第一篇數學是什么數學是什么，對于一個學數學的大學生、一個未來的數學教師來說是一個很重要的問題，它涉及到你對數學的基本看法、信念與態度，即數學觀的問題。而數學觀又在自覺或不自覺地影響著你的數學學習和你將來的數學教學工作。第一章數學的發展歷程

數學知識產生于遙遠的古代，來源于人類的生產實踐活動，隨著人類社會生產力的發展而發展。數學的萌芽時期；常量數學時期；變量數學時期；近代數學時期；現代數學時期一、數學的萌芽時期（史前——公元前6世紀）1．數學知識起源于人們的實際需要。⑴數的概念的起源。數的概念的起源于原始人的生產和生活《周易系辭下》：“上古結繩而治，后世圣人，易知以書契”。根據一一對應的原則進行計算，這樣使人們逐漸脫離了實物的具體屬性，抽象出純粹的數的概念奠定了意義深遠的一步。⑵形的概念的起源人們最初的幾何概念基本上不是靠對周圍物體的簡單的直接觀察得來的，而是在為滿足自身最必須的生活要求的生產活動中經過抽象產生的。總之，原始人對數學的認識主要是圍繞“數”和“形”這兩個基本概念逐步發展起來的，當然“數”作為表示事物量的屬性的一個抽象概念、“形”作為表示事物空間屬性的一個抽象概念，是人類經過上百萬年的實踐與認識才得到的概念。2．河谷文明與早期數學。興起于埃及、美索不達米亞、中國和印度的古代文明叫做“河谷文明”。萌芽時期的數學并不能成為一門獨立的學科，它只是一種工具，形式上是些無聯系的簡單法則，用于解決人們日常生活中所碰到的問題。⑴古埃及的數學胡夫金字塔《蘭德紙草》和《莫斯科紙草》記載了古埃及的數學成就。

根據紙草書上文字的含義，使人們窺視到古埃及人公元前1650年前就已經學會用數學來管理國家和宗教事物，確定付給勞役者的報酬，求谷倉的容積和田地的面積，計算建造房屋所需要的磚塊數等等。⑵巴比倫的數學（美索不達米亞的數學）①大多數古代文明普遍采用十進制，但古巴比倫人卻采用六十進位制。②現在的“星期”來自古巴比倫。太陽、月亮、金星、木星、水星、火星、土星⑶中國數學的萌芽時期。①約在公元前2500年左右，我國已有了圓、方、平、直等形的概念。②我國是世界上最早使用十進位值制記數法的國家。③算籌與籌算。④古書中記載的數學知識。《周易》《墨子》：

平，同高也；圜，一中同長也《莊子》至大無外，謂之大一，至小無內，謂之小一一尺之棰，日取其半，萬世不竭斗馬術（田忌賽馬）今從君之下駟與彼上駟，取君上駟與彼中駟，取君中駟與彼下駟萌芽時期的數學知識，都是因為生活或生產實踐的需要而積累起來的用于解決生產、生活中的問題的經驗，往往是把個別的性質用來解答獨立的題目，文獻中幾乎沒有任何一般的結論或法則。二、初等數學（常量數學）時期（公元前6世紀——公元17世紀中葉）

初等數學期間，數學研究的主要對象是常數、常量和不變的圖形，故將初等數學稱之為常量數學。

這一時期的主要成就是系統地創立了初等數學的幾何、算術、代數、三角等獨立學科。㈠希臘數學時期（公元前6世紀—公元5世紀）。1.最早的希臘數學家是泰勒斯(約公元前624～前547年)泰勒斯證明了下列五條定理：⑴圓的直徑將圓分成兩個相等的部分；⑵等腰三角形兩底角相等；⑶兩相交直線形成的對頂角相等；⑷如果一個三角形有兩角一邊分別與另一個三角形的對應角邊相等，那么這兩個三角形全等；⑸半圓上的圓周角是直角。2.畢達哥拉斯學派。畢達哥拉斯(公元前572～497年)出生于愛琴海的薩摩斯島。畢達哥拉斯學派的主要數學成就：⑴幾何方面。畢達哥拉斯學派對于平面幾何的最大貢獻是關于直角三角形的斜邊和直角邊關系的定理，國際上稱為畢達哥拉斯定理(中國人稱為勾股定理)⑵理論算術。萬物皆數他們認為，人們所知道的一切事物都包含著數；因此，沒有數就既不可能表達也不可能理解任何事物；任何一種東西之所以被認識，是因為它包含一種數，沒有這種數，心靈什么東西也不能思考，什么東西也不認識。因此，數是先于種種自然的事物的。形數畢達哥拉斯學派的“形數”體現了數形結合的思想方法.現在的數學新教材中應用了“形數”的例子來滲透不完全歸納法的思想.歐幾里得（約公元前330年—前275年）對數學的最大的貢獻是他撰寫了千古流芳的著作《幾何原本》.《幾何原本》共13卷，一～六卷主要討論平面幾何，七～九卷主要討論初等數論，十卷主要討論可公度和不可公度的問題.十一～十三卷主要討論立體幾何.《幾何原本》全書共有5條公設,5條公理,119個定義,推出了465個定理.3.歐幾里得《幾何原本》的問世,標志著數學公理化演繹體系的正式建立《幾何原本》成了數學史乃至思想史上一部劃時代的名著．4．阿基米德(約公元前287～212)生于西西里島的敘拉古城.阿基米德的數學著作有《論球和圓柱》、《圓的度量》、《拋物線求積》、《論螺線》、《論錐體和球體》、《沙的計算》等十多種著作。阿基米德以他富有獨創性的數學成就和在諸多科學領域獨具匠心的發明，被人們稱之為“數學之神”，無可爭議的成為古希臘時期最偉大的數學家及科學家。5．古希臘數學的偉大成就：①使數學成為抽象性的一門學科；②創立了演繹證明；③創立了幾何學、三角學，奠定了數論基礎等數學學科；④包含了一些高等數學的萌芽；⑤希臘人發現定理及證明，邏輯結構嚴密，論證認真細致，為后世樹立了樣板．從公元前30年到公元5世紀希臘數學逐漸衰落了．㈡東方數學時期（公元6世紀－15世紀）中國古代數學⑴中國古代的第一部數學著作．《算數書》——戰國時期（公元前475－前221年）《周髀算經》——西漢時期（公元前235－前145年）第一次提出了勾股定理的特例——

勾廣三，股修四，徑隅五以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之得邪至日邪至日（弦）=我國對勾股定理的證明直到公元3世紀三國時期的吳國人趙爽對《周髀算經》做注釋時才給出證明的．趙爽把勾股定理寫成：“勾股各自乘，并之為弦實，開方除之即弦”．案：弦圖又可以勾股相乘為朱實二，倍之，為朱實四，以勾股之差自乘為中黃實，加差實亦成弦實”

⑵《九章算術》是中國古代數學理論體系形成的標志．《九章算術》是中國古代重要的一部數學經典著作，它總結了我國先秦至西漢的數學成果，以《九章算術》為標志，中國古代數學初步形成了以問題為中心的算法體系.《九章算術》是一部問題集形式的算書，共有246個與生產、生活實踐有聯系的應用問題，按不同算法類型分為九章：第一章“方田”．第二章“粟米”.第三章“衰分”．第四章“少廣”．第五章“商功”．第六章“均輸”．第七章“盈不足”．第八章“方程”．第九章“勾股”．《九章算術》的內容豐富，就問題而言，它包括了當時社會的生產、工程、分配、交換、行政管理等方面的問題；《九章算術》體例統一，結構合理．書中每題均由題目、答案和術三部分組成，其中“題目”都是用文字敘述的應用題；“答案”都是用具體的數字給出；“術”是解題的方法和計算步驟，其中包含著一般的數學原理、定理和公式．自它問世以后，就成為中國古代數學的經典著作和范本．⑶劉徽的數學成就．劉徽是公元3世紀時的魏晉人，籍貫山東，生卒年不詳．《九章算術注》是劉徽留給后世十分珍貴的數學遺產，是中國傳統數學理論研究的奠基之作．劉徽在幾何方面的貢獻是他首創了割圓術：割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣．π≈3．14，化為分數為

