2021-2022高考數學模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．將函數的圖象向右平移個周期后，所得圖象關于軸對稱，則的最小正值是（）A． B． C． D．2．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積是()A． B． C． D．3．已知雙曲線（，）的左、右頂點分別為，，虛軸的兩個端點分別為，，若四邊形的內切圓面積為，則雙曲線焦距的最小值為（）A．8 B．16 C． D．4．若復數是純虛數，則實數的值為()A．或 B． C． D．或5．已知復數是純虛數，其中是實數，則等于（）A． B． C． D．6．已知復數滿足，則的共軛復數是（）A． B． C． D．7．若直線經過拋物線的焦點，則（）A． B． C．2 D．8．（）A． B． C． D．9．已知正四面體的棱長為，是該正四面體外接球球心，且，，則（）A． B．C． D．10．已知雙曲線的一條漸近線方程是，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．11．設復數滿足，在復平面內對應的點的坐標為則（）A． B．C． D．12．設復數滿足，則（）A．1 B．-1 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．滿足約束條件的目標函數的最小值是.14．“學習強國”學習平臺是由中宣部主管，以深入學習宣傳習近平新時代中國特色社會主義思想為主要內容，立足全體黨員、面向全社會的優質平臺，現已日益成為老百姓了解國家動態，緊跟時代脈搏的熱門app.該款軟件主要設有“閱讀文章”和“視聽學習”兩個學習板塊和“每日答題”、“每周答題”、“專項答題”、“挑戰答題”四個答題板塊.某人在學習過程中，將六大板塊依次各完成一次，則“閱讀文章”與“視聽學習”兩大學習板塊之間最多間隔一個答題板塊的學習方法有________種.15．過且斜率為的直線交拋物線于兩點，為的焦點若的面積等于的面積的2倍，則的值為___________.16．假設10公里長跑，甲跑出優秀的概率為，乙跑出優秀的概率為，丙跑出優秀的概率為，則甲、乙、丙三人同時參加10公里長跑，剛好有2人跑出優秀的概率為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程；（2）設點，直線與曲線交于兩點，求的值.18．（12分）在平面直角坐標系xoy中，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系。已知曲線C的極坐標方程為，過點的直線l的參數方程為（為參數），直線l與曲線C交于M、N兩點。（1）寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程：（2）若成等比數列，求a的值。19．（12分）設函數．（1）當時，求不等式的解集；（2）當時，求實數的取值范圍．20．（12分）已知曲線的極坐標方程為，直線的參數方程為（為參數）.（1）求曲線的直角坐標方程與直線的普通方程；（2）已知點，直線與曲線交于、兩點，求.21．（12分）已知，，動點滿足直線與直線的斜率之積為，設點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若過點的直線與曲線交于，兩點，過點且與直線垂直的直線與相交于點，求的最小值及此時直線的方程.22．（10分）百年大計，教育為本.某校積極響應教育部號召，不斷加大拔尖人才的培養力度，為清華、北大等排名前十的名校輸送更多的人才.該校成立特長班進行專項培訓.據統計有如下表格.（其中表示通過自主招生獲得降分資格的學生人數，表示被清華、北大等名校錄取的學生人數）年份（屆）2014201520162017201841495557638296108106123（1）通過畫散點圖發現與之間具有線性相關關系，求關于的線性回歸方程；（保留兩位有效數字）（2）若已知該校2019年通過自主招生獲得降分資格的學生人數為61人，預測2019年高考該校考人名校的人數；（3）若從2014年和2018年考人名校的學生中采用分層抽樣的方式抽取出5個人回校宣傳，在選取的5個人中再選取2人進行演講，求進行演講的兩人是2018年畢業的人數的分布列和期望.參考公式：，參考數據：，，，

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

由函數的圖象平移變換公式求出變換后的函數解析式，再利用誘導公式得到關于的方程，對賦值即可求解.【詳解】由題意知，函數的最小正周期為,即,由函數的圖象平移變換公式可得，將函數的圖象向右平移個周期后的解析式為，因為函數的圖象關于軸對稱，所以，即，所以當時，有最小正值為.故選：D【點睛】本題考查函數的圖象平移變換公式和三角函數誘導公式及正余弦函數的性質；熟練掌握誘導公式和正余弦函數的性質是求解本題的關鍵；屬于中檔題、常考題型.2．D【解析】

