第九章直線、平面、簡單幾何體19.9棱

柱考點搜索●棱柱及其底面、側面、側棱、高等概念，斜棱柱、直棱柱、正棱柱的概念●棱柱的基本性質，平行六面體的有關概念和性質高2高考猜想1.以小題形式考查棱柱的有關概念和性質.2.有關棱柱的棱長、高、面積等幾何量的計算.3.以棱柱為背景的線面位置關系、角和距離的分析與求解.31.如果一個多面體有①________互相平行,而其余每相鄰兩個面的②______互相平行,這樣的多面體叫做棱柱,兩個互相平行的面叫做棱柱的③______，其余各面叫做棱柱的④______,兩側面的公共邊叫做棱柱的⑤______,兩個底面所在平面的⑥__________叫做棱柱的高.2.側棱⑦__________底面的棱柱叫做斜棱柱，側棱⑧________底面的棱柱叫做直棱柱，底面是⑨__________的直棱柱叫做正棱柱.兩個面交線底面側面側棱公垂線段不垂直于垂直于正多邊形4

3.

棱柱的各個側面都是⑩____________；所有的側棱都

______;直棱柱的各個側面都

______;正棱柱的各個側面都是

___________.

4.棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應邊互相平行的

______________.

5.過棱柱不相鄰的兩條側棱的截面都是

____________.

6.底面是

___________的四棱柱叫做平行六面體,_________________的平行六面體叫做直平行六面體,底面是______的直平行六面體叫做長方體.___________的長方體叫做正方體.111213141516171819平行四邊形相等矩形全等的矩形全等的多邊形平行四邊形平行四邊形側棱垂直于底面矩形棱長都相等5

7.平行六面體的對角線___________,并且在_____處互相平分.

8.長方體的一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱長的_______.

9.設直棱柱的底面周長為c，側棱長為l則其側面積S側=____.

10.設棱柱的底面積為S，高為h，則其體積V=_____.2021222324交于一點交點平方和clSh6

盤點指南：①兩個面；②交線；③底面；④側面；⑤側棱；⑥公垂線段；⑦不垂直于；⑧垂直于；⑨正多邊形；⑩平行四邊形；相等；矩形；全等的矩形；全等多邊形；平行四邊形；平行四邊形；側棱垂直于底面；矩形；棱長都相等；交于一點；交點；平方和；cl;Sh11121314151617181920212223247

1.如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在()A.直線AB上B.直線BC上C.直線AC上D.△ABC內部

解：由AC⊥AB，AC⊥BC1，知AC⊥平面ABC1，從而平面ABC1⊥平面ABC，因此，C1在底面ABC上的射影H必在兩面的交線AB上.A8如圖，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長為

，側棱長為4，E、F分別為棱AB、BC的中點，EF∩BD=G.則點D1到平面B1EF的距離為()A.B.C.D.

解：在對角面BDD1B1中，作D1H⊥B1G，垂足為H.9

因為平面B1EF⊥平面BDD1B1，且平面B1EF∩平面BDD1B1=B1G，所以D1H⊥平面B1EF.所以點D1到平面B1EF的距離d=D1H.