“徽率”:《中國大百科全書》數學卷這樣寫道“割圓術是劉徽創造的運用極限思想證明圓面積及計算圓周率的方法．”⑷祖沖之、祖暅的數學成就．祖沖之（公元429—500年），字文遠，范陽遒縣（今河北省淶水縣）人.3．1415926（肭數）＜π＜3．1415927（盈數）圓周率是最常見、常用的數學常量，自古以來為什么世界上各民族、各著名數學家都為之作過不少研究，是因為得出圓周率什么樣的近似值，標志著數學水平得到的程度．祖暅原理——冪勢既同，則體不容異如果二等高的立體在同高處截二立體的面積恒等，則這兩個物體的體積相等。劉徽和祖沖之父子的工作，思想是深刻的，它們反映了魏晉南北朝時代中國數學出現的論證傾向，以及這種傾向所達到的高度．⑸“算經十書”．《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《張邱建算經》、《五曹算經》、《夏侯陽算經》、《五經算術》、《綴術》、《緝古算經》．①《海島算經》是劉徽在注《九章算術》的“勾股”章時，利用重差術增加了九個測量海島等不可倒達的地方高和遠的距離的專著。②《孫子算經》．“雉兔同籠”問題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何”

“物不知數”問題：今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何．答曰：二十三．術曰：三三數之剩二，置一百四十；五五數之剩三，置六十三；七七數之剩二，置三十．并之得二百三十三，以二百十減之，即得．凡三三數之剩一則置七十，五五數之剩一則置二十一，七七數之剩一則置十五．一百六以上，以一百五減之，即得”

N＝70×2＋21×3＋15×2－2×105三人同行七十稀，五樹梅花二十一枝，起子團圓正半月，除百零五變得知N≡2（mod3）≡3（mod5）≡2(mod7)③《綴術》．④《張邱建算經》．“百雞問題”：今有雞翁一，直錢五；雞母一，直錢三；雞雛三，直錢一，凡百錢買百雞，問雞翁、母、雛各幾何．⑤《輯古算經》．⑹宋元時期的中國數學．宋元兩朝的400多年，即公元960年～公元1368年是中國古代數學發展的鼎盛時期．“宋元四大家”：秦九韶、楊輝、李冶、朱世杰就是宋元時期最卓越的代表，也是當時世界級的大數學家．這個時期中國古代數學取得了一系列世界一流的成果，達到了世界數學的最高水平，有足夠的史料證實，那時的中國是世界上的第一數學強國．①高次方程的數值解法．南宋數學家秦九韶(公元1202~1261年)，在賈憲“增乘開方法”的基礎上得到了求高次方程正根的一般方法――正負開方術，徹底解決了在解方程過程中的隨乘隨加問題，獲得了解高次方程的一般方法．西方國家到了1819年的霍納才得到了相同的結果，比秦九韶的結果晚了700多年．②賈憲三角（楊輝三角）．賈憲三角在歐洲稱為“帕斯卡三角”

③高階等差數列求和．高階等差數列求和問題來源于北宋時期的沈括（1031－1095）的堆垛問題．有一個頂層寬有a個壇，長b個壇底層寬有c個壇，長d個壇，高為n層的四棱臺形垛積，求酒壇個數的總和．沈括認為堆垛的總和:④中國剩余定理．德國的高斯于1801年在《算術探究》一書中提出了解決這類問題的方法——剩余定理，并給出了嚴格的證明．1876年德國數學史家馬蒂生指出孫子定理及大衍求一術與高斯的理論一致，孫子定理才被西方人稱為“中國剩余定理．”

⑤高次方程的布列方法――天元術．李冶明確地用天元來代表未知數，和現今代數中的列一元方程解應用題的方法基本上一致．⑥高次方程組布列方法――四元術．朱世杰不僅提出了多元（最多到四元）高次聯立方程組的算籌擺置記述方法，而且把《九章算術》等書中四元一次聯立方程解法推廣到四元高次聯立方程．在歐洲，解聯立一次方程開始于十六世紀，關于多元高次聯立方程的研究還是十八、十九世紀的事．⑦高次內插公式（招差法）．隨著歷法的進步對數學工具也提出了更高的要求，到了宋元時代便出現了高次內插法.比歐洲牛頓的同樣成就要早300多年．⑺中國古代數學的衰落．令人遺憾的是朱世杰的《四元玉鑒》成了數學鼎盛時期的絕唱，從14世紀初進入明代以后，中國古代數學驟然衰落，整個明清兩代不僅沒有能與《四元玉鑒》相媲美的數學杰作，而且在很長一段時間內，像“天元術”、“四元術”這樣一些宋元數學的精粹竟然長期失傳，無人知曉．⑻西方數學的傳入．16世紀末第一批傳教士進入我國①西方數學的第一次傳入．利瑪竇與徐光啟兩人開始了緊的翻譯工作，直到1606年秋天由利瑪竇口譯，徐光啟執筆合作譯完歐幾里得《幾何原本》前6卷，1607年在北京雕版刊行．利瑪竇與徐光啟“此書為益，能令學理者祛其浮氣，練其精心；學事者資其定法，發其巧思，故舉世無一人不當學”．徐光啟是翻譯引進西方數學到中國的第一人，《幾何原本》使中國數學界第一次見識到了數學的公理系統與嚴格的邏輯推理方式．《幾何原本》的翻譯是中國數學史上的大事，功德無量．②西方數學的第二次傳入．直到公元1840年鴉片戰爭，西方列強用洋槍洋炮轟開了中國閉關自守的打門后，西方數學又第二次傳入中國．在西方數學第二次傳入過程中，李善蘭作出了巨大貢獻．1857年李善蘭與英國傳教士偉烈亞力合譯了利瑪竇與徐光啟尚未完成的《幾何原本》后九卷，時隔《幾何原本》前六卷中譯本250年后我國才有了完整的《幾何原本》中譯本．李善蘭與偉烈亞力還合譯了《代微積拾級》十八卷、《代數學》十三卷；與英國傳教士艾約瑟合譯《圓錐曲線說》三卷，其中《代微積拾級》是中國第一部微積分學的譯本．⑼中國古代的數學教育．隋朝統一全國以后，創立了科舉制度，科舉制度把讀書、應考和做官三件事聯系起來.隋朝建立了官辦的全國最高學府——國子寺，并在國子寺里設立了明算學．明算學內設算學博士(教師)兩人，助教兩人，從事數學教學工作，有學生80人，可以說這是我國專門的數學教育的開始．唐朝的最高學府——國子監里設有明經、進士、秀才、明法、明書、明算六科．唐朝已形成了一套比較完善的數學教育制度，后來隨著貿易和文化交流的開展，中國的數學和教育制度傳入朝鮮、日本等鄰國．因此，朝、日兩國的數學深受中國的影響，他們的數學教育制度和教科書原來基本上是采用中國的．到宋元時代，官辦的數學教育日漸衰落，而民間的數學教育卻比較盛行．2．印度數學印度是一個宗教盛行的國家，公元前就有了婆羅門教（今天的印度教）、佛教和耆（讀pie撇）那教．印度是一個屢次遭受其他民族入侵的國家，歷史上曾被馬其頓人、匈奴人、阿拉伯人、突厥人、蒙古人、英國人等交替入侵．印度數學曾有一段輝煌的歷史，公元3世紀到公元12世紀是印度數學的全盛時期，許多數學成果達到了世界先進水平．⑴印度—阿拉伯數碼（阿拉伯數字）．⑵國際象棋的故事．傳說國際象棋是印度舍罕王的宰相西薩·班·達依爾發明的.“陛下，就請您賞給我一些麥粒吧，它們只要這樣放在棋盤里就行了：第一個格里放一粒，第二個格里放兩粒，第三個格里放四粒，以后每一個格里都比前一個格里的麥粒增加一倍．圣明的王啊，只要把這樣擺滿棋盤上全部六十四格的麥粒都賞給你的仆人，他就心滿意足了”，＝18,446,744,073,709,551,615①如果1000粒麥子重為40g，這些麥粒大約合多少噸？宰相所要求的麥粒總數，實際上是等比數列的前六十四項和

