2021-2022高考數學模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．是恒成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4}，B＝{3，4}，則＝（）A．{3，5，6} B．{1，5，6} C．{2，3，4} D．{1，2，3，5，6}3．已知滿足，則（）A． B． C． D．4．已知函數，，若成立，則的最小值為（）A．0 B．4 C． D．5．已知為正項等比數列，是它的前項和，若，且與的等差中項為，則的值是()A．29 B．30 C．31 D．326．已知隨機變量X的分布列如下表：X01Pabc其中a，b，.若X的方差對所有都成立，則（）A． B． C． D．7．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．8．已知為虛數單位，若復數，則A． B．C． D．9．設a，b都是不等于1的正數，則“”是“”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件10．已知，是橢圓與雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則的最小值為（）A． B． C．8 D．611．已知復數，則的虛部為（）A．－1 B． C．1 D．12．設復數滿足，在復平面內對應的點為，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等比數列滿足公比，為其前項和，，，構成等差數列，則_______．14．函數的定義域為__________．15．已知復數（為虛數單位），則的模為____．16．己知雙曲線的左、右焦點分別為，直線是雙曲線過第一、三象限的漸近線，記直線的傾斜角為，直線，，垂足為，若在雙曲線上，則雙曲線的離心率為_______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知矩陣，求矩陣的特征值及其相應的特征向量．18．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數）.在以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程及直線的直角坐標方程；（2）求曲線上的點到直線的距離的最大值與最小值.19．（12分）設橢圓的右焦點為，過的直線與交于兩點，點的坐標為．（1）當直線的傾斜角為時，求線段AB的中點的橫坐標；（2）設點A關于軸的對稱點為C，求證：M，B，C三點共線；（3）設過點M的直線交橢圓于兩點，若橢圓上存在點P，使得（其中O為坐標原點），求實數的取值范圍．20．（12分）已知圓M：及定點，點A是圓M上的動點，點B在上，點G在上，且滿足，，點G的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）設斜率為k的動直線l與曲線C有且只有一個公共點，與直線和分別交于P、Q兩點.當時，求（O為坐標原點）面積的取值范圍.21．（12分）已知點是拋物線的頂點，，是上的兩個動點，且.（1）判斷點是否在直線上？說明理由；（2）設點是△的外接圓的圓心，點到軸的距離為，點，求的最大值.22．（10分）已知不等式對于任意的恒成立.（1）求實數m的取值范圍；（2）若m的最大值為M，且正實數a，b，c滿足.求證.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

設成立；反之，滿足，但，故選A.2．B【解析】

按補集、交集定義，即可求解.【詳解】＝{1，3，5，6}，＝{1，2，5，6}，所以＝{1，5，6}.故選：B.【點睛】本題考查集合間的運算，屬于基礎題.3．A【解析】

利用兩角和與差的余弦公式展開計算可得結果.【詳解】，.故選：A.【點睛】本題考查三角求值，涉及兩角和與差的余弦公式的應用，考查計算能力，屬于基礎題.4．A【解析】

令，進而求得，再轉化為函數的最值問題即可求解.【詳解】∵∴（），∴，令：，，在上增，且，所以在上減，在上增，所以，所以的最小值為0.故選：A【點睛】本題主要考查了導數在研究函數最值中的應用，考查了轉化的數學思想，恰當的用一個未知數來表示和是本題的關鍵，屬于中檔題.5．B【解析】

設正項等比數列的公比為q，運用等比數列的通項公式和等差數列的性質，求出公比，再由等比數列的求和公式，計算即可得到所求．【詳解】設正項等比數列的公比為q，則a4=16q3，a7=16q6，a4與a7的等差中項為，即有a4+a7=，即16q3+16q6，=，解得q=（負值舍去），則有S5===1．故選C．【點睛】本題考查等比數列的通項和求和公式的運用，同時考查等差數列的性質，考查運算能力，屬于中檔題．6．D【解析】

根據X的分布列列式求出期望,方差,再利用將方差變形為,從而可以利用二次函數的性質求出其最大值為,進而得出結論.【詳解】由X的分布列可得X的期望為,又,所以X的方差,因為,所以當且僅當時,取最大值,又對所有成立,所以,解得,故選:D.【點睛】本題綜合考查了隨機變量的期望?方差的求法,結合了概率?二次函數等相關知識,需要學生具備一定的計算能力,屬于中檔題.7．D【解析】

可求出集合，，然后進行并集的運算即可．【詳解】解：，；．故選．【點睛】考查描述法、區間的定義，對數函數的單調性，以及并集的運算．8．B【解析】

因為，所以，故選B．9．C【解析】

根據對數函數以及指數函數的性質求解a,b的范圍，再利用充分必要條件的定義判斷即可．【詳解】由“”，得，得或或，即或或，由，得，故“”是“”的必要不充分條件，故選C．【點睛】本題考查必要條件、充分條件及充分必要條件的判斷方法，考查指數，對數不等式的解法，是基礎題．10．C【解析】

由橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式化簡，結合基本不等式即可求解.【詳解】設橢圓的長半軸長為，雙曲線的半實軸長為，半焦距為，則，，設由橢圓的定義以及雙曲線的定義可得：，則當且僅當時，取等號.故選：C．【點睛】本題主要考查了橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式，屬于中等題.11．A【解析】

