勾股定理及逆定理知識構及典型例解析【考要】了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法；理解并掌握勾股定理及逆定理的內容；能應用勾股定理及逆定理解決有關的實際問題；加強知識間的內在聯系，用方程思想解決幾何問題．以體現代數與幾何之間的內在聯系．【識絡【點理考一勾定勾股理直角三角形兩直角邊

、

的平方和等于斜邊

的平方（：

2

）【點釋勾股定理也叫商高定理，西方稱為畢達哥拉斯定理．我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦．早在三千多年前，周朝數學家商高就提出了勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后來人們進一步發現并證明了直角三角形的三邊關系為：兩直邊的平方和等于斜邊的平.勾股理證：勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方.用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是：圖形經過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變；根據同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定.勾股理應勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用是：①已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊在中Cca，bc，

；知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數量關系；可運用勾股定理解決一些實際問.考二勾定的定1.原題與命如果一個命題的題設和結論分別是另一個命題的結論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題.如1把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命.2.股理的定勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長

a、、滿足a

22

，那么這個三角形是直角三角.【點釋①勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數轉化為”來確定三角形的可能形狀；②定理中，b，c及a

只是一種表現形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長a，，滿足

，那么以a，為三邊的角形是直角三角形，但是b為邊；③勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時，個三角形是直角三角形3.股①能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數，a

中，a，，為整數時，稱，b，c一組勾股數；②記住常見的勾股數可以提高解題速度，如3；；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代數式表示n組股數：n

,n

（n為整數2n

nn

為整數）mmn,m（m,m，為整數）考三勾定與股理定的別聯區別：勾股定理是直角三角形的性質定理，而其逆定理是判定定理；聯系：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有【型題類一勾定及逆理綜應1．在正方形ABCDE是BC的點，F為CD上點，且角三角形？試說明理由．

，試判eq\o\ac(△,)AEF否是直【思路點撥】首先設正方形的邊為，則CF=aDF=3a，CE=BE=2a．根據勾股定可求出AF，AE和EF的度．如果它們三個的長度滿足勾股定理eq\o\ac(△,)為角三角形，否則是直角三角形．【答案與解析】解：設正方形的邊長為4a，222222222222E是BC中點，，CF=aDF=3a．由勾股定理得=16a+9a=25a=CE+CF=4a+a=16a+4a=20a，AF=EF2，∴△直角三角形．【總結升華勾定理的應用．在解答此類題時有一個小竅門，題干中各邊長都沒有給出確定的，我們已知各邊長的比值，這時我們可以將邊長設成具體的值．這樣解題時用到的都是數字，表達便．舉反：【變】如，矩形ABCD對角線AC=10，BC=8則圖中五個小矩形的周長之和為（A.14B.16C.20D.28【答案D.根據題意可知五個小矩形的周長之和正好能平移到大矩形的四周，故即可得出答案：∵AC=10，BC=8，∴AB=6，圖中五個小矩形的周長之和為6+8+6+8=282．如圖所示，四邊形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2.則BD的長（）.A.

14

B.

C.

32

D.

3【思路點撥以A為心AB長半徑作圓，延長BA交⊙于F，連接DF．eq\o\ac(△,在)中由勾股理即可求出BD的．【答案與解析A為圓長半徑作圓BA交⊙接DF證∠FDB=90°∠CBF∴DF=CB=1，BF=2+2=4，∴BD=BF

15故選B．【總結升華本考查了勾股定理，解題的關鍵是作出以A圓心AB長為徑的圓，構建直角三角形32222從而求解．舉反：【變】如，圓柱的底面周長為6cmAC是面圓的直徑，高，P是線BC上點且．只螞蟻從A點出發沿著圓柱體的表面爬行到點P的最短距離是（）A4+

）cmB．5cmC．cmD．7cm【答案】【解析】解：側面展開圖如圖所示：圓的底面周長6cm，AC．PC=BC，PC=×6=4cm．在eq\o\ac(△,Rt)中AP=AC+CP，．故選B類二勾定及逆理其知的合用3．如圖，在Rt中∠ACB，AC＝BC＝1將△ABC繞A點時旋轉30°后得到Rt△ADE，點B經的路徑為弧BD則圖中陰影部分的面積．4【思路點撥先根據勾股定理得到＝