:問題：②根據國家糧油信息中心的統計數字顯示：2015年度我國小麥總產量為1．27億噸，2015年世界小麥產量約為7．28億噸，試問這個大數表示的數量大約是我國幾年的小麥產量？世界幾年的小麥產量？③小麥平均出面率為85%，一個人每天要吃0．5kg面粉，試問西莎所要的小麥能夠13億中國人吃幾年？夠全世界65億人吃幾年？漢諾塔問題。傳說開天辟地神勃拉瑪在印度的一座神廟里留下了三根金剛石柱，并在其中一根柱上從下到上穿好了由大到小的64個圓環，開天辟地神要僧侶們按下列規則把圓環從一根柱上全部移到另一根柱上：⑴每次只能移動一個圓環；⑵任何時候，較大的圓環不能放在較小的圓環上面。而且預言，當64個圓環按上述規則移動到另一根柱上時，世界就將在一聲霹靂中毀滅。3．阿拉伯數學無論是東部王國還是西部王國，阿拉伯人在保存和傳播希臘、印度和中國的文化，最終為近代歐洲的文藝復興準備學術前提方面做出了巨大貢獻．⑴起源于翻譯的阿拉伯數學．公元830年，崇尚理性的阿巴斯朝的哈里發馬蒙（哈里發－國王的意思），在巴格達創立了“智慧館”．需要說明的是，今天所說的“阿拉伯數學”并非單指阿拉伯國家發明的數學，而是泛指用阿拉伯文字寫成的數學著作，而且從事數學翻譯和研究的學者大多數是波斯人、希臘人、摩爾人、猶太人和歐洲的基督教徒．出生于波斯北部城市花拉子模（今烏茲別克境內）的阿爾?花拉子米（約780～850），其著作通過后來的拉丁文譯本，對歐洲近代科學的誕生產生過積極影響．總的說來，雖然阿拉伯數學的創造性與深刻性遠不如希臘數學，但在世界數學史上處于承前啟后、繼往開來的重要地位，可以說阿拉伯數學擔負起了精神財富的保存者和傳輸者的使命，對世界數學的發展做出了巨大貢獻．“代數”一詞“algebra”，來源于花拉子米的一本數學著作《還原與對消的計算概要》．花拉子米的《代數學》無論在內容上，還是風格上都是一個新的起點花拉子米的著作《印度數字的計算法》也是數學史上十分有價值的數學著作，他用阿拉伯文系統介紹了印度數碼、十進位值制記數法及其運算法則．4．阿拉伯數學傳入歐洲在傳播東方文明并對中世紀歐洲數學做出重要貢獻的學者中首推意大利數學家斐波那契．到了公元11、12世紀，阿拉伯的學術著作陸續傳入歐洲，激起了歐洲人學習東方科學文化的興趣和熱情，新的思潮開始影響歐洲當時的學術氣氛．《算盤書》不僅包含新的印度—阿拉伯數系的計算法則，而且還包含各種實用課題中的大量題目，是中世紀歐洲最重要的數學著作，被歐洲各民族當作學校的標準教材達200年之久．

后人求出了它的通項公式為1，1，2，3，5，8，13，21，34，……“如果每對大兔每月能生育一對小兔，而每對小兔經過兩個月能長成大兔，那么由一對小兔開始，一年后可繁殖成多少對兔子？”這個問題的解法引出了著名的斐波那契數列。斐波那契在《算盤書》中記載了一個特別有趣的問題：㈢文藝復興時期（公元15世紀到17世紀初）的數學．文藝復興是15世紀到17世紀初在歐洲發生的一場以意大利為發源地和中心，古典希臘、羅馬文藝和學術在歐洲各國的復興的運動．文藝復興時期，歐洲數學開始走出中世紀的黑夜，在方程論、代數、三角學、商業數學和計算技術等方面取得了一些令人矚目的成就．1．畢達哥拉斯、柏拉圖主義的復活．畢達哥拉斯、柏拉圖主義的“萬物皆數”及其數學化宇宙觀在新的時代背景下得到了復活，歐洲人于是相信自然界是按照數學方式設計的，因而把數和數量關系作為現實世界精華的思想逐漸在學術界占統治地位．基督教將這種思想接過去也順應提出了“上帝是一個至高無上的數學家，上帝是按照數學方式設計了大自然的”的教條藝術大師達．芬奇就認為大自然按照數學規律運轉，自然界的力和運動必須通過對數量的研究來探討，只有緊緊地依靠數學，才能透過那不可捉摸的思想迷霧．哥白尼和開普勒應用數學研究天體的運動，伽利略應用數學研究地球上的運動，更是使數學成為了解開宇宙間秘密的鑰匙．2．代數方程論取得了長足的進展卡丹以x3＋6x=20為例，在他的著作《大術》中給出了形如x3+px=q(p,q＞0)方程的公式解為3．符號代數得到長足發展．⑴文詞代數階段．⑵簡字代數或半符號式代數階段．簡字代數是古希臘數學家丟番圖在他的著作《算術》中首次使用⑶符號代數階段．這個階段的主要特點就是系統地引入字母和符號表示數和數學概念以及它們的運算和關系．大約至17世紀中葉系統的符號代數基本上形成．在他的著作《分析術引論》中，第一次有意識地使用系統的代數字母和符號，用元音字母a，e，i，o，u，y表示未知數，用輔音字母b，c，d，f，g，…表示已知數。韋達(1540～1603)韋達在把這種符號式的代數稱為“類的計算術”，以區別于“數的計算術”，并以此作為算術與代數的分界線．由于韋達在建立符號代數方面的卓越貢獻，被譽為“西方代數學之父”．1637年法國數學家笛卡爾認為韋達創用的未知數和已知數符號還是不太簡潔明快，他采用字母a，b，c，…表示已知數，用字母x，y，z，…表示未知數，初步建立了代數符號系統，發展成為今天的習慣用法．4．數學運算符號的使用．⑴加號“+”和減號“－”是德國數學家韋德曼于1489年首先使用的。韋德曼把加減號這對難舍難離、簡潔漂亮的伴侶帶到了世界，開創了簡潔明快的數學符號的先河．⑵乘除號．數學中的乘號、除號迄今為止都還沒有達成國際統一的協定.-歐洲大陸和拉丁美洲派用腳點“．”，用兩實心圓點“：”表示乘號和除號；-英國和英聯邦各派用腳點“．”與“÷”表示乘除號；-美國派用圓點“·”與“÷”表示乘除號，我國與美國相同．現在世界上乘法記號有a·b、ab（省略乘號）、a×b、a.b、a*b；除法記號有a÷b、、a／b、a:b．

乘號“×”是英國牧師、數學家奧特雷德于1631年在他的著作《數學入門》中首先使用的，奧特雷德認為認為乘法是增加的意思，一種特殊的加法，但又和加法有所不同，于是他把加號斜過來寫，便得到了乘法記號；乘號“·”的首先創用有爭論，有的說是英國數學家哈利奧特，有的說是笛卡爾，但不管怎樣“·”誕生在17世紀的歐洲，除號“÷”于1659年首先出現在瑞士數學家雷恩的一本代數著作中;除號“：”是萊布尼茨首先提出的；分數線“—”或“/”表示除號是阿拉伯數學家首先創用的;⑶等號“＝”的發明人是英國的雷科德．“為了避免枯燥的重復‘isequalto’這個短語表示相等，我采用了一對等長的平行線段‘=’來表示相等，因為任何兩樣東西，不可能比它們更相等了”．⑷根號最初是德國數學家魯道爾夫在其1525年編寫的一本代數書《求根式》中引入的，當時用“√”表示平方根。笛卡爾巧妙地在魯道爾夫創用的符號“√”的上面添了一條橫線“—”，將根號表示為“”．

