2．向量形式的柯西不等式：如果α，β是兩個向量，則|α·β|≤|α||β|，當且僅當β是零向量，或存在實數k，使α＝kβ時，等號成立．4．一般形式的柯西不等式：如果a1，a2，a3，…an，b1，b2，b3，…，bn都是實數，則(a＋a＋a＋…＋a)(b＋b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn)2，

．5．排序不等式：設a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn為兩組實數，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，那么

，當且僅當a1＝a2＝…＝an，b1＝b2＝…＝bn時，反序和等于順序和．當且僅當bi＝ 0(i＝1,2,3，…，n)或存在實數k，使ai＝bi(i＝1,2,3，…，n)時，等號成立a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn6．貝努利不等式：如果x是實數，且x>－1，x≠0，n為大于1的自然數，那么有

.7．貝努利不等式的一般形式：設x>－1，則(1)當

時，有(1＋x)α≤1＋αx；(2)當

時，有(1＋x)α≥1＋αx；以上兩式當且僅當x＝0時，等號成立．(1＋x)n>1＋nx0<α<1α>1或α<01．已知x、y、z∈R＋，且x＋y＋z＝1，則x2＋y2＋z2的最小值是 ()答案：B3．已知實數a、b、c、d、e滿足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，則e的取值范圍是________．解析：∵4(a2＋b2＋c2＋d2)＝(1＋1＋1＋1)(a2＋b2＋c2＋d2)≥(a＋b＋c＋d)2，即4(16－e2)≥(8－e)2,64－4e2≥64－16e＋e2，即5e2－16e≤0，∴e(5e－16)≤0，思路分析：由條件式和待待證式的特點點，可考慮應應用柯西不等等式．a2b2＝(1－a2)(1－b2)，于是a2＋b2＝1.答案：1利用柯西不等等式求最值，，實質上就是是利用柯西不不等式進行放放縮，放縮不不當則等號可可能不成立，，因此不能忘忘記檢驗等號號成立的條件件.變式遷移2若3x＋4y＝2，試求x2＋y2的最小值．解：由柯西不等式式(32＋42)(x2＋y2)≥(3x＋4y)2，變式遷移3利用排序不不等式證明明：若a，b，c∈R＋，則a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a.證明：不妨設a≥b≥c>0，則a2≥b2≥c2，故a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a.1．從形式式結構上看看，柯西不不等式可簡簡記為“方方和積大于于積和方””，相比基基本不等式式而言，不不要求各項項均是正數數，從而使使用更廣泛泛，在使用用柯西不等等式證明不不等式和求求最值時，，要注意與與柯西不等等式的一般般形式比較較，根據需需要，構造造“積和方方”或“方方和積”．．2．柯西不不等式等號號成立的條條件比較特特殊，要牢牢記．3．應用排排序不等式式的技巧在在于構造兩兩個便于排排序的數組組，而數組組的構造應應從需要入入手來設計計，根據所所要證的式式子的結構構觀察分析析，特別是是變量呈““對稱”和和“齊次””的不等