第三章

函數的概念與性質3.1.1函數的概念（第二課時）教材分析

本小節內容選自《普通高中數學必修第一冊》人教A版（2019）第三章《函數的概念與性質》的第一節《函數的概念及其表示》（第二課時）。教材通過具體的例子介紹了區間的概念，通過同一函數的概念加深學生對函數的理解，會求函數的定義域、值域.

借助第一課時的理論依據得到同一函數的概念，通過例子讓學生掌握函數定義域，函數值的求法，強化學生的數學運算、數學抽象、數據分析的核心素養.學習目標

1.理解區間的概念，并會用區間表示集合。2.函數的三要素：定義域、對應法則及值域。3.掌握判定函數和函數相等的方法。4.學會求函數的定義域與函數值。重點、難點1.

重點：理解函數的三要素：定義域、對應法則及值域，會求函數的定義域與函數值，在此過程中培養學生的數學抽象、數據分析、數學運算的素養。2.

難點：進一步理解函數的對應關系

，體會函數相等的概念。（一）新知導入

創設情境、問題生成設計運行時速高達350公里的京津城際列車呈現出超越世界的“中國速度”，使得新時速旅客列車的運行速度值界定在200公里/時與350公里/時之間.（一）新知導入

創設情境、問題生成【想一想】1.如何表示列車的運行速度的范圍？2.還可以用其他形式表示列車的運行速度的范圍嗎？提示：1.我們已學習不等式、集合知識，所以用不等式可表示為

200<v<350，用集合可表示為{v|200<v<350}.2.還可以用區間表示為(200，350)，這是表示范圍的另一種方法.（一）新知導入

探索交流、解決問題【問題1】

燃放煙火市元宵佳節的傳統風俗，此起彼伏的煙花在天空中綻放，絢麗多姿，爭奇斗艷，蔚為壯觀.你聽，煙火嗖嗖向空中竄去，在空中砰砰炸開；你看，五顏六色的煙花綻放了，美極了.已知：①煙花炸開的時間是10到26秒;②煙花炸開的高度是30到40米之間。【思考1】（1）煙花炸開的時間和炸開的高度都是一個大致范圍，我們能否有其他的表示方法呢？（2）區間能表示單獨的實數嗎？（3）區間表示實數有什么要求嗎？（二）區間的概念

區間的概念

：

設a，b是兩個實數，且a＜b，我們規定

（二）區間的概念（1）區間只能表示_________的實數.如{3}不能用區間表示.（2）其他區間的表示方法。（3）注意端點的取舍，端點能取到是閉區間，端點取不到是開區間；_____和_____處一定是開區間。對概念的深度剖析：-∞+∞連續（二）區間的概念

【做一做】

用區間表示下列范圍：[解析]∵A={x|5-x≥0},∴A={x|x≤5}.∴A=（-∞，5]；∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x≠±3}.∴B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,+∞）∴A∩B=（-∞，5]∩(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,+∞）

=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5].已知集合A={x|5-x≥0},集合B={x||x|-3≠0},則用區間表示集合A、B、A∩B.（二）區間的概念【探究1】

用區間表示范圍的時候應該注意什么？注意端點的取舍，端點能取到是閉區間，端點取不到是開區間；-∞和+∞處一定是開區間。【探究2】

當范圍中有獨立的實數時該怎么表示呢？獨立的實數只能用集合來表示，也就是說區間的左端點一定小于右端點。（二）區間的概念【做一做】

若集合A=[2a-1,a+2],則實數a的取值范圍用區間表示為__________.【解析】由區間的定義知,區間(a,b)(或[a,b])成立的條件是a<b.∵A=[2a-1,a+2],∴2a-1<a+2.∴a<3,∴實數a的取值范圍是(-∞,3).【答案】(-∞,3)（三）函數的相等提示：

1.由函數的概念可知是2個，定義域和對應關系；函數的三要素是：定義域、對應關系、值域。

2.根據函數的定義，函數值由自變量和對應關系唯一確定，所以函數的值域由定義域和對應關系唯一確定。【思考2】1.根據函數的定義，決定一個函數需要幾個要素？函數的三要素是哪些？2.函數的值域由哪些因素確定？（三）函數的相等

函數的相等

：

一般地，函數有三個要素：_______________________.如果兩個函數的定義域________，并且對應關系_________，我們就稱這兩個函數是_______函數.