根據三視圖判斷出幾何體為正四棱錐，由此計算出幾何體的表面積.【詳解】根據三視圖可知，該幾何體為正四棱錐.底面積為.側面的高為，所以側面積為.所以該幾何體的表面積是.故選：D【點睛】本小題主要考查由三視圖判斷原圖，考查錐體表面積的計算，屬于基礎題.3．D【解析】

根據題意畫出幾何關系，由四邊形的內切圓面積求得半徑，結合四邊形面積關系求得與等量關系，再根據基本不等式求得的取值范圍，即可確定雙曲線焦距的最小值.【詳解】根據題意，畫出幾何關系如下圖所示：設四邊形的內切圓半徑為，雙曲線半焦距為，則所以，四邊形的內切圓面積為，則，解得，則，即故由基本不等式可得，即，當且僅當時等號成立.故焦距的最小值為.故選：D【點睛】本題考查了雙曲線的定義及其性質的簡單應用，圓錐曲線與基本不等式綜合應用，屬于中檔題.4．C【解析】試題分析：因為復數是純虛數，所以且，因此注意不要忽視虛部不為零這一隱含條件.考點：純虛數5．A【解析】

對復數進行化簡，由于為純虛數，則化簡后的復數形式中，實部為0，得到的值，從而得到復數.【詳解】因為為純虛數，所以，得所以.故選A項【點睛】本題考查復數的四則運算，純虛數的概念，屬于簡單題.6．B【解析】

根據復數的除法運算法則和共軛復數的定義直接求解即可.【詳解】由，得，所以．故選：B【點睛】本題考查了復數的除法的運算法則，考查了復數的共軛復數的定義，屬于基礎題.7．B【解析】

計算拋物線的交點為，代入計算得到答案.【詳解】可化為，焦點坐標為，故.故選：.【點睛】本題考查了拋物線的焦點，屬于簡單題.8．D【解析】

利用，根據誘導公式進行化簡，可得，然后利用兩角差的正弦定理，可得結果.【詳解】由所以，所以原式所以原式故故選：D【點睛】本題考查誘導公式以及兩角差的正弦公式，關鍵在于掌握公式，屬基礎題.9．A【解析】

如圖設平面，球心在上，根據正四面體的性質可得，根據平面向量的加法的幾何意義，重心的性質，結合已知求出的值.【詳解】如圖設平面，球心在上，由正四面體的性質可得：三角形是正三角形，，，在直角三角形中，，，，，，因為為重心，因此，則，因此，因此，則，故選A.【點睛】本題考查了正四面體的性質，考查了平面向量加法的幾何意義，考查了重心的性質，屬于中檔題.10．D【解析】雙曲線的漸近線方程是，所以，即，，即，，故選D.11．B【解析】

根據共軛復數定義及復數模的求法，代入化簡即可求解.【詳解】在復平面內對應的點的坐標為，則，，∵，代入可得，解得.故選：B.【點睛】本題考查復數對應點坐標的幾何意義，復數模的求法及共軛復數的概念，屬于基礎題.12．B【解析】

利用復數的四則運算即可求解.【詳解】由.故選：B【點睛】本題考查了復數的四則運算，需掌握復數的運算法則，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．-2【解析】

可行域是如圖的菱形ABCD，代入計算，知為最小.14．【解析】

先分間隔一個與不間隔分類計數，再根據捆綁法求排列數,最后求和得結果.【詳解】若“閱讀文章”與“視聽學習”兩大學習板塊相鄰，則學習方法有種;若“閱讀文章”與“視聽學習”兩大學習板塊之間間隔一個答題板塊的學習方法有種;因此共有種.故答案為：【點睛】本題考查排列組合實際問題，考查基本分析求解能力，屬基礎題.15．2【解析】

聯立直線與拋物線的方程，根據一元二次方程的根與系數的關系以及面積關系求解即可.【詳解】如圖，設，由，則，由可得，由，則，所以，得.故答案為：2【點睛】此題考查了拋物線的性質，屬于中檔題.16．【解析】

