1.5全稱量詞與存在量詞1.5.1全稱量詞與存在量詞引入

我們知道，一般地，命題是用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句，它的核心就是能判斷真假。但在數學中，我們經常會遇到含有變量的陳述句，這些陳述句在未給定變量的值之前無法確定語句的真假（我們一般把這種陳述句叫做開語句），如x+1>0，x2+y2=4等。

由于這種語句不能判斷真假，所以它不是命題，但是如果我們用一個短語來對其中變量的取值范圍進行限定，就可以使它變成一個命題，這種短語稱為量詞。本節我們就來學習這種量詞以及如何正確地對含有一個量詞的命題進行否定。

問題1：下列語句是命題嗎?(1)與(3)之間,(2)(4)之間有什么關系?

(1)x>3;

(2)2x+1是整數;

(3)對所有的x∈R，x>3

(4)對任意一個x∈Z，2x+1是整數.探究新知(一)是命題，真命題是命題，假命題不是命題不是命題

(3)對(1)中的變量x增加了一個限制“對所有的x∈R”，變成了一個命題。

(4)對(2)中的變量x增加了一個限制“對任意一個x∈Z”,變成了一個命題。

在這里，我們把類似于“所有的”，“任意一個”的短語稱為全稱量詞。并把(3)(4)稱為全稱量詞命題。

全稱量詞一般用來表示全體、所有的意思，常見的全稱量詞有:

“所有的”,“任意一個”,“一切”,“每一個”,“任給”,“凡是”等.

1.短語“所有的”、“任意一個”等在邏輯中通常叫做全稱量詞。并用符號“”表示.2.含有全稱量詞的命題,叫做全稱量詞命題.全稱量詞和全稱量詞命題全稱量詞命題“對M中任意一個x，p(x)成立”,可用符號簡記為小結（1）（2）真命題。解：（3）假命題。假命題。例如素數2就不是奇數例析

如果對給定集合M中的每一個元素x，p(x)都成立（一般需要推導和證明），則此全稱量詞命題為真命題；

如果在給定集合M中存在一個元素x0，使命題p(x0)不成立（即舉出一個反例），則此全稱量詞命題為假命題。

例1

.判斷下列全稱量詞命題的真假.（1）所有的素數都是奇數；（2）（3）對每一個無理數x，x2也是無理數.

思考：如何判定一個全稱量詞命題的真假？小結練習解：(1)真命題(2)假命題

如負數就沒有算術平方根(3)假命題

問題2：下列語句是命題嗎？(1)與(3)，(2)與(4)之間有什么關系？(1)2x+1=3；

(2)x能被2和3整除；

(3)存在一個x∈R，使2x+1=3；

(4)至少有一個x∈Z，x能被2和3整除.不是命題不是命題是命題，真命題是命題，真命題探究新知(二)

(3)對(1)中的變量x增加了一個限制“存在一個x∈R”，變成了一個命題。

(4)對(2)中的變量x增加了一個限制“至少有一個x∈Z”,變成了一個命題。

在這里，我們把類似于“存在一個”，“至少有一個”的短語稱為存在量詞。并把(3)(4)稱為存在量詞命題。

1.短語“存在一個”“至少有一個”等在邏輯中通常叫做存在量詞。一般用符號“”表示存在量詞和存在量詞命題

存在量詞通常用來表示一部分，個別的意思，常見的存在量詞有：“有些”，“有一個”，存在一個”，“對某些”，“有的”等.存在量詞命題“存在M中的一個x，p(x)成立”,可用符號簡記為小結2.含有存在量詞的命題,叫做存在量詞命題.例2.判斷下列存在量詞命題的真假:

（1）有一個實數x,使x2+2x+3=0；

（2）平面內存在兩條相交直線垂直于同一直線；

（3）有些平行四邊形是菱形.（1）（2）∵垂直于同一直線的兩個平面是平行或重合的;∴任意兩個相交平面不可能垂直于同一條直線.∴此命題為假命題解：（3）∴此命題為假命題真命題。例析例如正方形

思考：如何判定一個存在量詞命題的真假？

如果對給定集合M中的存在一個元素x0，使p(x)成立（舉出一個例子即可），則此存在量詞命題為真命題；

如果在給定集合M中每一個元素，命題p(x0)都不成立（一般需要推導和證明），則此存在量詞命題為假命題。

小結解：練習解：解：(1)真命題例如菱形的對角線相互垂直(2)假命題

∵n2+n=n(n+1)∴對任意整數民，n和n+1必一奇一偶，即n(n+1)=n2+n為偶數(3)真命題例析或a+b≤0,1+a<0或(a+b)(1+a)≤0,1+a≠0等練習1、什么是全稱量詞，你能說出幾個嗎？存在量詞呢？

它們各用什么樣的符號來表示課堂小結2、什么是全稱量詞命題？全稱量詞命題“對M中任意一個x，p(x)成