定義域，對應關系與值域相同完全一致同一個1.兩個函數的定義域和對應關系相同就決定了這兩個函數的值域也_________.2.定義域和值域分別相同的兩個函數是同一個函數嗎？對概念的深度剖析：相同提示：不一定，如果對應關系不同，這兩個函數一定不是同一個函數（三）函數的相等【做一做】

判斷下列函數是否為相同的函數？（1）f(x)=(

)2,

g(x)=

；（2）y=x0與y=1(x≠0)；（3）y=2x+1(x∈Z)與y=2x-1(x∈Z).[解析](1)因為函數f(x)=(

)2的定義域為{x|x≥0},而g(x)=的定義域為{x|x∈R},它們的定義域不同,所以它們不表示同一函數.(2)因為y=x0要求x≠0,且當x≠0時,y=x0=1,故y=x0與y=1(x≠0)的定義域和對應關系都相同,所以它們表示同一函數.(3)y=2x+1(x∈Z)與y=2x-1(x∈Z)兩個函數的定義域相同,但對應關系不相同,故它們不表示同一函數.（四）函數的定義域提示：

1.A

2.函數的定義域是指解析式中x的取值范圍，所以地位相同，范圍相同。【思考3】1.函數的定義域是函數定義中的哪個集合？2.已知函數的解析式，函數的定義域是指使解析式各部分都有意義的未知數的取值集合.如果函數的解析式未知呢？（四）函數的定義域

抽象函數的定義域

：

函數的解析式未知，求函數的定義域時應該遵循“______________________”的原則求自變量的取值范圍。

地位相同，范圍相同【做一做】

如已知函數f(x)的定義域為[-1,5],求f(2x-1)的定義域。[解析]已知f(x)的定義域是[-1,5],即-1≤x≤4.故對于f(2x-1)應有-1≤2x-1≤5,∴0≤2x≤6,∴0≤x≤3.∴函數f(2x+1)的定義域是[0,3]（五）函數的函數值、值域

2008年北京夏季奧運會中中國隊獲得51枚金牌,列金牌榜首位.讓每個中國人都為之自豪!比賽進行天數與金牌總數如下表所示:天數12345678金牌總數2691317222627天數910111213141516金牌總數3539434546474951（五）函數的函數值、值域提示：（1）x的取值為1,2,3,…,15,16;y的取值為2,6,9,13,17,22,26,27,35,39,43,45,46,47,49,51.（2）f(2)=6,f(10)=39.若1≤a≤16,則f(a)對應y的一個值,否則無法表示.（3）不同.f(x)表示y是x的函數,其中f為對應關系;而f(a)表示函數f(x)當自變量x取a時的一個函數值f(a).（4）定義域：{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16},值域：{2,6,9,13,17,22,26,27,35,39,43,45,46,47,49,51}.【思考4】（1）設金牌總數是y,比賽天數為x,則該對應關系可用y=f(x)來表示,則x取哪些值,y取哪些值?（2）f(2)等于多少?f(10)呢?f(a)呢?（3）f(x)與f(a)是否相同?為什么?（4）定義域與值域是多少?（五）函數的函數值、值域

函數的值域：

函數的定義中，與的值相對應的值叫做_______，函數值____________的集合叫做函數的_______；值域是集合B的_______。并且函數值由定義域和對應關系唯一確定。

函數值值域子集【做一做】

已知(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，則________，

_______.[提示]（六）函數概念的綜合應用1.區間例1用區間的方法表示下列集合：表示為_____________；

表示為_____________.

[解析]表示為區間：[0,5)；表示為區間：（-∞，-1]∪[3,+∞)[答案][0,5)（-∞，-1]∪[3,+∞)（六）函數概念的綜合應用1.區間【延伸拓展】若集合A=[2a+1,a-2],則實數a的取值范圍用區間表示為______________.[解析]由區間的定義知,區間(a,b)(或[a,b])成立的條件是a<b.∵A=[2a+1,a-2],∴2a+1<a-2.∴a<-3,∴實數a的取值范圍是(-∞,-3).答案：(-∞,-3)（六）函數概念的綜合應用

如何用區間表示集合1.正確利用區間表示集合,要特別注意區間的端點值能否取到,即“小括號”和“中括號”的區別.2.用區間表示兩集合的交集、并集、補集運算時,應先求出相應集合,再用區間表示.【類題通法】【提醒】1.-∞和+∞處一定是開區間；2.獨立的實數只能用集合來表示，也就是說區間的左端點一定小于右端點。3.區間和區間之間的連接和幾何相同，也用“∪”和“∩”來連接。1.區間【鞏固練習1】集合{x|0<x<1或2≤x≤11}用區間表示為__________.