方法1：在Rt△D1HB1中，D1H=D1B1·sin∠D1B1H.因為D1B1=A1B1==4，sin∠D1B1H=sin∠B1GB==，所以d=D1H=.10方法2：因為△D1HB1∽△B1BG，所以D1HB1B=D1B1B1G.所以d=D1H=方法3：連結D1G，則△D1GB1的面積等于正正方形DBB1D1面積的一半，，即所以11在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH的邊及其內部部運動，則M只需滿足條件件_________時，就有MN⊥AC.解：本題答案不唯唯一，當點M在線段FH上時均有MN⊥AC.121.在直平行六面面體ABCD-A1B1C1D1中，已知△BDC1和△ACD1都是正三角形形.求證：這個直直平行六面體體是正方體.證明：由已知BC1=DC1，∠BCC1=∠DCC1=90°，CC1=CC1，所以△BCC1≌△DCC1，所以BC=DC，從而底面ABCD為菱形.題型1判斷或證明棱棱柱的類型13因為△ACD1為正三角形，，所以AC=AD1.又BC1=AD1，所以AC=BC1.因為BD=BC1，所以AC=BD，從而底面ABCD為正方形，所所以直平行六六面體ABCD-A1B1C1D1為正四棱柱.因為AC=BC1，BC=BC，∠ABC=∠C1CB=90°，所以△ABC≌△C1CB，所以AB=CC1.故該直平行六六面體為正方方體.14點評：棱柱、直棱柱柱、正棱柱等等之間具有一一定的包含關關系，而正方方體又是特殊殊的正四棱柱柱，判斷或證證明一個棱柱柱為特殊的棱棱柱，找齊定定義中的條件件即可.15已知正四棱柱柱ABCD—A1B1C1D1中，面對角線線A1B與平面A1B1CD所成的角為30°.求證：此四棱棱柱為正方體體.證明：設AB=a，B1B=b，過點B作BO⊥B1C于O，連結A1O.由A1B1⊥平面BCC1B1，得BO⊥A1B1，所以BO⊥平面A116所以又因為為BB1·BC=BO··B1C，所以，所以以即(a-b)2=0，，則a=b，即AB=BB1.所以以此四四棱柱柱為正正方體體.172.如圖，，在斜斜三棱棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AC=∠ACB=，∠AA1C=，側棱棱BB1與底面面所成成的角角為，AA1=，BC=4.求斜三三棱柱柱的底底面積積和高高.解:在Rt△△AA1C中，AC=AA1·tan∠∠AA1C==4.所以S△ABC=××4××4=8.題型型2棱柱柱中中的的有有關關計計算算18作B1H⊥平面ABC，垂足為H，則∠B1BH=.在Rt△B1BH中，B1H=BB1·sin∠B1BH=AA1·sin==6.點評：棱柱的性性質是解解決棱柱柱有關計計算的基基礎，而而合理地地將條件件及所求求轉化到到某些三三角形中中則是關關鍵.空間中的的計算問問題大多多是轉化化到一些些三角形形中，運運用邊角角關系去去解.19正三棱柱柱ABC-A1B1C1的底面邊邊長為，高為2.過點B作平行于棱AC的截面，，使截面面與底面成成60°的二面角角，求這個截截面的面面積.解：連結A1B、C1B，取A1C1的中點D，連結BD、B1D，則BD⊥A1C1，B1D⊥A1C1.20由已知，，B1D=sin60°=3，BB1=2，所以在Rt△BB1D中，tan∠∠BDB1=所以∠BDB1＜60°，從而截截面與上上底面A1B1C1相交，設設分別與與A1B1、C1B1相交于E、F，交B1D于M，連結BM.因為A1C1∥平面BEF，所以A1C1∥EF，所以B1M⊥EF，BM⊥EF，所以∠BMB1為截面與與底面所所成的角角.21由已知∠BMB1=60°.在Rt△BB1M中，在Rt△B1ME中，EM=B1Mtan30°=，所以EF=，所以S截=EF·BM=.223.如圖，斜三棱棱柱ABC-A1B1C1中，兩個側面面AC1和AB1的面積之比為5∶8，它們所成的的二面角為60°.棱柱的側面積積為60cm2，體積為cm3，求棱柱的側側棱長.解：考慮斜三棱柱柱的一個直截面DEF.如圖.因為DF⊥AA1，DE⊥AA1，所以∠EDF為題中所述的二面角的的平面角，即即∠EDF=60°，題型3有關棱柱側面面積和體積的的分析與計算算23且=DF∶DE=5∶8.設DE=8x，，DF=5x，則在△EDF中，由余弦定定理得EF=7x.再設側棱長為為l，則有方程組解得l=6.即棱柱的側棱棱長為6cm.24點評：棱柱的側面積積、底面積及及體積的計算算是立體幾何何中常見的計計算題，對一一些常見結論論須熟悉.如如棱柱的體積積等于底面積積乘以高，也也可是直截面面(即垂直側側棱的截面)乘以側棱長長；三棱柱三三個側面面積積滿足余弦定定理等.25平行六面體相相交于一個頂頂點的三條棱棱的長分別是是a、b、c，三條棱中每每兩條的夾角角都是60°°，求它的體體積.解：如圖，取AA1=c，AB=a，AD=b.因為∠A1AD=∠A1AB，所以A1在底面上的射射影O在∠DAB的平分線上.作作OE⊥AB于E，連結A1E.由三垂線定理知A1E⊥AB.26因為∠A1AE=60°，所以以AE=c.在Rt△OAE中，由已知得得∠OAE=30°，所以OA=c.所以所以平行六面面體的體積為為271.有兩個面互相相平行，其余余各面都是平平行四邊形的的多面體不一一定是棱柱.2.斜棱柱與直棱棱柱是并列概概念，正棱柱柱是直棱柱的的子概念，即即“欲正先直直”.3.從集合觀點分分析，{正方體}{正四棱柱}{長方體}{直平行六面體體}{平行六