⑸大于“＞”和小于“＜”最早于1631年出現在英國數學家、望遠鏡發明者哈里奧特的遺作《實用分析術》中；小于或等于號“≤”，大于或等于號“≥”是法國數學家布格爾于1734年首先使用的．⑹1593年德國數學家克拉維斯在他的著作《星盤》中首次使用了現代意義上的小數點“．”.當今世界上小數點的使用也沒有統一歐洲大陸派（徳、法、俄羅斯等）用逗號作小數點英美派則用實心圓點“．”作小數點，中國使用的是英美派的記法．5．對數的發明．納皮爾(1550～1617)至少花了20年的時間．終于在1614年發表了題為《奇妙的對數定律說明書》一書，這是世界上第一本對數著作．伽利略說：“給我時間、空間和對數，我可以創造出另一個宇宙．”

拉普拉斯說：“一個人的壽命如果不拿他活在世界上的時間長短來計算，那么可以說，對數的發現不僅避免了冗長的計算與可能的誤差，而且實際上倍沿了天文學家的壽命”

值得注意的是，那時指數的概念尚未完成，也沒有指數符號，納皮爾本人更不知“底”為何物，一直到歐拉才發現了指數與對數的天然關系，對數的建立先于指數，到是歷史上的珍聞．總之，初等數學的各分支――幾何、算術、代數、三角等學科，經過常量數學時期的發展，形成了獨立學科，這些知識也是現在中小學數學課的主要內容．三、變量數學時期（17世紀中葉至19世紀20年代）變量數學產生的原因1．變量數學的第一個里程碑是解析幾何的發明⑴解析幾何的創始人是法國數學家笛卡爾和費馬笛卡兒于1637年發表了著名的哲學著作《更好地指導推理和尋求科學真理的方法論》簡稱為《方法論》該書有三個附錄：《幾何學》、《屈光學》和《氣象學》笛卡爾在《幾何學》中給出了平面曲線與二元方程之間建立起了聯系，由此產生了一門用代數方法研究幾何學的新學科——解析幾何學笛卡爾通過坐標系將“幾何”與“代數”聯系起來，從而架起了這兩個本性相差甚遠的學科之間的關系，這是數學的一個轉折點，也是變量數學發展的第一個決定性步驟。恩格斯：“數學中的轉折點是笛卡爾的變數，有了變數，運動進入了數學，有了變數，辯證法進入了數學，有了變數，微分和積分也就立刻成了必要的了．”

⑵解析幾何的基本思想⑶笛卡兒（1596－1661）是法國著名的哲學家、數學家笛卡兒創立解析幾何的靈感有兩個傳說：養成一種喜愛寧靜，擅于思考的習慣。⑷費馬(1601～1665)“費馬大定理”亦稱“費馬猜想”.畢達哥拉斯方程

他通過類比，把畢達哥拉斯方程中的平方改為立方，后得到方程他在頁邊批注了這么一段話：“把一個數的立方分成另兩個數的立方和，把一個數的四次方分成另兩個數四次方的和，或一般地，把一個數的高于2的任何次方分成兩個數的同次方的和是不可能的．我確信已找到了一個極佳的證明，但書的空白太窄，寫不下．”

他的證明刊在1995年的《數學年刊》之上。英國數學家安德魯·懷爾斯用了七年時間，在不為人知的情況下，得出了證明的大部分；然后于1993年6月在一個學術會議上宣布了他的證明，并瞬即成為世界頭條。懷爾斯獲得了數學界的最高獎——菲爾茨獎特別獎和沃爾夫獎．德國實業家保羅·沃爾夫斯凱爾，由于一件不可思議的事件，卻與費馬大定理相伴在一起，鼓勵著數以千計的人去攻克這個富有挑戰性的問題。在他1908年去世時，他的遺囑被宣讀，他已經把他財產中的一大部分遺贈作為一個獎，規定獎給任何能證明費馬大定理的人。獎金為10萬馬克，按現在的幣值計算其價值超過100萬英鎊。2．變量數學的第二個里程碑是微積分的發明微積分的誕生又是變量數學時期一個劃時代的數學成就，是數學史上的偉大創造.十七世紀60年代，牛頓和萊布尼茲各自從運動學和幾何學研究的需要獨立創建了微積分微積分學基本定理——牛頓—萊布尼茲公式“如果我比其他人看得更遠些，那是因為我站在巨人的肩上”——牛頓⑴牛頓對微積分的貢獻艾薩克·牛頓(1642～1727)，1642年12月25日生于英格蘭林肯郡的一個小鎮烏爾斯索的一個農民家庭12歲時才進入離家不遠的格蘭瑟姆中學讀書，但學習成績平平，看不出有任何超長之處格蘭瑟姆中學的校長史托克斯說了一句科學史上最幸運的預言：“在繁雜的農活中埋沒這樣一位天才，對世界來說將是多么巨大的損失”

牛頓于1661年夏天以減費生的身份進入劍橋大學三一學院，1665年獲學士學位．1669年巴羅辭去他的教授職位，舉薦年僅26歲的牛頓作為盧卡斯講座教授繼承人，并坦然宣稱牛頓的學識已經超過自己，一時被傳為佳話．1687年7月在他的巨著《自然哲學的數學原理》中第一本公開牛頓微積分的思想，該書成了數學史上的劃時代著作．英國詩人蒲普在詩中說：“宇宙和自然的規律隱藏在黑夜里，神說：‘讓牛頓降生吧！一切都會是光明的’”

“心里總是裝著研究的問題，等待那最初的一線希望漸漸變成普照一切的光明．”

⑵萊布尼茲對微積分的貢獻．萊布尼茲(1646～1716),世人稱他是一個千古卓絕的大智者、哲學家、自然科學家、數學家，被人們稱為“博學巨人”．他在巴黎結識了惠更斯等杰出的學者，對數學的興趣與日俱增，1675年到1676年之間他發明了無窮小算法．當時他并不知道牛頓關于同一問題已完成了“流數術”．1675年10月29日的手稿中，他引用符號“∫”表示變量的求和過程，并看到d和∫是互逆的運算．牛頓和萊布尼茲對微積分作出了同樣重要的貢獻．雖然牛頓和萊布尼茲創造了微積分的體系，但還存在許多需要完善的地方，無論是牛頓還是萊布尼茲對無窮小概念的認識是模糊的，牛頓也承認他心有余悸．也就是說，微積分剛創立時，基礎并不牢固．3．概率論的創立．概率論這樣一門重要的數學分支卻是起源于賭博問題的研究．⑴概率論的起源與發展．概率論的創始人是帕斯卡和費馬。首先，假定每個人都需要再贏一局時比賽中斷，只需簡單地將64一分為二就行了；第二，假定第一個人需要贏一局而第二個人需要贏兩局時，如果第一個人贏得了下一局比賽，他將贏得64，如果他輸了，則兩人都需要再贏一局，所以根據第一鐘情況，第一個人將贏得32，如果他們此時中止比賽，第一個人將有權得到他無論輸贏都會得到的32加上剩余32的一半，即48，亦即兩次可能贏取數量的平均數．（一，一），即第一個人贏了第一局、第一個人贏了第二局；（一，二），即第一個人贏了第一局、第二個人贏了第二局；（二，一），即第二個人贏了第一局、第一個人贏了第二局；（二，二）,即第二個人贏了第一局、第二個人贏了第二局．問題：①如果是第一個人贏了2局，而第二個人一局沒贏，即2：0時結束賭博，第一個人應分得賭注的多少呢？②如果是第一個人贏了1局，而第二個人一局沒贏，即1：0時結束賭博，第一個人應分得賭注的多少呢？荷蘭數學家惠更斯對他們的討論很感興趣，隨即加入到他們的討論之中，并對這些問題進行了深入研究，將研究成果于1557年發表在《論賭博中的推理》一書中，此書被公認為是概率論的奠基之作，這本書直到18世紀仍然是概率論的教材．在概率論的現代表述中，概率是基本概念，數學期望則是第二級的概念，但在歷史上則相反，是先有期望概念，后有概率概念．法國數學家棣莫弗，他在其著作《隨機原理》中首次定義了獨立事件的乘法定理，給出二項分布公式，提出了正態分布等概念雅各．伯努利對概率論的最大貢獻是1713年出版的他的遺作《猜度術》中給出了“大數定律”及其證明，這個定理被后人稱之為“伯努利定理”．第一位試圖直接解決如何根據觀察頻率來推算概率問題的人是貝葉斯；18世紀概率論發展的集大成者是拉普拉斯.19世紀末20世紀初俄羅斯數學家異軍突起，在概率論方面取得了格外引人注目的成就．把概率論與幾何結合起來進行幾何概率研究的第一人是法國數學家蒲豐投針問題：把長為l的同質均勻針隨機地投向畫有多條距離均為a（＞l）的平行線內，求針與直線相交的概率？4．分析學取得了豐碩成果十八世紀的數學家們把他們的天才表現在大膽的發明創造上，盡力發掘和增進微積分的威力，從而使微積分擴展成為一個由許多具有專門應用價值的分支所組成的龐大的領域——分析學，包括常微分方程、微分幾何、變分法、無窮級數和偏微分方程．⑴數學史上最多產的數學家――歐拉歐拉(1707～1783)于1707年4月出生在瑞士巴塞爾的一個牧師家庭伯努利真誠而又耐心地勸說歐拉的父親“讓您的兒子作村里的牧師，這是沒有道理的，歐拉具有數學的天才，由我來安排、指導他的學習吧！”

