第十二章極限與導數數學歸納法及其應用第講1（第一課時）1考點搜索●歸納法和數學歸納法的含義與作用●數學歸納法的證題步驟，及各步驟的作用高高考猜想1.利用數學歸納法證明數列背景下的有關問題.2.利用“歸納——猜想——證明”探索有關結論.21.從一系列有限的①

得出②—————————的推理方法，叫做歸納法.2.對一個與正整數n有關的命題：第一步：驗證當n取③

時命題成立；第二步：假設當④

時命題成立，證明當⑤

時命題也成立.在完成了這兩個步驟以后，就可以斷定命題對于從⑥

開始的所有正整數n都成立，這種證明方法叫做數學歸納法.特殊事例一般結論第一個值n0

n=k(k∈N*，k≥n0)n=k+1n0

33.數學歸納法需要完成兩個步驟的證明，缺一不可.其中第一步是奠基步驟，是⑦————————的基礎；第二步反映了無限遞推關系，即命題的正確性具有⑧

.若只有第一步，而無第二步，則只是證明了命題在特殊情況下的正確性；若只有第二步，而無第一步，那么假設n=k時命題成立就沒有根據，遞推無法進行.遞推歸納傳遞性41.設那么f(n+1)-f(n)等于()D5解：62.凸n邊形有f(n)條對角線，則凸n+1邊形的對角線條數f(n+1)為(

)A.f(n)+n+1

B.f(n)+nC.f(n)+n-1

D.f(n)+n-2解：由n邊形到n+1邊形，增加的對角線是增加的一個頂點與原(n-2)個頂點連成的(n-2)條對角線，及原先的一條邊成了對角線.故選C.C

7題型1

用數學歸納法證明恒等式、不等式1.設n∈N*，求證：證明：(1)當n=1時，左邊=右邊所以等式成立.(2)假設n=k(k∈N*)時等式成立，即8則當n=k+1時，所以當n=k+1時等式也成立.綜合(1)(2)知，對一切正整數n等式都成立.9點評：運用數學歸納法證明恒等式(不等式)的要點是“兩步一結論”，即第一步先驗證初始結論；第二步是先假設n=k時命題成立，再由n=k時的命題作條件，推導n=k+1時結論也成立；一結論是指最后歸納前面兩個步驟，得出原結論是成立的.10所以當n=k+1時，，不等式式也成立立.綜合(1)(2)知，，對于一一切大于于1的自自然數,不等式都都成立.111213題型2用數學歸歸納法證證明整除除性問題題2.設設a為實實常數，，n∈N*，，證明:an+2+(a+1)2n+1能被a2+a+1整除除.證明：(1)當當n=1時，，a3+(a+1)3=(2a+1)［［a2-a(a+1)+(a+1)2］=(2a+1)(a2+a+1).它能被a2+a+1整除除，所以以n=1時命命題成立立.(2)假假設當n=k時，ak+2+(a+1)2k+1能被a2+a+1整整除，，則當n=k+1時時，ak+3+(a+1)2k+314=a［ak+2+(a+1)2k+1］+(a+1)2k+3-a(a+1)2k+1=a［ak+2+(a+1)2k+1］+(a2+a+1)(a+1)2k+1.因為ak+2+(a+1)2k+1與a2+a+1都都能被被a2+a+1整整除，，所以上上面的的和也也能被被a2+a+1整整除.即當n=k+1時，，ak+3+(a+1)2k+3能被a2+a+1整整除.綜合(1)(2)知知，命命題對對任何何n∈N*都成成立.15點評：：用數學學歸納納法證證明整整除問問題的的關鍵鍵是第第二步步的配配湊變變形，，即把把n=k+1的的命題題形式式通過過添項項配湊湊成n=k時的結結論加加除式式的倍倍式的的形式式.16已知f(n)=(2n+7)·3n+9，是否否存在在自然然數m，使對對任意意n∈N*，都有有m整除f(n)？如果果存在在，求求出最最大的的m值，并并證明明你的的結論論；如如果不不存在在，說說明理理由.解：由f(1)=36，f(2)=108，f(3)=360，f(4)=1224，猜想想f(n)被36整除.證明：：(1)當n=1時，猜猜想顯顯然成成立.(2)假設當當n=k時，f(k)能被36整除，，即(2k+7)·3k+9能被36整除.則當n=k+1時，17f(k+1)=［2(k+1)+7］·3k+1+9=3［(2k+7)·3k+9］+18(3k-1-1).由假設設知3［(2k+7)·3k+9］能被被36整除，，而3k-1-1是偶數數，所所以18(3k-1-1)能被36整除，，從而f(k+1)能被36整除.綜合(1)(2)知，對任意意n∈N*，f(n)能被36整除.由于f(1)=36，故36是整除除f(n)的自然然數m的最大大值.18平面內內有n個圓，，其中中每兩兩個圓圓都相相交，，任何何三個個圓都都無公公共點點，證證明：：這n個圓把把平面面分成成n2-n+2個區域域.證明：：(1)當n=1時，一一個圓圓把平平面分分成兩兩個區區域，，而12-1+2=2，所以以命題題成立立.(2)假設當當n=k時命題題成立立，即即k個圓把把平面面分成成k2-k+2個區域域.題型用用數學學歸納納法證證明幾幾何命命題

參考題19則當n=k+1時，第第k+1個圓與與原有有的k個圓共共有2k個交點點，這這些交交點把把第k+1個圓分分成了了2k段弧，，其中中每段段弧都都把它它所在在的區區域分分成了了兩部部分，，因此此共增增加了了2k個區域域.所以這這k+1個圓把把平面面分成成k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2個區域域，即當n=k+1時命題題也成成立.綜合(1)(2)知，對對任意意n∈N*，命題題都成成立.201.數學歸歸納法法的第第一步步有時時要驗驗證從從n0開始的的多個個正整整數命命題成成立，，這主主要取取決于于從k到k+1的的奠基基是什什么數數.如如果假假設當當n=k時命題題成立立，并并要求求當k≥m時才能能得出出n=k+1時時命題題也成成立，，則第第一步步必須須驗證證從n0到m的各個個正整整數命命題都都成立立.2.第二步步的證證明必必須運運用““歸納納假設設”作作為證證明n=k+1時時命題題成立立的條條件，，否則則就不不是數數學歸歸納法法了.213.“歸納假假設””可以以是一一個式式子(等式或或不等等式)，也可可以是是一段段具有有數學學意義義的數數學語語言，，有時時需要要對它它作適適當變變通，，而不不是機機械地地套用用.4.如果命命題是是對正正奇數數(或正偶偶數)成立，，則假假設n=k時命題題成立立后，，要證證明n=k+2時也命命題成成立.若第(1)步證明明n=1和n=2時命題題成立立，22第(2)步假設設n=k時命題題成立立，證證明n=k+2時命題題也成成立，，則對