[答案](0,1)∪[2,11]（六）函數概念的綜合應用2.函數相等例2.（多選題）（2020·安徽淮北市樹人高級中學高一期中）下列函數中與函數y＝x不相同的是()A．y＝ B．y＝C．y＝ D．y＝【解析】函數y＝x的定義域為R，對于A，函數y＝x和y＝x2對應關系不同，故不是相同函數；對于B，函數y＝=t，定義域為R，故與函數y＝x是相同函數；對于C，函數y＝=|x|，和函數y＝x的對應關系不同，故不是相同函數；對于D，y＝的定義域為，和函數y＝x的定義域不同，故不是相同函數.答案：ACD（六）函數概念的綜合應用2..函數相等

【類題通法】判斷函數相等的方法定義域優先原則1.先看定義域，若定義域不同，則函數不相等.2.若定義域相同，則化簡函數解析式，看對應關系是否相等.（六）函數概念的綜合應用2.函數相等【鞏固練習2】試判斷以下各組函數是否表示同一函數:[答案]⑤解析：①f(x)與g(x)的定義域不同,不是同一函數;②f(x)與g(x)的解析式不同,不是同一函數;③f(x)=|x+3|,與g(x)的解析式不同,不是同一函數;④f(x)與g(x)的定義域不同,不是同一函數;⑤f(x)與g(x)的定義域、對應關系皆相同,是同一函數.①f(x)=,g(x)=x-1;②f(x)=,g(x)=;③f(x)=,g(x)=x+3;④f(x)=x+1,g(x)=x+x0;⑤汽車勻速運動時,路程與時間的函數關系f(t)=80t(0≤t≤5)與一次函數g(x)=80x(0≤x≤5).其中表示相等函數的是___________(填上所有正確的序號).

（六）函數概念的綜合應用3.函數的定義域例3.求下列函數的定義域:(1)y=(2)f(x)=【解】(1)要使函數有意義,自變量x的取值必須滿足即解得x<0,且x≠-2.故原函數的定義域為(-∞,-2)∪(-2,0).（2）要使函數有意義,自變量x的取值必須滿足即故原函數的定義域為(-∞,1)∪(1,4].（六）函數概念的綜合應用3.函數的定義域例4.已知函數f(x)的定義域是[-1,4],求函數f(2x+1)的定義域.【解析】已知f(x)的定義域是[-1,4],即-1≤x≤4.故對于f(2x+1)應有-1≤2x+1≤4,∴-2≤2x≤3,∴-1≤x≤∴函數f(2x+1)的定義域是[-1，].（六）函數概念的綜合應用3.函數的定義域

【類題通法】2.抽象函數的定義域：“地位相同，范圍相同”1.常見函數的定義域：函數類型整式函數分式函數根式函數0次函數定義域R分母≠0奇次根式：R偶次根式：被開方數≥0底數≠0（六）函數概念的綜合應用3.函數的定義域【鞏固練習3】求下列函數的定義域.【解析】（1）由已知可得即所以定義域為{x|x≤1且x≠－1}．（2）由已知可得即

所以定義域為（-∞，]∪[2,4)．（六）函數概念的綜合應用4.求函數的函數值、值域例5.（2021·江蘇高一專題練習）已知．（1）求，（a）+（3）的值；(2)若,求的值域．【解析】（1）因為

(2)因為，又因為所以得即所以函數的值域為[-4,5]（六）函數概念的綜合應用4.求函數的函數值、值域例6.求下列函數的值域①y＝x＋1；②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；③；④【解析】①(觀察法)因為x∈R，所以x＋1∈R，即函數值域是R.②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再結合函數的圖象(如圖)，可得函數的值域為[2,6)．③(分離常數法)所以函數的值域為（-∞，3）∪（3，+∞）④(換元法)設t＝，則t≥0且x＝t2＋1所以y＝2(t2＋1)－t＝2（t-）2＋，由t≥0，再結合函數的圖象(如圖)，可得函數的值域為[,+∞）（六）函數概念的綜合應用4.求函數的函數值、值域

【類題通法】1.求函數值的方法(1)已知f(x)的解析式時，只需用a替換解析式中的x即得f(a)的值.(2)已知f(x)與g(x)，求f(g(a))的值應遵循由里往外的原則.2.求函數值域常用的4種方法（1）觀察法：對于一些比較簡單的函數，其值域可通過觀察得到；（2）配方法：當所給函數是二次函數或可化為二次函數處理的函數時，可利用配方法或二次函數圖像求其值域；（3）分離常數法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉化為“反比例函數類”的形式，便于求值域；（4）換元法：即運用新元代換，將所給函數化成值域易確定的函數，從而求得原函數的值域.對于f（x）=ax+b+（其中a，b，c，d為常數，且a≠0）型的函數常用換元法.（六）函數概念的綜合應用4.求函數的函數值、值域【鞏固練習4】求下列函數的值域（1）（2）【解析】（1）因為≥0，所以＋1≥1，即所求函數的值域為[1，＋∞)．（2）因為又函數的定義域為R，所以x2＋1≥1，所以0＜≤2，則y∈(－1,1]．所以所求函數的值域為(－1,1].（七）操作演練素養提升1．下列各組函數中，表示同一個函數的是()A．y＝x－1和y＝B．y＝x0和y＝1C．f(x)＝(x－1)2