歐拉是數學史上最多產的數學家，他生前發表的著作和論文有560余種，死后留下了大量手稿，歐拉自己說他未發表的論文足夠彼得堡科學院用上20年，結果是直到歐拉死后76年，彼得堡科學院院報上還在刊登歐拉的遺作．歐拉的論著浩如煙海，足跡幾乎涉及所有的數學分支，他在微積分、微分方程、解析幾何、微分幾何、數論、級數、變分法上都有卓越的貢獻歐拉的著作，不僅包含許多開創性的成果，而且在表述上思路清晰，極富啟發性，他的行文優美而流暢，把他那些豐富的思想和發現寫得淋漓盡致、有聲有色，被人們譽為“數學界的莎士比亞”．他首創了現在通用的一些數學符號，如用i表示e表示自然對數的底，f(x)表示函數，∑表示求和號，為以后的學習和研究帶來了極大的方便

.①歐拉在微積分方面的貢獻．18世紀微積分的最主要成就是歐拉作出的，他的主要成就體現在他的《無限小分析引論》、《微分學》、《積分學》這三部著作中．歐拉又通過對不同函數的展開式以及微分方法和積分方法的討論，構成了一個關于微積分的理論，把微積分的形式化進行到了十分完善的地步，以致他的微積分書中看不到任何圖形．②哥尼斯堡七橋問題．歐拉在《無限小分析引論》中一開始就給出了函數的定義：“一個變量的函數是由這個變量和一些常量以任何方式組成的解析式”哥尼斯堡當時是德國的一個地區，現是俄羅斯的飛地從某處出發，能否一次通過全部七座橋且每橋只過一次，回到原地？河的兩岸及兩個小島這四個地區無論大小，其實只是這七座橋的支撐點，因此他把這四個地區看成是A、B、C、D四個點；而每座橋無論有多寬、有多長，也不管是用什么材料做成，實質上是連接兩個點的線，于是他把這七座橋的構成圖抽象地畫為圖歐拉認為，從某處出發，能否一次通過全部七座橋且每橋只過一次，回到原地，就是能否一筆畫出這個圖形的問題歐拉解決哥尼斯堡七橋問題的方法，讓哥尼斯堡的居民看到了數學抽象的魅力和數學的威力．一筆畫圖形最多有一個起點和一個終點，而且起點和終點只有一條曲線與之相連，除這兩點外，一筆畫圖形上任一點處曲線均是一進一出，從而過這些點的曲線條數應是偶數，于是歐拉把起點和終點叫做奇點，其它點叫做偶點，并證明了一個圖形能否一筆畫當且僅當圖形是連通的且奇點的個數只能是0或2。可以看出，雖然圖形是連通的，但是每個點都與奇數條線相關聯，因而不可能一筆畫出。因此，要連續不重復地通過七座橋是不可能的。③多面體歐拉公式．

1750年歐拉發現，不論什么形狀的凸多面體，其頂點數V、棱數E、面數F之間總有關系:V-E＋F=2正多面體只有五種，即：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體呈中空的鏡框形也不管框的形狀如何，總有V-E＋F=0．④歐拉與哥德巴赫猜想．1742年6月7日哥德巴赫在給歐拉的信中寫道：“我不相信關注那些雖沒有證明但很可能正確的命題是無用的，即使以后它們被驗證是錯誤的，也會對發現新的真理有益．”然后他說“我也想同樣冒險提出一個假設”

每個不小于6的偶數都可寫成兩個奇素數之和；每個不小于9的奇數都可寫成三個奇素數之和．著名的哥德巴赫猜想：1937年哥德巴赫猜想的第二部分，被前蘇聯數學家維諾格拉多夫證明1920年挪威數學家布朗用“篩法”證明了每一個大偶數是兩個素因子都不超過9的殆素數之和（簡稱9+9）1962年我國山東大學的潘承洞證明了“1+5”

同年王元、潘承洞合作證明了“1+4”

1965年國外的數學家布赫斯塔勃等人證明了“1+3”

1966年5月一顆璀璨的信號彈升上了數學的天空，陳景潤在中國科學院的刊物《科學通報》上宣布他已經證明了“1+2”

以此類推，哥德巴赫猜想就是“1+1”

所謂殆素數就是素數因子的個數不超過某一固定常數的奇整數。例如，3×5×7×11就是素因子是4的殆素數。陳氏定理：任何一個充分大的偶數，都可表示成一個素數加上頂多是兩個素數的乘積。1978年2月17日，《人民日報》發表徐遲的報告文學《哥德巴赫猜》，描述了陳景潤不畏艱苦、勇攀高峰的事跡．“一些業余愛好者會一點兒數學，有一點兒算術基礎，就去求證（１＋１），并把所謂的證明論文寄給我．其實像哥德巴赫猜想這樣的難題，應該讓‘專門家’去搞，不應該成為一場‘群眾運動’”

1996年山西晉中的退休中學數學教師劉招榮宣布自己完成了“哥德巴赫猜想”的證明．中科院專門從事哥德巴赫猜想研究的研究員李福安說“２０多年有成千上萬的業余愛好者，我就收到了200多封信．他們的選題主要集中在哥德巴赫猜想上．由于猜想表述非常簡潔，大多數的人都能懂，所以很多人都想來破解這個難題”，2010年8月，當時已73歲高齡的老人第一次走出國門，受邀參加了在英國劍橋大學舉辦的世界論壇，在論壇上宣讀了凝結自己全部心血的《哥德巴赫猜想的證明》論文。作業：閱讀徐遲的報告文學《哥德巴赫猜想》，寫一篇讀后感。內容要求：⑴哥德巴赫猜想的內容及研究歷程；⑵陳景潤的生平及他從了解到研究哥德巴赫猜想的歷程；⑶發表自己的感想。⑵數學王子高斯．高斯(1777～1855)于1777年4月30日出生在德國的布倫瑞克一個剛從農村搬到城市的勞動者家庭（農民工家庭）。還在3歲的時候，高斯就顯出了他的數學才能．高斯10歲那年，新學年剛剛開學，老師為了讓他的學生集中精力上課，要求他們將數1、2、3、…連續相加，一直加到100，即1＋2＋3＋……＋100高斯在他的博士論文和《算術研究》中，寫下了情真意切的獻詞：“獻給大公”，“你的仁慈，將我從所有的煩惱中解放出來，使我能從事這種特殊的研究”．高斯在數學世界“處處留芳”．18歲時他就發明了最小二乘法；19歲時發現了正17邊形的尺規作圖法高斯證明了代數基本定理他的《算術研究》奠定了近代數論的基礎1816年左右他就發現了非歐氏幾何的原理后人將“復平面”稱作為高斯平面高斯厚積薄發、治學嚴謹，一生發表155篇論文高斯名言：“數學是科學的皇后，數論是數學的皇后，它常常屈尊去為天文學和其他自然科學效勞，但在所有的關系中，它都堪稱第一．”