分跑出優秀的人為：甲、乙和甲、丙和乙、丙三種情況分別計算再求和即可.【詳解】剛好有2人跑出優秀有三種情況：其一是只有甲、乙兩人跑出優秀的概率為；其二是只有甲、丙兩人跑出優秀的概率為；其三是只有乙、丙兩人跑出優秀的概率為,三種情況相加得.即剛好有2人跑出優秀的概率為.故答案為：【點睛】本題主要考查了分類方法求解事件概率的問題,屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）【解析】

（1）直接利用轉換關系的應用，把參數方程極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉換.（2）利用（1）的結論，進一步利用一元二次方程根和系數的關系式的應用求出結果.【詳解】解：（1）直線的參數方程為（為參數），轉換為直角坐標方程為.曲線的極坐標方程為.轉換為，轉換為直角坐標方程為.（2）直線的參數方程為（為參數），轉換為標準式為（為參數），代入圓的直角坐標方程整理得，所以，..【點睛】本題屬于基礎本題考查的知識要點：主要考查極坐標，參數方程與普通方程互化，及求三角形面積．需要熟記極坐標系與參數方程的公式，及與解析幾何相關的直線與曲線位置關系的一些解題思路．18．（1）l的普通方程；C的直角坐標方程；（2）.【解析】

（1）利用極坐標與直角坐標的互化公式即可把曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，利用消去參數即可得到直線的直角坐標方程；（2）將直線的參數方程，代入曲線的方程，利用參數的幾何意義即可得出，從而建立關于的方程，求解即可．【詳解】（1）由直線l的參數方程消去參數t得,，即為l的普通方程由，兩邊乘以得為C的直角坐標方程.（2）將代入拋物線得由已知成等比數列，即，，，整理得（舍去）或.【點睛】熟練掌握極坐標與直角坐標的互化公式、方程思想、直線的參數方程中的參數的幾何意義是解題的關鍵．19．(1)(2)當時，的取值范圍為；當時，的取值范圍為．【解析】

（1）當時，分類討論把不等式化為等價不等式組，即可求解．(2)由絕對值的三角不等式，可得，當且僅當時，取“”，分類討論，即可求解．【詳解】（1）當時，，不等式可化為或或，解得不等式的解集為．(2)由絕對值的三角不等式，可得，當且僅當時，取“”，所以當時，的取值范圍為；當時，的取值范圍為．【點睛】本題主要考查了含絕對值的不等式的求解，以及絕對值三角不等式的應用，其中解答中熟記含絕對值不等式的解法，以及合理應用絕對值的三角不等式是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．20．(1).(2)【解析】

（1）根據極坐標與直角坐標互化公式，以及消去參數，即可求解；（2）設兩點對應的參數分別為，，將直線的參數方程代入曲線方程，結合根與系數的關系，即可求解.【詳解】（1）對于曲線的極坐標方程為，可得，又由，可得，即，所以曲線的普通方程為.由直線的參數方程為（為參數），消去參數可得，即直線的方程為，即.（2）設兩點對應的參數分別為，，將直線的參數方程（為參數）代入曲線中，可得.化簡得：，則.所以.【點睛】本題主要考查了參數方程與普通方程，極坐標方程與直角坐標方程的互化，以及直線的參數方程的應用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.21．（1）（2）的最小值為1，此時直線：【解析】

（1）用直接法求軌跡方程，即設動點為，把已知用坐標表示并整理即得．注意取值范圍；（2）設：，將其與曲線的方程聯立，消元并整理得，設，，則可得，，由求出，將直線方程與聯立，得，求得，計算，設.顯然，構造，由導數的知識求得其最小值，同時可得直線的方程.【詳解】（1）設，則，即整理得（2）設：，將其與曲線的方程聯立，得即設，，則，將直線：與聯立，得∴∴設.顯然構造在上恒成立所以在上單調遞增所以，當且僅當，即時取“=”即的最小值為1，此時直線：.（注：1.如果按函數的性質求最值可以不扣分；2.若直線方程按斜率是否存在討論，則可以根據步驟相應給分.）【點睛】本題考查求軌跡方程，考查直線與橢圓相交中的最值．直線與橢圓相交問題中常采用“設而不求”的思想方法，即設交點坐標為，設直線方程，直線方程與橢圓方程聯立并消元，然后用韋達定理得（或），把這個代入其他條件變形計算化簡得出結論，本題屬于難題，對學生的邏輯推理、運算求解能力有一定的要求．22．（1）；（2）117人；（3）分布列見解析，【解