第講1映射與函數第二章函數1考點搜索●映射、一一映射的概念●函數的概念及函數的三要素●運用排列組合知識計算映射的個數●分段函數與復合函數的概念高2高考猜想映射是高中數學中的一個重要概念，應予以足夠重視，高考對它的考查以選擇題型為主，主要是對概念的考查；對函數的概念、函數的解析式、分段函數的考查一直是高考考查的重點.3一、映射的概念與判定方法1.

設A、B是兩個集合，如果按照某種對應關系f，對于集合A中的每一個元素，

，這樣的對應關系叫做從集合A到集合B的映射，記作

.2.

給定一個從集合A到集合B的映射，且a∈A，b∈B，如果元素a和b對應，那么元素b叫做元素a的

，元素a叫做元素b的.

在集合B中都有唯一的元素與它對應f:A→B原象象4二、函數的三要素及其表示法1.函數的三要素是

,

，

.判斷兩個函數是否為同一函數只需判定兩點:

和

.2.

函數的三種表示方法有

、

和

.三、分段函數與復合函數定義域值域對應法則定義域是否相同對應法則是否相同解析法列表法圖象法51.

如果一個函數在定義域的不同子集中因

不同而用幾個不同的式子來表示，這樣的函數叫做分段函數.分段函數的求法是分別求出

再組合在一起，但要注意各區間之間的點不重復、無遺漏.2.

如果y=f(u)，u=g(x)，那么函數y=f［g(x)］叫做復合函數，其中f(u)叫做

函數，g(x)叫做

函數.對應關系解析式外層內層61.在映射f:A→B中，下列判斷正確的是()A.A中的元素a的象可能不止一個B.A中的元素a1和a2的象不可能相同C.B中的元素b的原象可能不止一個D.B中的元素b1和b2的原象可能相同由映射的定義知，選C.C72.設集合M={-1,0,1},N={1,2,3,4,5}，映射f:M→N滿足條件“對任意的x∈M，x+f(x)是奇數”，這樣的映射f個數是()A.125B.243C.12D.7分三步：(1)當x=-1時，f(x)=2,4;(2)當x=0時，f(x)=1,3,5;(3)當x=1時，f(x)=2,4,所以映射f共有2×3×2=12個.C83.若一系列函數的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數為“天一函數”，那么解析式為y=2x2+1，值域為{9，1，3}的“天一函數”共有()A.4個B.8個C.9個D.12個C9分三步：(1)當y=1時，x=0;(2)當y=3時，x=1或x=-1或x=±1;(3)當y=9時，x=2或x=-2或x=±2,所以“天一函數”共有1×3×3=9個.10題型一：映映射與函數數的概念1.判斷下列對對應是否是是從集合A到集合B的映射：(1)A=R,B={x|x>0}，f:x→|x|；(2)A=N,B=N，f:x→|x-2|；(3)A={x|x>0},B=R，f:x→x2.11(1)0∈∈A，在法則f下，0→|0|=0B，故該對應應不是從集集合A到集合B的映射；(2)2∈∈A，在法則f下，2→|2-2|=0B，故該對應應不是從集集合A到集合B的映射；(3)對于任意x∈A，依法則f:x→x2∈B，故該對應應是從集合合A到集合B的映射.12點評：映射是一種種特殊的對對應，函數數是特殊的的映射，即即從非空數數集到非空空數集的映映射.對于函數：：按某種對對應法則f，從非空數數集A到非空數集集B的函數，要要求A中的元素必必須有象且且唯一，而而集合B中的元素也也必須有原原象，可以以有一個或或多個.13下列從M到N的各對應法法則fi(i=1，2，3，4)中，哪些是映射射？哪些是函數數？哪些不是映映射？為什什么？14(1)M={直線Ax+By+C=0}，N=R，f1:求直線Ax+By+C=0的斜率;(2)M={直線Ax+By+C=0}，N={α|0≤α＜π}，f2:求直線Ax+By+C=0的傾斜角;(3)當M=N=R，f3:求M中每個元素素的正切；；(4)M=

15(1)當B=0時，，直直線線Ax+C=0的斜斜率率不不存存在在，，此此時時N中不不存存在在與與之之對對應應的的元元素素，，故故f1不是是從從M到N的映映射射，，也也就就不不是是函函數數了了.(2)對于于M中任任一一元元素素Ax+By+C=0，該該直直線線恒恒有有唯唯一一確確定定的的傾傾斜斜角角α，且且α∈∈［0，π)，故故f2是從從M到N的映映射射.但由由于于M不是是數數集集，，從從而而f2不是是從從M到N的函函數數.16(3)由于于M中元元素素(k∈Z)的正正切切無無意意義義，，即即它它在在N中沒沒有有象象，，故故f3不是是從從M到N的映映射射，，自自然然也也不不是是函函數數.(4)對于于M中任任一一非非負負數數，，其其算算術術平平方方根根唯唯一一且且確確定定，，故故f4是從從M到N的映映射射，，又又M、N均為為非非空空數數集集，，所所以以f4是從從M到N的函函數數.17題型型二二：：映映射射中中的的象象或或原原象象問問題題2.已知知映映射射f:A→B，其其中中A=B=R，對對應應法法則則f:x→y=-x2+2x，對于實數k∈B，在集合A中不存在原象象，則k的取值范圍是是()A.k＞1B.k≥1C.k＜1D.k≤118已知象k求原象x，即求方程-x2+2x=k的實數解.本題要求k在A中無原象，即即方程在R中無實根.由題意，方程程-x2+2x=k在R中無實根，即即x2-2x+k=0在R中無實根，所以Δ=(-2)2-4k＜0，解得k＞1，所以當k＞1時，集合A中不存在原象象，故選A.19點評：從集合A到集合B的映射，集合合A中的元素一定定在集合B中有元素對應應，即集合A中的元素有象象，而集合B中的元素，可可以不與集合合A中的元素對應應，即B中的元素可以以沒有原象.20在映射f:A→B中，已知A中元素(x，y)與B中的元素對對應.求：(1)A中的元素(1，3)的象象；；(2)B中的的元元素素(-5，2)的原原象象.21(1)令x=1，y=3，則則所以以A中的的元元素素(1，3)的象象為為(2，-1).(2)令則x=-3，y=-7，所以以B中的的元元素素(-5，2)的原原象象是是(-3，-7).22題型型三三：：求求映映射射的的個個數數3.已知知A={1，2，3，4，5}，B={6，7，8}.(1)從A到B的映映射射有有多多少少個個？？(2)從B到A的映映射射有有多多少少個個？？(1)由映映射射的的概概念念及及乘乘法法原原理理知知從從A到B的映映射射共共有有35=243(個).(2)同理理，，從從B到A的映映射射共共有有53=125(個).點評評：：設集集合合A中的的元元素素個個數數是是m，集集合合B中的的元元素素個個數數是是n，則則從從集集合合A到集集合合B的映映射射個個數數是是nm.23已知知A=B={1，2，3，4，5}，從從A到B的映映射射f滿足足：：①f(1)≤≤f(2)≤≤…≤f(5)②f的象有且只有2個，則適合條件的映射的個數為()A.10B.20C.30D.4024分步：在在B中選定f下的兩個個象，有有種種；確確定A中元素在在f下的原象象，由條條件①將將1，2，3，4，5分前后兩兩組，分25題型表表格中的的對應關關系(原創)表中的數數據x(x則①處的數據可以是