第四章三角函數三角函數的應用第講6考點搜索●與三角函數圖象有關的應用題●設角為參數，利用三角函數有關知識求最值高考猜想實際應用問題往往與解三角形有關，單純以純三角函數作為背景的題不多見.三角函數應用問題的特點和處理方法

1.三角函數的實際應用是指用三角函數理論解答生產、科研和日常生活中的實際問題.2.三角函數應用題的特點是：①實際問題的意義反映在三角形中的邊、角關系上;②引進角為參數，利用三角函數的有關公式進行推理，解決最優化問題.3.解決三角函數應用問題和解決一般應用性問題一樣，先建模，再討論變量的性質，最后作出結論并回答問題.1.設實數x,y,m,n滿足：m2+n2=a,x2+y2=b(a,b是正常數且a≠b),那么mx+ny的最大值是()

因為實數x,y,m,n滿足：m2+n2=a,x2+y2=b(a,b是正常數且a≠b)，

所以可設則mx+ny=所以mx+ny的最大值是.故選B.

2.2002年在北京召開的國際數學家大會，會標是以我國古代數學家趙爽的弦圖為基礎設計的.弦圖是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖).如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為θ，那么cos2θ的值等于________.設直角三角形的短邊為x，則解得x=3，所以則3.如圖，單擺從某點開始來回擺動，離開平衡位置O的距離s厘米和時間t秒的函數關系為那么單擺來回擺動一次所需的時間為____秒.

由條件知周期11.已知某海濱浴場的海浪高度y(米)是時間t(0≤t≤24，單位：小時)的函數，記作y=f(t).下表是某日各時的浪高數據：

經過長期觀測，y=f(t)的曲線可近似地看成是函數y=Acosωt+b的圖象.題型1：與三角函數圖象有關的應用題t(時)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5(1)根據以上上數據，，求出函函數y=Acosωt+b的最小正正周期T、振幅A及函數表表達式;(1)由表中數數據知，，周期T=12，則由t=0，y=1.5，得A+b=1.5，①由t=3，y=1.0，得b=1.0.②②由t=3，y=1.0，得b=1.0.②②所以A=0.5，b=1，所以振幅為為12，所以(2)依據規定，當當海浪高度高高于1米時才對沖浪浪愛好者開放放.請根據(1)的結論，判斷斷一天內的上上午8：00時至晚上20：00時之間，有多多少時間可供供沖浪愛好者者進行運動?(2)由題知，當y＞1時才可對沖浪浪愛好者開放放.所以所以所以即12k-3＜t＜12k+3(k∈Z).③因為0≤t≤24,故可令③中的的k分別為0,1,2,得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24.故在規定時間間上午8：00至晚上20：00之間，有6個小時時間可可供沖浪愛好好者運動，即即上午9：00至下午15：00.【點評】：解決實際應用用題的關鍵在在于建立數學學模型.若建模已確定定時，就化為為常規問題，，再選擇合適適的數學方法法求解.如本題第(2)問轉化為相應應的不等式進進行解決.以一年為一一個周期調調查某商品品出廠價格格及該商品品在商店銷銷售價格時時發現：該該商品的出出廠價格是是在6元基礎上按按月份隨正正弦曲線波波動的.已知2月份出廠價價格最高為為8元，8月份出廠價價格最低為為4元.而該商品在在商店內的的銷售價格格是在10元基礎上按按月份也是是隨正弦曲曲線波動的的，并已知知5月份銷售價價最高為12元，11月份銷售價價最低為8元.假設某商店店每月購進進這種商品品m件，且當月月能售完，，請估計哪哪幾個月每每件盈利可可超過6元？并說明明理由.由條件可得得：出廠價格函函數為銷售價格函函數為則單價利潤潤函數y=y2-y1所以，由得即所以3＜2x-7＜9，即5＜x＜8.又因為x∈N*，所以x=6，7.答：6月、7月這兩個月月每件盈利利超過6元.2.水渠橫斷面面為等腰梯梯形，如圖圖所示，渠渠道深為h，梯形面積積為S.為了使渠道道的滲水量量達到最小小，應使梯梯形兩腰及及下底之和和達到最小小，此時下下底角α應是多大？？題型2：反映在三三角形或四四邊形中的的實際問題題設CD=a,則所以則則設兩腰與下下底之和為為l，則因為S，h均為常量，，欲求l的最小值，，只需求出出的的最小值值.令則則ksinα+cosα=2，可化為其中因為0＜sin(α+φ)≤1，所以所所以k2≥3，故kmin=3，此時所所以【點評】：與多邊形有有關的實際際問題，一一般是轉化化為三角形形中的問題題，然后利利用三角形形的邊角關關系式轉化化為角的問問題，如設設角參數，，再利用三三角函數的的性質解決決所求問題題.某島嶼觀測測站C在海岸邊燈燈塔A的南偏西20°的方向上.航船B在燈塔A南偏東40°的方向上向向海岸燈塔塔A處航行，在在C處先測得B離C的距離是31海里，當航航船B航行了20海里后，到到達D處，，此此時時C、D間的的距距離離為為21千米米，，問問這這人人還還需需走走多多少少海海里里到到達達海海岸岸邊邊燈燈塔塔A處？？根據據題題意意得得右右圖圖，，其中中BC=31千米米,BD=20千米米,CD=21千米米,∠∠CAB=60°°.設∠∠ACD=α，∠∠CDB=β.在△△CDB中，，由由余余弦弦定定理理得得：：所以以在△△ACD中，，由由正正弦弦定定理理得得：：所以以此此人人還還需需走走15千米米到到達達海海岸岸邊邊燈燈塔塔A處.3.如圖圖,ABCD是一一邊邊長長為為100m的正正方方形形地地皮皮,其中中AST是一一半半徑徑為為90m的扇扇形形小小山山，，其其余余部部分分都都是是平平地地.一開開發發商商想想在在平平地地上上建建一一個個矩矩形形停停車車場場，，使使矩矩形形的的一一個個頂頂點點P在ST上，，相相鄰鄰兩兩邊邊CQ、CR落在在正正方方形形的的邊邊BC、CD上.求矩矩形形停停車車場場PQCR面積積的的最最大大值值和和最最小小值值.題型型3：引進進角為為參數數解決決最優優化問問題(連結AP,∠PAB=θ(0°°≤θ≤90°),延長RP交AB于M,AM=90cosθ,MP=90sinθ,所以PQ=MB=100-90cosθ，PR=MR-MP=100-90sinθ.所以S矩形PQCR=PQ··PR=(100-90cosθ)(100-90sinθ)=10000-9000(sinθ+cosθ)+8100sinθcosθ.令t=sinθ+cosθ則所以S矩形PQCR=故當t=時，S矩形PQCR有最小小值950m2;當t=時,S矩形PQCR有最大大值(14050-9000)m2.【點評】：與多邊邊形有有關的的最值值問題題，常常常構構造以以角為為變量量的三三角函函數，，然后后利用用求三三角函函數的的最值值方法法求得得實際際問題題的解解，同同時，，注意意變量量取值值的實實際意意義及及范圍圍.如圖，，在直直徑為為1的圓O中，作作一個個關于于圓心心對稱稱、鄰鄰邊互互相垂垂直的的十字字形，，其中中y＞x＞0.求當