分子分母同乘分母的共軛復數即可.【詳解】，故的虛部為.故選：A.【點睛】本題考查復數的除法運算，考查學生運算能力，是一道容易題.12．B【解析】

設，根據復數的幾何意義得到、的關系式，即可得解；【詳解】解：設∵，∴，解得.故選：B【點睛】本題考查復數的幾何意義的應用，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．0【解析】

利用等差中項以及等比數列的前項和公式即可求解.【詳解】由，，是等差數列可知因為，所以，故答案為：0【點睛】本題考查了等差中項的應用、等比數列的前項和公式，需熟記公式，屬于基礎題.14．【解析】

根據函數成立的條件列不等式組,求解即可得定義域.【詳解】解:要使函數有意義,則,即.則定義域為:.故答案為:【點睛】本題主要考查定義域的求解,要熟練掌握張建函數成立的條件.15．【解析】，所以．16．【解析】

由，則，所以點，因為，可得，點坐標化簡為，代入雙曲線的方程求解.【詳解】設，則，即，解得，則，所以，即，代入雙曲線的方程可得，所以所以解得.故答案為：【點睛】本題主要考查了直線與雙曲線的位置關系，及三角恒等變換，還考查了運算求解的能力和數形結合的思想，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．矩陣屬于特征值的一個特征向量為，矩陣屬于特征值的一個特征向量為【解析】

先由矩陣特征值的定義列出特征多項式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程組，即可求得相應的特征向量.【詳解】由題意，矩陣的特征多項式為，令，解得，，將代入二元一次方程組，解得，所以矩陣屬于特征值的一個特征向量為；同理，矩陣屬于特征值的一個特征向量為v【點睛】本題主要考查了矩陣的特征值與特征向量的計算，其中解答中熟記矩陣的特征值和特征向量的計算方法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.18．（1），（2）最大值，最小值【解析】

（1）由曲線的參數方程，得兩式平方相加求解，根據直線的極坐標方程，展開有，再根據求解.（2）因為曲線C是一個半圓，利用數形結合，圓心到直線的距離減半徑即為最小值，最大值點由圖可知.【詳解】（1）因為曲線的參數方程為所以兩式平方相加得：因為直線的極坐標方程為.所以所以即（2）如圖所示：圓心C到直線的距離為：所以圓上的點到直線的最小值為：則點M(2，0)到直線的距離為最大值：【點睛】本題主要考查參數方程，普通方程及極坐標方程的轉化和直線與圓的位置關系，還考查了數形結合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.19．(1)AB的中點的橫坐標為；（2）證明見解析；（3）【解析】

設.（1）因為直線的傾斜角為，，所以直線AB的方程為，聯立方程組，消去并整理，得，則，故線段AB的中點的橫坐標為．（2）根據題意得點，若直線AB的斜率為0，則直線AB的方程為，A、C兩點重合，顯然M，B，C三點共線；若直線AB的斜率不為0，設直線AB的方程為，聯立方程組，消去并整理得，則，設直線BM、CM的斜率分別為、，則，即=，即M，B，C三點共線．（3）根據題意，得直線GH的斜率存在，設該直線的方程為，設，聯立方程組，消去并整理，得，由，整理得，又，所以，結合，得，當時，該直線為軸，即，此時橢圓上任意一點P都滿足，此時符合題意；當時，由，得，代入橢圓C的方程，得，整理，得，再結合，得到，即，綜上，得到實數的取值范圍是．20．（1）；（2）.【解析】

（1）根據題意得到GB是線段的中垂線，從而為定值，根據橢圓定義可知點G的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，即可求出曲線C的方程；（2）聯立直線方程和橢圓方程，表示處的面積代入韋達定理化簡即可求范圍.【詳解】（1）為的中點，且是線段的中垂線，，又，∴點G的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，設橢圓方程為（），則，，，所以曲線C的方程為.（2）設直線l：（），由消去y，可得.因為直線l總與橢圓C有且只有一個公共點，所以，.①又由可得；同理可得.由原點O到直線的距離為和，可得.②將①代入②得，當時，，綜上，面積的取值范圍是.【點睛】此題考查了軌跡和直線與曲線相交問題，軌跡通過已知條件找到幾何關系從而判斷軌跡，直線與曲線相交一般聯立設而不求韋達定理進行求解即可，屬于一般性題目.21．（1）不在，證明見詳解；（2）【解析】

（1）假設直線方程，并于拋物線方程聯立，結合韋達定理，計算，可得，然后驗證可得結果.（2）分別計算線段中垂線的方程，然后聯立，根據（1）的條件可得點的軌跡方程，然后可得焦點，結合拋物線定義可得，計算可得結果.【詳解】（1）設直線方程，根據題意可知直線斜率一定存在，則則由所以將代入上式化簡可得，所以則直線方程為，所以直線過定點，所以可知點不在直線上.（2）設線段的中點為線段的中點為則直線的斜率為，直線的斜率為可知線段的中垂線的方程為由，所以上式化簡為即線段的中垂線的方程為同理可得：線段的中垂線的方程為則由（1）可知：所以即，所以點軌跡方程為焦點為，所以當三點共線時，有最大所以【點睛】本題考查直線于拋物線的綜合應用，第（1）問中難點在于計算處，第（2）問中關鍵在于得到點的軌跡方程，直線與圓錐曲線的綜合常常要聯立方程，結合韋達定理，屬難題.22．（1）（2）證明見解析【解析】

（1）法一