，再根據扇形的面積公式計算出S，由旋轉的性質得到Rt△ADE△ACB，于是S＋S＝S【答案與解析】∵∠ACB，AC＝BC＝1，∴AB＝，∴S＝

30

2)360

,又∴Rt△ABC繞點時針旋轉后得到eq\o\ac(△,Rt)，∴Rt△ADE△ACB∴S＝S＝【總結升華】本題考查了扇形的積公式：

．S

n360

．也考查了勾股定理以及旋轉的性質．考點涉及到扇形面積的計算；勾股定理；旋轉的性.4.如，矩形紙片中已AD=8，折疊紙片使AB邊與角線AC重，點B落點F處折痕為，EF=3，則AB的為().A.3B.4C.5D.【思路點撥先據矩形的特點求出BC的長，再由翻折變換的性質得出△是角三角形，利用勾股定理即可求出CF的，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的．【答案與解析】∵四邊形ABCD是矩形，AD=8∴BC=8，∵△AEF是△AEB翻折而成，∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是角三角形，∴CE=8-3=5，在Rt△CEF中，

CE

，設AB=x，在Rt△ABC中，=AB+BC，（）=x+8，得，故選D．【總結升華本考查的是翻折變換及勾股定理，熟知折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等是解答此題的關鍵．5舉反：【變】如為梯形紙片ABCD，E點BC，且∠AEC＝∠C＝∠D，AD＝3，BC＝9,CD＝8．若以AE為線，將C折BE，使得CD與AB交于點則BF長度為何（）.A【答案B．

BC．5.5D．65個方體物體沿斜坡向下滑動面圖所示方DEFH的長為2米角∠A＝30°，∠B，BC米當正方DEFH動到什么位置，即當

米時，有DC＝AE＋BC．【思路點撥根據已知得出假設AE，可得EC＝12－x利用勾股定理得出DC＋EC＝4＋－x），AE＋BC＝x＋36，即可求x的值【答案與解析】假設AE＝x，可得＝12－x，∵坡角∠A＝30°，＝90°，BC＝6，∴AC＝12米，∵正方形DEFH的邊長為2米，＝2，∴DC＝DE＋EC＝4＋（12－x），AE

＋BC＝x＋36，∵DC＝AE＋BC，∴4＋（12－x）＝x＋3614解得：＝．3故答案為：

143

．6．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．【總結升華】此題主要考查了勾定理的應用以及一元二次方程的應用，根據已知表示出CE的度是解決問題的關鍵．6.某藝公司對一塊直角三角形的花圃進行改造．測得兩直角邊長為6m、8m．現要將其擴建等腰三角形，且擴充部分是以8m為直邊的直角三角．求擴建后的等腰三角形花圃的周長．【思路點撥原并沒有給出圖形，要根據題意畫出符合題意的圖形，畫出圖形后，可知本題實上應三類情況討論：一是將△ABC沿直AC折180°，得等腰三角形ABD，如圖；是延長BC至D，使CD＝4，則BD＝10得等腰三角形，如圖；三是作斜邊AB的中線交BC的長線于D則DA＝DB，得等腰三角形ABD，圖3．先作出符合條件的圖形后，再根據勾股定理進行求解即可．【答案與解析】分三類情況討論下：（1如圖1所，原來的花圃為eq\o\ac(△,Rt)ABC，其中BC＝6m＝8m∠ACB．勾股定理易AB＝10m，將△ABC沿線AC翻折180°，得等腰三角形，此時AD＝10m，CD．故擴建后的等腰三角形花圃的周長為12＋10＋10＝32（m（2）如圖2，因為BC＝6m，CD＝4m所以BD＝AB＝10m在Rt△ACD中由勾股定理得AD＝

4

2

8

2＝4

5

，此時，擴建后的等腰三角形花圃的周長為4

5

＋10＋10＝20＋4

5

．（3如圖3，設△ABD中DA，再設CD＝xm則DA＝(x＋6)m，Rt△ACD中由勾股定理得x＋87＝(x，得x＝3∴擴建后等腰三角形花圃的周長10＋2(x＝BB

803

（mC

A

6

A

8+6

1

D

圖

D

【總結升華對無附圖幾何問題，往往需要根據題意畫出圖形，結合已知條件及圖形分析求解這樣便于尋找解題思路．舉反：7【變望中學”有一塊三角形形狀的花圃，現可直接測量