高斯是近代數學的奠基人之一，他在歷史上的影響之大可以和阿基米德、牛頓、歐拉并列．人們為了紀念這位偉大的數學家，為他建立了一個底座為正17邊形的紀念像．⑶柯西的數學功績．柯西創造力驚人，數學論文像聯綿不斷的泉水在柯西的一生中噴涌，他出版了7部專著，發表了789篇論文柯西對數學的最大貢獻是在微積分中引進了清晰和嚴格的表述與證明方法，他的著作《分析教程》、《無窮小計算教程概論》、《微積分講義》奠定了以極限理論為基礎的現代數學分析體系．柯西的另一個重要貢獻是發展了復變函數的理論。在自然科學方面，他在流體力學、彈性理論、光學、天體力學等方面都有突出的貢獻．四、近代數學時期（19世紀20年代至第二次世界大戰）1．復變函數的創立是19世紀最偉大的成就．2．代數學取得了多項成果．天才的法國數學家伽羅華在阿貝爾工作的基礎上，提出了群的概念，并用于處理可解性問題，獲得了重大的超越．伽羅華（1811—1832）是數學史上最年輕、最有創造性的數學家．伽羅華最主要的成就是提出了群的概念，并用群論徹底解決了根式求解代數方程的問題，而且由此發展了一整套關于群和域的理論，為了紀念他，人們稱之為伽羅華理論。人們為了緬懷伽羅華在他的出生地法國巴黎郊區拉賴因堡伽羅華街的第54號房屋的正面有一塊紀念牌，上面寫著：“法國著名數學家埃瓦里斯特·伽羅華生于此，卒年20歲，1811～1832年”．3．非歐幾何的誕生．第五公設——同一平面內一條直線與另外兩條直線相交，若在某一側的兩個內角之和小于兩直角，則這兩條直線經過無限延長后在這一側相交。自《幾何原本》問世后人們總是懷疑這一公設本身就是一個定理，只是歐幾里得本人無法證明它，才把他作為公設使用的．有的數學家證明了第五公設與“平面內過直線外一點有且僅有一條直線與已知直線平行”等價，于是人們把第五公設也叫做平行公設。到了十九世紀初德國數學家高斯、俄羅斯數學家羅巴切夫斯基和匈牙利數學家J·波爾約，他們采用其它公設替代第五公設，并同時保留歐幾里得幾何中的其它公設，從而建立起了一個新的沒有邏輯矛盾的邏輯體系，這種新幾何被人們稱為叫做羅巴切夫斯基幾何或非歐幾何．

1854年，德國數學家黎曼，在哥廷根大學作了題為《論作為幾何基礎的假設》的作為他被聘為講師的就職報告，提出了一種既不是歐氏幾何，又不是羅巴切夫斯基那種非歐幾何的全新的非歐幾何，被人們稱為黎曼幾何．非歐幾何的創立，改變了歐氏幾何是描述物質空間唯一真理的看法，使人們認識到“歐幾里得幾何不是唯一描述物質空間的幾何學，不同的公理基礎上可以建立不同的幾何學體系”.黎曼的非歐幾何為愛因斯坦的廣義相對論提供了數學依據．愛因斯坦說：“我特別強調剛才所講的這種幾何學的觀點，因為要是沒有它，我就不能建立相對論”．4．康托爾在十九世紀末創立了集合論．任何一部分事物，當人們把它們作為數學研究對象時，就稱為集合.這個集合中每一具體的事物叫做元素，但稱之為集合中的元素時，人們已忽略了此事物與所要研究的數學內容無關的其它一切屬性．集合論的建立改變了數學各個分支的基本敘述方式，成為現代數學各分支的共同基礎.康托爾將集合描述為：6．1900年8月，在法國巴黎舉行的國際數學家大會上，著名的數學家希爾伯特，根據19世紀數學研究的成果和發展趨勢提出了尚未解決的23個數學問題，從而拉開了20世紀數學的帷幕這些問題涉及現代數學的許多重要的領域．5．對數學基礎的研究．集合是一個原始概念，只能描述、沒有定義。五、現代數學時期（20世紀40年代至今）現代數學的巨大發展，比以往任何時代都更加令人信服地確立了數學作為整個科學技術的基礎的地位。數學核心領域（即純粹數學）的擴展、數學的廣泛應用以及計算機與數學的相互影響，是現代數學的三大特征．如果我們把現代數學比喻為一株茂密的大樹的話，作為一級學科的數學就是主干，而且包含著許許多多的分枝，按美國《科學評論》雜志的分類，當今數學包括了60多個二級學科，400多個三級學科，更細的分科已難以統計。1．現代數學的對象、內容在深度和廣度上都有了很大的發展．⑴集合論與公理化方法，使純粹數學的發展趨勢更高抽象．集合論觀點與公理化方法在20世紀逐漸成為數學抽象的范式，它們相互結合將數學的發展引向了高度抽象的道路．⑵現代數學是領域越來越寬廣的學科簇．全世界2005-2015年收錄到《科學引文索引》（SCI）的數學論文多達388826篇，涉及到數學的各個學科。⑶現代數學發展的特點和趨勢．現代數學的發展主要有兩個特點：一是傳統數學與前沿理論的融合．二是純粹數學與應用數學的統一，純粹數學與應用數學的界限正在消失，純粹數學的幾乎所有分支都獲得了應用．2．空前發展的應用數學．自20世紀60年代末、70年代初開始，數學的應用形成了數學與其他科學相互作用、相互促進的大一統趨勢，相應地純粹數學與應用數學的差異在縮小．更重要的是數學在向其他科學滲透的同時，日益起著統一、綜合各種科學知識的作用．從某種意義上說，數學似乎成為科學發展的決定因素．數學應用的這個新時代具有以下特點：⑴純粹數學幾乎所有的分支都獲得應用．⑵幾乎所有的科技領域都在應用數學，并越來越多地應用更高深的數學．華羅庚先生所言那樣：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生命之秘，日月之繁等各方面，無處不有數學的重要貢獻．”

⑶數學對生產技術的應用變得日趨直接．“漢字激光照排系統印刷技術”，告別了“鉛與火”的印刷術革命，譜寫了中國印刷業燦爛的篇章．⑷數學在學科發展中的份額及力度越來越加大．數學是一種關鍵的、普遍適用的、并賦予人以能力的技術．從某種意義上來講，“高技術本質上是一種數學技術"．現代醫學掃描技術(CT掃描)主要也是建立在拉東積分理論的基礎之上；3．計算機與數學的相互影響．⑴計算機對數學的影響．在計算機產生以前，數學研究模式可以簡單地概括為一張紙、一支筆”。數學學科和計算機技術相結合的現代化的可視性數學研究．我國著名數學家王梓坤院士指出：“由于計算機的出現，今日數學已不僅是一門科學，還是一種普適性的技術，從航天到家庭，從宇宙到原子，從大型工程到工商管理，無一不受惠于數學技術．因而今日的數學兼有科學與技術兩種品質，這是其他學科所少有的．”

