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文檔簡介

指數函數的圖象和性質一般地,函數y=f(x)=ax(a>0且a≠1)叫做指數函數,其中指數x叫自變量,定義域是R.下面我們類比研究冪函數性質的過程和方法,進一步研究指數函數.首先畫出指數函數的圖象,然后借助圖象研究指數函數的性質.先從簡單的函數y=2x開始.請同學們用描點法(列表、描點、連線)畫出函數y=2x的圖象.xy-20.25-10.5-0.50.71010.51.411224O為了得到指數函數y=f(x)=ax(a>0且a≠1)的性質,我們還需要畫出更多的具體指數函數的圖象進行觀察.

O底數互為倒數的兩個指數函數圖象關于y軸對稱.由此可知,底數互為倒數的兩個指數函數的圖象關于y軸對稱.一、函數y=ax與y=a-x圖象的關系用描點法來作出函數y=2x和y=3x,y=4x的圖象.圖像都在x軸上方(y>0),向上無限伸展,向下無限接近于x軸

x∈R圖像都經過點(0,1)

都是增函數非奇非偶函數a大于1時底數越大,在y軸的右側越靠近y軸由此推廣就可以得到a>1的指數函數圖像和性質a>1圖象性質定義域:值域:定點:奇偶性:單調性:R(0,+∞)(0,1)非奇非偶函數在R上是單調遞增的.用描點法來作出函數的圖像.和圖像都在x軸上方(y>0),向上無限伸展,向下無限接近于x軸x∈R圖像都經過點(0,1)

都是減函數非奇非偶函數底數越大,y軸的左側圖像越遠離y軸由此推廣就可以得到0<a<1的指數函數圖像和性質0<a<1圖象性質定義域:值域:定點:奇偶性:單調性:R(0,+∞)(0,1)非奇非偶函數在R上是單調遞減的.0<a<1a>1圖象性質定義域RR值域(0,+∞)(0,+∞)過定點(0,1)(0,1)單調性在R上遞減在R上遞增圖象特點在y軸右則底大圖高在y軸右則底大圖高二、指數函數的圖像和性質例1

如圖是指數函數①y=ax②y=bx③y=cx

④y=dx的圖象,則a,b,c,d的大小關系(

.a<b<1<c<d.b<a<1<d<c.1<a<b<c<d

.a<b<1<d<cBABCD①②③④三、應用舉例例2指數函數①

f(x)=mx②

g(x)=nx滿足不等式1>n>m>0,則它們的圖象是(

)例3

比較下列各題中兩個值的大小:(1)1.72.5,1.73;(2)0.8-0.1,0.8-0.2;(3)1.70.3,0.93.1;分析:對于(1)(2),要比較的兩個值可以看作一個指數函數的兩個函數值,因此可以直接利用指數函數的單調性進行比較.對于(3),1.70.3和0.93.1不能看作某一個函數的兩個函數值.可以利用函數y=1.7x和y=0.9x的單調性,以及“x=0時,y=1”這條性質把它們聯系起來.比較指數大小的方法①同底不同指:對于底數相同,指數不同的兩個冪的大小比較,可以構造函數,利用函數的單調性,若底數是參變量要注意分類討論。②不同底不同指:對于底數不同,指數不同的兩個冪的大小比較用別的數如0或1做橋。③同指不同底:對于指數相同,底數不同的兩個冪比較大小,可先構造函數,再利用指數函數圖象變化規律來判斷O例4如圖,某城市人口呈指數增長.(1)根據圖像,估計該城市人口每翻一番所需時間;(2)該城市人口從80萬開始,經過20年會增長到多

少萬人?分析:

(1)因為該某城市人口呈指數增長,而同一指數函數的倍增期是相同的,所以可以從圖象中選取適當的點計算倍增期.(2)要計算20年后的人口數,關鍵要找到20年與倍增期的數量關系.O例4如圖,某城市人口呈指數增長.(1)根據圖像,估計該城市人口每翻一番所需時間;(2)該城市人口從80萬開始,經過20年會增長到多

少萬人?解:

(1)觀察圖,發現20年約為10萬人,經過40年約為20萬人,即由10萬人口增加到20萬人口所用的時間約為20年,所以該城市人口每翻一番所需時間約為20年.O例4如圖,某城市人口呈指數增長.(1)該城市人口每翻一番所需時間約為20年;(2)該城市人口從80萬開始,經過20年會增長到多

少萬人?解:

(2)因為倍增期為20年,所以每經過20年,人口將翻一番.因此,從80萬人開始,經過20年,該城市人口大約會增長到160萬人.練習.如圖所示,當0<a<1時,函數y=ax和y=(a-1)x2的圖象只可能是(

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