s)xr3(s)xc(s)±±±信號引出點：表示信號引出或測量的位置。從同一位置引出的信號在數值和性質上完全相同。x(s)x(s)2.4.2結構圖的畫法繪制系統結構圖的步驟如下：1.列寫出系統各元件的微分方程。在建立方程時應分清各元件的輸入量、輸出量，同時應考慮相鄰元部件之間是否有負載效應。2.在零初始條件下，對各微分方程進行拉氏變換，并將變換式寫成標準形式。3.由標準變換式利用結構圖的四個基本單元，分別畫出各元部件的結構圖。4.按照系統中信號的傳遞順序，依次將各元部件的結構圖連接起來，便可得到系統的結構圖。

例2.9在圖所示的濾波電路中，若以電壓ur為輸入，電壓uc為輸出，試畫出其結構圖。

urR1R2ucC2C1i1i2

例2.9題電路圖解2、將上述方程整理1/R11/c1s1/R21/c2sUr(s)I1(s)I2(s)Uc1(s)I2(s)Uc(s)---3.按照信號傳遞順序，依次將各元部件的結構圖連接起來。例題：試繪制如圖所示的無源網絡的結構圖

解：根據克希霍夫定律寫出下列方程2.4.3結構圖的等效變換1.串聯連接方式的等效變換

前一環節的輸出量是后一環節的輸入量的連接稱為環節的串聯。如下圖所示，G1(s)G2(s)G3(s)R1(s)R2(s)R3(s)R4(s)G(s)R1(s)R4(s)2.并聯連接方式的等效變換輸入量相同，輸出量相加或相減的連接稱為并聯。如下圖所示G1(s)G2(s)G3(s)C2(s)C3(s)+++C(s)R(s)C1(s)并聯后總的傳遞函數為G(s)R(s)C(s)3.反饋連接方式的等效變換

將系統或環節的輸出反饋到輸入端與輸入信號進行比較，就構成了反饋連接。G(s)H(s)E(s)B(s)-R(s)C(s)4.分支點的移動規則

將分支點跨越元件方塊圖移動時，必須遵循移動前后所得的分支信號保持不變的等效原則。G(s)1/G(s)BR(s)C1(s)C2(s)移動前后的分支輸出信號不變，達到了等效變換的目的。G(s)R(s)ABC1(s)C2(s)G(s)G(s)AR(s)C1(s)C2(s)

分支點移動的規則為：若分支點從一個方塊圖的輸入端移到其輸出端時，應在移動后的分支中串入一個方塊圖，它的傳遞函數等于所跨越的方塊圖的傳遞函數的倒數。若分支點從一方塊圖的輸出端移到其輸入端時，應在移動后的分支中串入一個方塊圖，它的傳遞函數等于所跨越的方塊圖的傳遞函數。G(s)R(s)ABC1(s)C2(s)5.比較點的移動規則如圖(a)所示，當比較點在A處時，總輸出量為

C(s)=G(s)[R1(s)-R2(s)]當比較點移到B處時，必須使兩個輸入都經過元件方塊圖后再相加，如圖(b)所示，此時

C(s)=G(s)R1(s)-G(s)R2(s)與移動前相等，因而兩圖是等效的。G(s)AR1(s)R2(s)-C(s)BG(s)G(s)R1(s)R2(s)BC(s)-(a)(b)

當綜合點之間相互移動時，如下圖所示，因為三者輸出都為

C(s)=R1(s)-R2(s)-R3(s)故它們都是等效的。R2(s)R1(s)R2(s)R3(s)--E1C(s)R1(s)R3(s)R1(s)R3(s)R2(s)----C(s)C(s)(a)(b)(c)互換綜合點的位置，不會影響總的輸入輸出關系。2.4.4系統結構圖的簡化例2.10簡化下圖所示多回路系統，并求系統的傳遞函數C(s)/R(s)。G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)G6(s)--++R(s)C(s)解這是一個沒有交叉現象的多環系統，內回路稱為局部反饋回路，外回路稱為主反饋回路。簡化時不需要將分支點和綜合點作前后移動。可按簡單串、并聯和反饋連接的簡化規則，從內部開始，由內向外逐步簡化。G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)+G5(s)G6(s)R(s)--C(s)(a)(c)G6(s)R(s)C(s)-(b)G1(s)G6(s)R(s)-C(s)例2.11例2.12例2-12

簡化下圖，求出系統的傳遞函數。

解圖是具有交叉連接的結構圖。為消除交叉，可采用相加點、分支點互換的方法處理。（2）再與b點交換（1）將相加點a移至G2之后（3）因G4與G1G2并聯，G3與G2H是負反饋環（4）上圖兩環節串聯，函數相乘后結果為所以，系統的傳遞函數為例2-13

試簡化下圖所示系統的結構圖，并求系統的傳遞函數解（1）將支路H2（s）的分支點后移（2）合并上圖虛線框內的各環節，結果如下圖所示

（3）合并上圖虛線框內的各環節，結果為

所以，系統的傳遞函數為歸納規律：通過上述例子，可以看到如果滿足以下兩個條件：①所有回路兩兩相互接觸；②所有回路與所有前向通道接觸。則可以得到以下幾條簡化結構圖的規律：①閉環系統傳遞函數是一個有理分式；②③，負反饋取“+”正反饋取“－”即式中，

m是前向通道的條數，n是反饋回路數。2.5控制系統的信號流圖2.5.1信號流圖1.信號流圖中的基本圖形符號有三種：節點，支路，和支路增益2.信號流圖的基本性質3.信號流圖的有關術語：a.源節點b.阱節點c.混合節點d.前向通路d.回路e.回路增益f.前向通路增益g.不接觸回路信號流圖的繪制：例:2-22例:2-23由系統結構圖繪制信號流圖應注意：（1）盡量精簡節點的數目，合并；源節點和阱節點不能合并掉；（2）結構圖比較點之前沒有引出點（之后有）只需在比較點后設置一個節點便可，但若比較點之前有引出點，需在引出點和比較點之后各設置一個節點。分邊標志兩個變量，他們之間的支路增益為1。梅遜公式一般形式為2.5.2用梅遜(S.J.Mason)公式求傳遞函數梅遜公式的由來例:用梅遜公式求下圖所示系統的傳遞函數。G1G2G4G3G5G6H4H2H3H1RC----解圖中共有四個不同回路，其回路傳遞函數分別為故∑Li=L1+L2+L3+L4

在上述四個回路中，互不接觸回路有：L2、L3，它們之間沒有重合的部分，因此有

∑LiLj=L2L3=(-G2G3H2)(－G4G5H3)=G2G3G4G5H2H3

圖中沒有三個互不接觸回路，故∑LiLjLK=0可得特征式圖中只有一條前向通路，且該前向通路與四個回路均接觸，所以注意：

應用梅遜公式可以方便地求出系統的傳遞函數，而不必進行結構圖變換。但當結構圖較復雜時，容易遺漏前向通路、回路或互不接觸回路。因此在使用時應特別注意。例題：2-242-25例題：2.6.1系統