計算機對數學的影響最著名的是“四色定理”的證明。⑵數學對計算機的影響．計算機的發明和發展過程中，數學家馮.諾依曼、圖靈等都起了關鍵的作用任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色。1976年，黑肯與阿佩爾從1月份起，他們就在伊利諾伊大學的IBM360機上分1482種情況檢查，歷時1200個小時，作了100億個判斷，最終證明了四色定理。1977年，吳文俊關于平面幾何定理的機械化證明首次取得成功，從此完全由中國人開拓的一條數學機械化道路鋪展在世人面前，這是國際自動推理界先驅性的工作，他所提出的機械化方法，國外稱之為“吳方法”．⑶計算機機器證明．馮.諾依曼提出現代計算機的設計思想圖靈為了解決數理邏輯中的一個基本理論問題——相容性以及數學問題機械可解性或可計算性的判別，提出了他的理想計算機的理論。容易理解數學可以幫助人更好地駕馭計算機，計算機越發展就越需要數學修養高的人。2001年2月19日，82歲的中國科學院院士，中國數學機械化研究的創始人吳文俊獲首屆“國家最高科學技術獎”

第二章數學的三次危機并不是所有的矛盾都稱得上危機，只有那些被激化到白熱化的矛盾才叫做危機．數學中只有那些白熱化威脅到整個數學基礎的矛盾或引起普遍危機感的矛盾，才叫做數學危機．一、第一次數學危機“萬物皆數”是指“很多事物和現象都可以從數量的方面進行說明和解釋，人們所知道的一切事物都包含著數，沒有數既不能表達，也不可能理解任何事物，即宇宙中可以歸結為簡單的整數與整數之比”。畢達哥拉斯學派只認識整數和有理數一切量均可表成整數或整數之比。任何兩條線段都有公共的度量單位，稱為可公度性．希帕索斯的發現是數學史上第一個無理數的誕生．

第一次危機的真正解決是在1872年德國數學家戴得金利用極限對無理數嚴格定義后，才算徹底解決．二、第二次數學危機第二次數學危機源于微積分的廣泛使用．1734年貝克萊發表題為《分析學家或至一個不信神的數學家》的小冊子，矛頭自指牛頓的導數（流數）方法.他認為無窮小量，既等于零又不等于零，召之即來，揮之即去，這是荒謬．歷經半個世紀的努力，基本上解決了矛盾，為數學分析奠定了一個嚴格的基礎．這就是數學史上稱之為重建微積分的理論基礎“分析嚴密化運動”．三、第三次數學危機所謂悖論是一個自相矛盾的命題，即如果承認這個命題，就可以推出它的否定．反之，如果承認這個命題的否定，又可以推出這個命題．羅素悖論：設Q是所有不以集合自身為元素的集合作成的集合，即Q={A∣A?A}，問Q是否屬于它本身，即Q∈Q？若Q∈Q，由集合Q的定義知，它是由不以自身為元素的集合作成的集合，因此，Q?Q；若Q?Q，由集合Q的定義知，Q∈Q。理發師悖論：某鄉村有一個理發師，它給自己立了一個規則，他只給村子里自己不給自己刮胡子的人刮胡子，試問理發師該不該自己給自己刮胡子．由于羅素悖論涉及到集合及其基本規則，說明集合論是自相矛盾的，沒有相容性．以羅素為代表的邏緝主義、以布勞威為代表的直覺主義、以希爾伯特為代表的形式主義三大數學哲學學派應運而生．各大學派爭論到1931年，哥德爾不完全性定理的證明暴露了各派的弱點，數學基礎的哲學爭論黯淡了下來．第三次數學危機表面上解決了，實質上更深刻地以其它形式延續著．也就是說，數學的基礎一直在存在著裂縫，只是這些裂縫不至于損害整個數學大廈，不去管它就是了．盡管悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數學的確定性卻在一步一步地喪失。第三章數學是什么一、漢語中“數學”一詞的演變中國古代數學以算為主，因而叫做“算學”或“算術”（算術即計算的方法）．到了元宋時期“數學”一詞開始出現.《周髀算經》：“此皆算術之所及”，說明至少在漢代“算術”作為數學的名稱就通行了，受此影響中國古代的算書多以“算術”或“算經”命名。

秦九韶在其著作《數書九章》的序中提到“嘗從隱君子受數學”

1939年8月民國政府教育部通令全國一律使用“數學”，并以此為英語中mathematics的譯名．二、數學的“定義”我國是將恩格斯的一段名言演變為數學的定義的．1939年6月有關部門對用“算學”還是“數學”作為這門學科的名稱進行了民意測驗，兩種意見各半。民國政府教育部決定用“數學”而不用“算學”，理由是“數”字不僅歷史悠久，而且與當時高等教育中的“數理”一詞已通用。恩格斯在《反杜林論》中指出了“純數學是以現實世界的空間形式和數量關系——這是非常現實的材料——為對象的”的論述．純數學的對象是現實世界的空間形式和數量關系數學是關于現實世界的空間形式和數量關系的科學1988年《中國大百科全書?數學卷》中對數學的定義是：“數學是研究現實世界中數量關系和空間形式的，簡單地說，是研究數和形的科學．”

隨著現代數學的不斷發展，只能說恩格斯給數學下的這個定義本質上正確的，但有許多不完美之處．2001年版《數學課程標準》把數學說成“數學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的過程。”2011年版《數學課程標準》把數學說成“數學是研究數量關系和空間形式的科學。”其一，十九世紀從非歐幾何的誕生到愛因斯坦相對論的誕生，變改了人類的時空觀，說明了人類理性思維可以使數學的研究對象從哪些人類看得見摸得著的現實世界中的“空間形式”、“數量關系”向人類悟性的自由創造物轉化，在非歐幾何、泛函分析等分支中很難找到現實世界的影子，這些學科的研究對象也很難被現實世界的“空間形式”、“數學關系”所囊括了。其二，恩格斯只是從哲學的視角回答了數學是研究現實世界的什么問題，并沒有從內部尋找數學的研究對象三、數學本質的幾種描述性解釋1．數學是模式的科學．模式是某種事物的標準形式或使人可以照著做的標準形式。模式是一類事物或現象的共性抽象后的產物；模式強調的是形式上的規律，而非實質性的規律。⑴數學概念是量化模式．“1”是抽象思維的產物，現實世界中并不真正存在作為數學研究對象“1”．“圓”的概念，現實生活中我們只能看到圓形的各種東西，如碗口的形狀、鍋和盆的邊緣、十五的月亮、圓形的車輪等，而數學中圓的定義“圓是到定點的距離等于定長的點作成的圖形”就是反映這類事物的一種標準形式．數學自萌芽時期起它的主要研究對象“數”和“形”都是表示“量的屬性”與“空間的屬性”的模式，即數學概念都可以看成是量化模式．⑵數學問題也是模式．①某人有兩套西裝，三條不同顏色的領帶，問共有幾種搭配；②有兩位軍官三名士兵，由一名軍官和一名士兵組成巡邏隊，問共有多少種組成的方式．抽象后所反映的已不是某一特定事物或現象的量性特征，而是一類事物或現象在量的方面的特性，這種超越特殊對象而具有普遍意義的問題就是一種量化模式。⑶數學中的定理、性質、公式、運算規律也是一種量化模式．從數學發展史來看，數學的歷史就是不斷的創造模式、研究模式、應用模式的歷史，數學理論實際上是闡明了模式間的關系．因此，數學是模式的科學．2．數學是一種文化體系．文化是人類在社會歷史過程中所創造的物質財富和精神財富的總和，特指精神財富.文化是人造之物,人造之物都是文化除了未經改造的或者人化的自然環境外，凡人類創造出來可以通過學習獲得，可以通過各種信息媒介傳承于后世的一切物質和非物質產品都是文化文化是在人類文明的歷史長河中，通過長期的積累和沉淀而獨立出來，成為人類思想、行為的準則，指導人們素質教養提高，使人們在精神和品格上得到升華的精神財富。⑴數學雖源于現實世界，但它的研究對象并不是現實世界的真實物，是人類抽象思維的產物。數學是一種體現人類智慧的高層次的文化．自古以來世界上各民族把圓周率什么樣的近似值，看成是人類智慧達到的程度．數學是人造之物，是隨著人類文明的產生而產生，發展而發展，是“數”和“形”的各種規律長期積累和沉淀而產生的產物。為何將數學看成是一種文化呢？⑵文化依賴于語言傳播，而數學語言源于人類自然語言，隨著數學抽象性和嚴格性的發展，逐步演變成相對獨立的數學語言體系．數學語言表達對象或現象是精確、毫無歧義，不會引起人們認識和理解的混亂，而且非常簡潔、形式化、符號化，使得數學語言成為世界上所有民族的通用語言。⑶數學具有文化的三條準則：相關性、相容性與大眾性．數學語言自然語言符號語言圖形語言在科學高速發展的今天，知識的數學化越加明顯，一門學科只有達到能夠運用數學表達時才算是真正發展了，一項技術是否成熟的標志便是數學化的程度．谷超豪先生說：“現代高科技的核心便是數學，數學已成為人類理性文明高度的結晶”

