6.3平面基本定理及坐標表示6.3.1平面向量基本定理

我們學習了向量的運算，知道位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個非零向量表示.一、呈現背景提出問題

類似地，平面內任一向量是否可以由同一平面內的兩個不共線向量表示呢？二、分析聯想尋求方法

我們知道，已知兩個力，可以求出它們的合力；反過來，一個力可以分解為兩個力.

類似地，我們能否將向量分解為兩個向量，使向量是這兩個向量的和呢?二、分析聯想尋求方法探究：如圖6.3-2(1)，設是同一平面內兩個不共線的向量，是這一平面內與都不共線的向量.如圖6.3-2(2)，在平面內任取一點O，作.將按的方向分解，你有什么發現？圖6.3-2(1)圖6.3-2(2)二、分析聯想尋求方法圖6.3-2(3)根據向量的平行四邊形法則又由共線可知，存在實數，使得所以對于給定的向量，這樣的是唯一的嗎？思考：設是同一平面內兩個不共線的向量，在中，是否唯一？假設，則即所以所以所以唯一思考：若向量

與

或共線，還能用

表示嗎？思考：當是零向量時，還可以表示成的形式嗎？

平面向量基本定理存在性唯一性1.如果

是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面的任一向量使一對實數有且只有

若，不共線，我們把叫做表示這一平面內所有向量的一個基底。三、猜想驗證得出結論說明：(1).基底的選擇是不唯一的；(2).同一向量在選定基底后，是唯一存在的。(3).同一向量在選擇不同基底時，可能相同也可能不同。設e1，e2是同一平面內兩個不共線的向量，以下各組向量中不能作為基底的是(

)A．{e1，e2}

B．{e1＋e2,3e1＋3e2}C．{e1,5e2} D．{e1，e1＋e2}三、猜想驗證得出結論三、猜想驗證得出結論例1：如圖6.3-4，不共線，且，用表示.如圖6.3-4解：因為

所以

觀察，你有什么發現？結論：若三點共線，點是平面內任意一點，若，則例2.如圖，CD是的中線，，用向量方法證明是直角三角形。證明：設則因為所以因為所以因此于是是直角三角形。例3.如圖所示，在△OAB中，

＝a，

＝b，點M是AB上靠近B的一個三等分點，點N是OA上靠近A的一個四等分點．若OM與BN相交于點P，求(用a，b表示).四、運用新知鞏固內化(1)平面內任一向量a和同一平面內兩個不共線向量e1，e2(2)a＝λ1e1＋μ1e2且a＝λ2e1＋μ2e2若則λ1＝λ2且μ1＝μ2課堂檢測1．判斷正誤(1)平面內不共線的任意兩個向量都可作為一組基底．(

)(2)基底中的向量可以是零向量．(

)(3)平面內的基底一旦確定，該平面內的向量關于基底的線性分解形式也是唯一確定的．(

)(4)e1，e2是平面α內兩個不共線向量，若存在實數λ，μ使得λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0.(

)[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．已知平行四邊形ABCD，則下列各組向量中，是該平面內所有向量基底的是(

)D2.平面向量基本定理是建立在向量加法和數乘運算基礎上的向量分解原理，同時又是向量坐標表示的理論依據，是一個承前起后的重要知識點。五、課堂總結，回顧反思五、回顧反思拓展問題3．對基底的理解①基底是兩個不共線向量；②基底的選擇是不唯一的．平面內兩向量不共線是這兩個向量可以作為這個平面內所有向量的一組基底的條件．4．準確理