數學不僅僅是一些演算的規則和變換的技巧，伴隨著數學發展而逐漸形成的數學思想方法能夠讓人們終身受益。數學文化的核心是數學的觀念、意識和思維方式，也就是人們常說的數學頭腦。數學的素養是指推理意識、抽象意識、整體意識和化歸意識．國務院前總理溫家寶在北京35中的講話中說：“我上學時最大的收獲在于邏輯思維訓練，至今受益不淺。”推理意識體現了演繹邏輯推理的可靠性、嚴格性和思維方式的廣泛性、深刻性，這有助于人們不盲從、有條理、善思辨，在錯綜復雜的問題面前不被表面現象所迷惑，能夠透過現象洞察事物的本質揭示相關之間的關系，在辦事處世時條理清晰能更有效地解決問題；在普遍百姓的日常生活中都在自覺或不自覺、多或少地在應用著數學，數學被人們用著衡量一個人文化素養的一把尺子。義務教育階段《數學課程標準》中將“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展。”作為理念之一。在數學教學中融入數學文化，其意義在于對學生數學認知的影響。數學教材中的數學知識都是經過歷史大浪淘沙的洗滌，已成為人類思想、行為的準則，指導人類素質教養的提高，使人們在精神和品格上得到升華的東西，承載著厚重的歷史文化背景。3．數學的美學說．美是人類自覺的感性形式，是人類本質力量的感性表現．如果學生不了解數學知識產生的文化背景，只會把數學當成枯燥無味的以解題為目的學科，慢慢地對數學產生厭倦和害怕情緒，從而影響學生對數學知識的理解和深入的思考；如果學生了解數學知識的文化背景，受到數學文化的熏陶，體會數學知識的文化品位，會提高數學學習的興趣，形成鍥而不舍的鉆研精神和科學態度，樹立學好數學的信心。數學教師是數學文化的傳播者羅素說：“數學，如果正確地看待它，則不但擁有真理，而且還具有至高無上的美，這是一種雕塑式的冷而嚴肅的美，這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒有繪畫或音樂的那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達到嚴格的只有偉大的藝術才能顯示是那種完美的境地，一種真實的喜悅的精神，一種精神上的亢奮，一種覺得高于人的意識——這些是至善至美的標準，能夠在詩里得到，也能夠在數學里找到”．畢達哥拉斯曾斷言“哪里有數，哪里就又美”．亞里思多德也說過：“雖然數學沒有明顯地提到美，但數學與美并不是沒有關系的，因為美的形式就是秩序、勻稱和確定性，這恰恰是數學研究的原則”．龐加勒說：“感覺到數學的美，感覺到數與形的協調，感覺到幾何的優雅，這是所有真正的數學家都清楚的真實的美的感覺．”

數學美不僅有表現的形式美，而且有結構與整體美；不僅有語言精巧美，而且有方法美和思路美；不僅有邏輯抽象美，而且有創造美與應用美．數學美是數學學科的本質力量的感性與理性的顯現，是一種人的本質力量通過宜人的數學思維結構的呈現，是一種真實的美，是反應客觀世界并能動地改造客觀世界的科學美。4．波利亞認為，用歐幾里得提出來的數學看來卻像是一門系統的演繹科學；但在創造過程中的數學看來卻像是一門實驗性的歸納科學．數學中的結論往往是通過合情推理發現或發明后，進而通過演繹推理證明它的可靠性和真實性，即數學具有雙重性，它既是一門系統的演繹科學，又是一門實驗性的歸納科學．從數學的學科結構看，數學是模式；從數學的過程看，數學是推理與計算；從數學的表現形式看，數學是符號；從數學對人的指導看，數學是方法論；德國數學家漢克爾說：“在大多數科學里，一代人要推倒另一代人所修筑的東西，一代人所樹立的另一代人要加以毀滅，只有數學，每一代人都能在舊建筑上增添一層樓”羅素在《數學基礎》一書中指出“數學與邏輯是同一的”。也就是說，數學就是邏輯，或者是邏輯的另一個名字。法國數學家波萊爾說“數學在很大程度上是一門藝術，它的發展總是起源于美學準則，受其指導，據已評價的”從數學的價值看，數學是工具．也就是說數學是一個多元化的綜合產物，很難用幾句話來下定義的。四、數學的特點數學經過幾千年的不斷發展，形成了區別于其他科學的獨有特點，這就是數學的抽象性、嚴謹性（或精確性）和應用的廣泛性．1．數學的抽象性．首先，數學的抽象只保留了事物的數量關系或者空間形式而舍棄了其它一切具體的質的東西．其次，數學的抽象逐級上升達到的抽象程度遠遠超過了自然科學中的一般抽象．再次，不僅數學的概念是抽象的，而數學方法本身也是抽象的．物理或化學家為了證明自己的理論，總是通過實驗的方法；而數學家證明一個定理卻不能用實驗的方法，必須用演繹推理和計算．2．數學的嚴謹性．數學的嚴謹性表現在數學定義的準確性、推理的嚴密性以及數學結論的可靠性上．首先，數學概念的定義是用精練的文字語言或符號語言準確揭示數學概念本質屬性的，有時多一個字和少一個字都會使概念描述不準．其次，數學命題的證明是通過一系列嚴格的演繹推理進行的，而每一步推理都要合乎邏輯再次，數學的結論是通過證明，其真實性是確信無疑完全可靠的．當然數學的嚴謹性不是絕對的3．應用的廣泛性．首先，幾乎每時每刻人們在生產中、在日常生活中、在社會生活中都在運用著數學，甚至未必意識到這就是數學問題．其次，科學技術的發展離不開數學．海王星的發現太陽系中的八大行星之一的海王星是在1846年在數學計算的基礎上發現的．把數學當成詩來讀吧！此時，擺在我們面前的是一堆堆單調枯燥的公式就會變成一首首洋溢著優美、和諧、充滿著精美、絕妙、浸透著對稱美的詩．當你領悟到數學世界的美時，你就掌握了阿里巴巴叫儲藏滿寶藏的山洞大門的神秘符咒，你就能探索其它科學的美了．再次，自然科學的發展離不開數學．第四節數學觀簡介數學觀是指人們對數學的本質、發展以及數學的地位和作用的基本觀點和態度，是一個人內心深處所持有的那種對數學的看法．一、數學觀的演變1．古代的數學觀．文藝復興以前存在著兩種截然不同的數學觀．一種是以古巴比倫、古埃及、中國為代表古代的東方數學觀把數學看作解決實際問題的知識與技巧，重視數學的實用性、經驗性，強調數學的算術、代數性質，在這種思想觀念的影響下，人們認為數學就是計算，對邏輯證明毫不在意．另一種是以古希臘為代表的數學觀把數學看作訓練人的思維的工具，強調演繹證明，善于從幾個不加定義的概念、公理、公設出發，通過演繹推理，構建幾何體系，歐幾里得的《幾何原本》就是在方面的杰出代表正是這種數學觀，為數學的發展指明了方向，為數學研究提供了方法．2．文藝復興時期的數學觀．文藝